7.4.2 超几何分布（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦超几何分布，系统讲解其概念、特征、均值计算及实际应用。通过对比有放回与不放回抽样引出概念，关联二项分布搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以产品抽样、学生干部选拔等实例引导学生抽象数学模型，培养数学眼光。通过思考问题和即时练发展推理能力，体现数学思维。规范分布列书写与均值计算，强化数学语言表达。采用“概念-例题-跟踪训练”结构，助力学生掌握知识，教师可高效开展教学。

7．4.2　超几何分布 1 新课导入 学习目标 　　超几何分布是统计学上的一种离散型分布．它描述了从有限N个物件中抽出n个物件(n≤N)，成功抽出该指定种类的物件次数的概率分布．因其形式与“超几何函数”的级数展开式的系数有关，故称为超几何分布． 1.理解超几何分布的概念及特征． 2．掌握超几何分布的均值的计算． 3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　超几何分布的概念 已知在10件产品中有4件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X. 思考1　抽取产品中次品数X服从二项分布吗？ 提示：若采用有放回抽样，X服从二项分布；若采用不放回抽样，X不服从二项分布． 返回导航 思考2　若采用不放回抽样，试写出X的分布列． 返回导航 [知识梳理] 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝__________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max {0，n－N＋M}，r＝min {n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 提醒　超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型． 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)超几何分布是不放回抽样．(　　) (2)超几何分布的总体只有两类个体．(　　) (3)对于同一个摸球模型，超几何分布与二项分布的均值相同．(　　) (4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　) × √ √ √ 返回导航 √ 2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 解析：选项A，C中样本没有分类，不是超几何分布问题； 选项D，随机变量不是样本中某一类个体的个数，不是超几何分布问题； 选项B中的随机变量X服从超几何分布． 返回导航 √ 3．在15个村庄中，有7个村庄交通不便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7 C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10 返回导航 判断一个随机变量是否服从超几何分布 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 返回导航 二　超几何分布的概率 [例1] (对接教材例4、例5)一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． 返回导航 (1)记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列； 所以η的分布列为 返回导航 (2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列． 【解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3. 所以X的分布列为 返回导航 求超几何分布的分布列的步骤 返回导航 [跟踪训练1] (1)一个不透明的盒中有4个白球，5个红球，这些球除颜色外完全相同，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是________． 解析：设取出红球的个数为X，则X服从超几何分布， 且N＝9，M＝5，n＝3， 返回导航 5 返回导航 三　超几何分布的均值 思考　若随机变量X服从超几何分布，那么X的均值是什么？ 返回导航 当m＝0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立． 返回导航 (1)求n的值； 解得n＝5(负值已舍去). 返回导航 (2)若随机抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列、均值和方差． 【解】X的可能取值为0，1，2，3， 返回导航 所以X的分布列为 返回导航 返回导航 [跟踪训练2] 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值． 解：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， 返回导航 所以随机变量X的分布列为 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 26 1．下列随机变量中，不服从超几何分布的是(　　) A．在10件产品中有3件次品，不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解析：依据超几何分布的定义可知，试验必须是不放回地抽取n次，A，B，D中随机变量X服从超几何分布，而C中的随机变量X显然不能看作一个不放回抽样问题，故不服从超几何分布． √ 返回导航 √ 返回导航 3．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为X，则P(X≤1)＝________． 返回导航 4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为学校迎新会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则E(ξ)＝ ________． 返回导航 方法二：由题意可知，随机变量ξ服从超几何分布，其中N＝7，M＝2，n＝2， 返回导航 返回导航 η 0 1 P X 0 1 2 3 P X 0 1 2 3 P X 1 2 3 4 P 解析：由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. $