7.1.2 全概率公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦全概率公式核心知识点，从条件概率、乘法公式入手，通过晶体管摸球问题推导公式，延伸至多个事件的全概率应用，最后衔接贝叶斯公式，构建完整知识脉络。 以王先生上班选路情境导入，用摸球问题链引导推理，培养数学思维与眼光。结合采购元件、手机市场等实例，助学生用数学语言表达现实问题。课中辅助教师引导理解，课后通过跟踪训练巩固，有效查漏补缺。

7．1.2　全概率公式 新课导入 学习目标 　　王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班路上遇到拥堵的概率是多少？本节课我们一起探究这个问题！ 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式． 2．理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率． 3．了解贝叶斯公式，并会简单应用． 一　全概率公式 一个盒子里装有同一型号的7只好的晶体管、5只坏的晶体管，每次随机摸出1只，摸出的晶体管不放回． 思考1　第一次摸到好的晶体管的概率是多少？ 提示：P＝. 思考2　第二次摸到好的晶体管的概率是多少？ 提示：设事件Ai表示“第i次摸到好的晶体管”，Bi表示“第i次摸到坏的晶体管”，i＝1，2. 则A2＝A1A2∪B1A2，且A1A2与B1A2互斥， 所以P(A2)＝P(A1A2∪B1A2) ＝P(A1A2)＋P(B1A2) ＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1) ＝×＋×＝. 思考3　上述两个事件的概率有怎样的关系？ 提示：这两个事件的概率相等． [知识梳理] 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)． 提醒　全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An). [例1] (对接教材例4)采购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，求采购员随机挑选一包且拒绝购买的概率． 【解】　设事件B1表示“取到的一包含有4个次品”，事件B2表示“取到的一包含有1个次品”，事件A表示“采购员拒绝购买”，则P(B1)＝，P(B2)＝. 又由古典概型计算公式， 可知P(A|B1)＝1－＝， P(A|B2)＝1－＝. 所以由全概率公式，可知 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝. 因此，采购员随机挑选一包且拒绝购买的概率为. 　 两个事件的全概率问题的求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1与A2(或A与). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)(或P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)). [跟踪训练1] 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，从中任取一个为废品的概率． 解：记事件A，B分别为“抽取到的产品是甲厂、乙厂的产品”，事件C为“抽取到的产品是废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥． (1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝. (2)P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝. 二　多个事件的全概率问题 [例2] (对接教材例5)假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 【解】　用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝P(Ai) ·P(B|Ai). (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，则事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． [跟踪训练2] 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．若小王从这8道题中任选1道，则他做对的概率为________． 解析：设A＝“小王从这8道题中任选1道且做对”，B＝“选到能完整做对的4道题”，C＝“选到有思路的3道题”，D＝“选到完全没有思路的1道题”，则P(B)＝＝，P(C)＝，P(D)＝.由全概率公式可得P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P(C)P(A|C)＋P(D)P(A|D)＝×1＋×＋×＝. 答案： 三　*贝叶斯公式 [知识梳理] 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 提醒　条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系： 条件概率P(B|A)＝ 　　　　　↓ 乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A) 　　　　　↓ 全概率公式P(B)＝(Ai)P(B|Ai) 　　　　　↓ 　　　贝叶斯公式 P(Ai|B)＝，i＝1，2，…，n [例3] (对接教材例6)某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到． (1)求这个人迟到的概率； (2)如果这个人迟到了，求他乘轮船的概率． 【解】　(1)设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则P(A)＝0.2，P(D|A)＝0.5，P(B)＝0.4， P(D|B)＝0.2，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0. 由全概率公式，此人迟到的概率是 P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C) ＝0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0＝0.18. (2)如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船的概率为 P(B|D)＝＝ ＝＝. 　 应用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)根据题目，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； (2)利用全概率公式求出P(B)； (3)代入贝叶斯公式求得概率． [跟踪训练3] 8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的步枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支步枪中任取1支射击，结果中靶，则所选用的步枪校准过的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设A＝“从8支步枪中任选一支射击时中靶”，B1＝“使用的步枪校准过”，B2＝“使用的步枪未校准”， 则P(B1)＝，P(B2)＝，P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3. 根据全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×0.8＋×0.3＝， 所以由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝＝. 1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 解析：选C．由P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6. 2．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后不放回地从中各任取一张，则乙中奖的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设“甲中奖”为事件A，“乙中奖”为事件B，则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×1＝. 3．两台机床加工同样的零件，第一台的次品率为0.04，第二台的次品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　) A．0.21 B．0.06 C．0.94 D．0.95 解析：选D．令B＝“取到的零件为合格品”，Ai＝“零件为第i台机床的产品”，i＝1，2， 则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥， 由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝×0.96＋×0.93＝0.95. 4．(教材P52T4改编)假设有两箱同种零件，第一箱内装有50件，其中10件为一等品；第二箱内装有30件，其中18件为一等品(两箱外观相同).现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机地取出两个零件(取出的零件不放回).求先取出的零件是一等品的概率． 解：设事件Ai表示“第i次(不放回地抽取)取得的零件是一等品”，i＝1，2，事件B表示“从第一箱中取出零件”，则表示“从第二箱中取出零件”，由题意可得，P(B)＝P()＝，且P(A1|B)＝＝，P(A1|)＝＝，由全概率公式可得，P(A1)＝P(B)P(A1|B)＋P()P(A1|)＝×＋×＝.所以先取出的零件是一等品的概率为. 　 1．已学习：(1)全概率公式；(2)多个事件的全概率问题；(3)贝叶斯公式． 2．须贯通：利用全概率公式的关键是把样本空间拆分成若干个两两互斥事件的并集，化整为零，然后利用乘法公式和互斥事件概率加法公式求解． 3．应注意：事件拆分不合理或不全面． 学科网（北京）股份有限公司 $