7.1.2 全概率公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7．1.2　全概率公式

 

一　全概率公式

一个盒子里装有同一型号的7只好的晶体管、5只坏的晶体管，每次随机摸出1只，摸出的晶体管不放回．

思考1　第一次摸到好的晶体管的概率是多少？

提示：P＝.

思考2　第二次摸到好的晶体管的概率是多少？

提示：设事件Ai表示“第i次摸到好的晶体管”，Bi表示“第i次摸到坏的晶体管”，i＝1，2.

则A2＝A1A2∪B1A2，且A1A2与B1A2互斥，

所以P(A2)＝P(A1A2∪B1A2)

＝P(A1A2)＋P(B1A2)

＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)

＝×＋×＝.

思考3　上述两个事件的概率有怎样的关系？

提示：这两个事件的概率相等．

[知识梳理]

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)．

提醒　全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An).

[例1] (对接教材例4)采购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，求采购员随机挑选一包且拒绝购买的概率．

【解】　设事件B1表示“取到的一包含有4个次品”，事件B2表示“取到的一包含有1个次品”，事件A表示“采购员拒绝购买”，则P(B1)＝，P(B2)＝.

又由古典概型计算公式，

可知P(A|B1)＝1－＝，

P(A|B2)＝1－＝.

所以由全概率公式，可知

P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝.

因此，采购员随机挑选一包且拒绝购买的概率为.

　

两个事件的全概率问题的求解策略

(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1与A2(或A与).

(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．

(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)(或P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)).

 [跟踪训练1] 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，

甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：

(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；

(2)若将所有产品开箱混放，从中任取一个为废品的概率．

解：记事件A，B分别为“抽取到的产品是甲厂、乙厂的产品”，事件C为“抽取到的产品是废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥．

(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得

P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.

(2)P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得

P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.

二　多个事件的全概率问题

[例2] (对接教材例5)假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：

在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．

【解】　用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.

“化整为零”求多事件的全概率问题