7.3.1 离散型随机变量的均值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7．3　离散型随机变量的数字特征

7．3.1　离散型随机变量的均值

 

一　离散型随机变量的均值

已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个．

思考1　若任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列．

提示：X的分布列为

思考2　如何求西瓜的平均重量？

提示：＝5×＋6×＋7×＝.

[知识梳理]

1．均值的定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学

期望简称期望．

2．两点分布的均值

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.

3．均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．

[例1] (对接教材例2)端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中装有除口味外其余完全相同的10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，从中任意选取3个．设X表示取到豆沙粽的个数，求X的分布列与均值．

【解】　由题意，得X的可能取值为0，1，2，

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

　

求离散型随机变量X的均值的方法和步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．

(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).

(3)写出X的分布列．

(4)利用均值的定义求E(X).

[跟踪训练1] 盒中装有5节同品牌的5号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均

值．

解：X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝，所以抽取次数X的分布列为

E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

二　离散型随机变量均值的性质

思考　如果X是一个离散型随机变量，E(X＋b)和E(aX)(其中a，b为常数)分别与E(X)有怎样的关系？

提示：设离散型随机变量X的分布列为

则E(X＋b)＝(x1＋b)p1＋(x2＋b)p2＋…＋(xn＋b)pn

＝(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)

＝E(X)＋b.

类似地，可得E(aX)＝aE(X).

[知识梳理]

如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

[例2] 已知随机变量X的分布列为

(1)求E(X)；

(2)若Y＝2X－3，求E(Y).