7.3.1 离散型随机变量的均值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，从实际情境（如商场混合糖果定价、西瓜重量问题）导入，系统梳理均值定义、两点分布均值及均值性质，并通过实例（粽子取豆沙粽、考试多选题得分）构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以情境化问题驱动学习，通过糖果定价等实例引导学生用数学眼光观察现实，结合推导均值性质培养数学思维，以零件购买方案等应用案例强化用数学语言解决问题。课中助力教师引导学生理解，课后辅助学生巩固练习，有效查漏补缺。

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 新课导入 学习目标 　　某商场举办一场销售活动，将单价为18元/千克、24元/千克、36元/千克的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，以此满足顾客的需求．则该糖果的价格定为多少元才合理？这就是今天我们要学习的内容． 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及均值的概念． 2．会根据离散型随机变量的分布列求均值． 3．掌握两点分布的均值． 4．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 一　离散型随机变量的均值 已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个． 思考1　若任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列． 提示：X的分布列为 X 5 6 7 P 思考2　如何求西瓜的平均重量？ 提示：＝5×＋6×＋7×＝. [知识梳理] 1．均值的定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 3．均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． [例1] (对接教材例2)端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中装有除口味外其余完全相同的10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，从中任意选取3个．设X表示取到豆沙粽的个数，求X的分布列与均值． 【解】　由题意，得X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 　 求离散型随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X). [跟踪训练1] 盒中装有5节同品牌的5号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 解：X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝，所以抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 二　离散型随机变量均值的性质 思考　如果X是一个离散型随机变量，E(X＋b)和E(aX)(其中a，b为常数)分别与E(X)有怎样的关系？ 提示：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则E(X＋b)＝(x1＋b)p1＋(x2＋b)p2＋…＋(xn＋b)pn ＝(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn) ＝E(X)＋b. 类似地，可得E(aX)＝aE(X). [知识梳理] 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． [例2] 已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m (1)求E(X)； (2)若Y＝2X－3，求E(Y). 【解】　(1)依题意，由分布列的性质得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，E(X)＝－2×－1×＋0×＋1×＋2×＝－. (2)方法一：因为Y＝2X－3， 所以E(Y)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 方法二：因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝－7×－5×－3×－1×＋1×＝－. 母题探究1　本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值． 解：由本例解析知E(X)＝－，则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 母题探究2　本例条件不变，求E(X－E(X))的值． 解：方法一：因为E(X)＝－， 所以E(X－E(X))＝E(X＋)＝E(X)＋ ＝－＋＝0. 方法二：E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0. 　 求随机变量Y＝aX＋b的均值的方法 (1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解即可． [跟踪训练2] 已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝，X的分布列为 X －1 0 1 P a b 则(　　) A．a＝，b＝　　　 B．a＝，b＝ C．a＝，b＝ D．a＝，b＝ 解析：选A．依题意得E(X)＝－1×＋0×a＋1×b＝b－，所以E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×(b－)＋3＝，解得b＝，又因为＋a＋b＝1，所以a＝.故选A． 应用点　离散型随机变量均值的实际应用 [例3] (对接教材例4)某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为. (1)求对于这道多选题，可能的答案有几种情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率； (2)从这道题得分的均值来看，小明应该只选一个选项，还是选两个选项，还是选三个选项？ 【解】　(1)依题意，对于这道多选题，可能的答案有C＋C＝10种等可能的情况，记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，而正确答案只有1种，则P(A)＝，所以小明这道题能得5分的概率为. (2)如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0，2.小明得2分，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有C种，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有C种，于是P(X＝2)＝＝，P(X＝0)＝1－P(X＝2)＝，则X的分布列为 X 0 2 P E(X)＝0×＋2×＝.如果小明选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，Y＝5的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，Y＝2的事件是有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有C种，P(Y＝5)＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝0)＝1－P(Y＝2)－P(Y＝5)＝， 则Y的分布列为 Y 0 2 5 P E(Y)＝0×＋2×＋5×＝.如果小明选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0，5，且P(Z＝5)＝，P(Z＝0)＝1－P(Z＝5)＝， 故Z的分布列为 Z 0 5 P E(Z)＝0×＋5×＝. 因为E(X)＞E(Y)＞E(Z)， 所以从这道题得分的均值来看，小明应该只选一个选项． 　 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化． (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值． (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断． [跟踪训练3] 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案： ①以100箱为基准，每多50箱送5箱； ②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. 某单位需要这种零件650箱，以购买总价的均值为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？ 解：若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120 000(元). 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X的可能取值为184，188. X的分布列为 X 184 188 P 0.6 0.4 则在折扣优惠中每箱零件价格的均值E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6. 则购买总价的均值为185.6×650＝120 640(元). 因为120 640＞120 000，所以选择方案①更划算． 1．已知随机变量X服从两点分布，E(X)＝0.6，则其成功概率为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 解析：选D．因为随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，所以E(X)＝p＝0.6.故选D． 2．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 若随机变量Y＝3X－1，则E(Y)＝(　　) A．4.2 B．18.9 C．5.3 D．随m变化而变化 解析：选C．由0.2＋0.5＋m＝1， 解得m＝0.3， 所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. 又Y＝3X－1， 所以E(Y)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3. 3．掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为________． 解析：设得分为X，则X的可能取值为1，2，3，4，5，6，且P(X＝i)＝，其中i＝1，2，3，4，5，6，则得分的均值为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 答案： 4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元的价格处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(单位：束)的统计(如表)，计算在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值． X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 解：节日期间这种鲜花需求量的均值为 E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340. 设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450， 所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706. 所以在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值为706元． 　 1．已学习：(1)离散型随机变量的均值；(2)离散型随机变量均值的性质；(3)离散型随机变量的均值的实际应用． 2．须贯通：定义法求离散型随机变量X的均值的四个步骤：写出X所有可能的取值；求出X取每个值时的概率P；写出分布列；利用定义求E(X)并回答均值所表示的结论． 3．应注意：不会应用均值对实际问题作出正确分析． 学科网（北京）股份有限公司 $