7.4.1 二项分布（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

二项分布与超几何分布

7．4.1　二项分布

一　n重伯努利试验

要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．

思考1　每次试验的结果有几种？每次试验的前提是什么？

提示：每次试验只有两种可能结果：正面朝上或反面朝上；每次试验的条件相同．

思考2　每次试验的结果有无影响？

提示：无影响，各次试验的结果相互独立．

[知识梳理]

1．伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．

2．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

3．n重伯努利试验的共同特征

(1)同一个伯努利试验重复做n次；

(2)各次试验的结果相互独立．

[即时练]

1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)有放回地抽样试验是n重伯努利试验．(　　)

(2)在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　　)

(3)在n重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　　)

(4)一次伯努利试验中，事件A发生的次数X服从两点分布．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．下列事件是n重伯努利试验的是(　　)

A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”

B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”

C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”

D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标

解析：选D.A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，即不是n重伯努利试验；D是n重伯努利试验．

n重伯努利试验的判断依据

(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．

(2)每次试验相互独立，互不影响．

(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．

二　二项分布

在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用事件Ai(i＝1，2，3)表示第i次投篮命中，用事件B1表示仅投中1次．

思考1　试用Ai表示B1.

提示：B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3).

思考2　试求P(B1).

提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A123，1A23，12A3两两互斥，

所以P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)　

＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22

＝3×0.8×0.22＝C×0.81×0.22.

思考3　用事件Bk(k＝0，1，2，3)表示投中k次，试求P(B2)和P(B3).

提示：P(B2)＝C×0.82×0.21，P(B3)＝C×0.83×0.20.

思考4　根据上面问题的结果你能得出什么结论？

提示：结论：P(Bk)＝C×0.8k×0.23-k，k＝0，1，2，3.

[知识梳理]

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n—k，k＝0，1，2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

提醒　判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立地重复进行了n次．

[例1] (对接教材例1、例2)在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球．

(1)若有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列；

(2)若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两个红球就停止，设取球的次数为Y，求Y＝4的概率．

【解】　(1)由题意得X～B(3，)，X的可能取值为0，1，2，3，

所以P(X＝0)＝C×(1－)3＝，

P(X＝1)＝C××(1－)2＝，

P(X＝2)＝C×()2×(1－)＝，

P(X＝3)＝C×()3＝.

故X的分布列为