7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第2课时　条件概率的性质及应用

一　概率的乘法公式

思考1　一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等，如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？

提示：相互独立．

思考2　对于任意两个事件A，B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？

提示：由P(B|A)＝，可得P(AB)＝P(A)P(B|A).

[知识梳理]

概率的乘法公式：

对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．

提醒　条件概率公式是由P(AB)，P(A)求P(B|A)；乘法公式是由P(A)，P(B|A)求P(AB).　

[例1] (对接教材例2)(1)一部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次击打，若没有受损，则认为该建筑构件通过质检．若第一次击打后该建筑构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施击打也没有受损的概率为0.80，则该建筑构件通过质检的概率为(　　)

A．0.4    B．0.16

C．0.68    D．0.17

(2)已知1号箱有2个白球和4个红球，2号箱有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同)，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】　(1)设Ai表示“第i次击打后该建筑构件没有受损”，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，所以由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)

＝0.85×0.80＝0.68，即该建筑构件通过质检的概率是0.68.

(2)设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B．

由题意知P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝，

所以两次都取到红球的概率为.

【答案】　(1)C　(2)C

　

利用乘法公式求概率的步骤

(1)求事件A的概率P(A)；

(2)求在事件A发生的前提下事件B发生的概率P(B|A)；

(3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求解．

[跟踪训练1] 10个考签中有4个难签，2个人参加抽签(不放回)，甲先抽，乙后抽．求：

(1)甲抽到难签的概率；

(2)甲、乙都抽到难签的概率；

(3)甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率．

解：记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签．

(1)甲抽到难签的概率为P(A)＝＝.

(2)甲先抽到难签，此时还剩9个考签，其中有3个难签，则乙抽到难签的概率为P(B|A)＝＝，所以甲、乙都抽到难签的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.

(3)甲先抽，没有抽到难签的概率为P()＝1－P(A)＝，此时还剩9个考签，其中有4个难签，则乙抽到难签的概率为P(B|)＝.所以甲没有抽到难签而乙抽到

难签的概率为P(B)＝P()P(B|)＝×＝.

二　条件概率的性质

先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A表示“第一枚出现4点”，事件B表示“第二枚出现5点”，事件C表示“第二枚出现6点”．

思考1　试求P(B|A)与P(C|A).

提示：P(B|A)＝，P(C|A)＝.

思考2　若已知第一枚出现4点，求“第二枚出现大于4点”的概率．

提示：P(B∪C|A)＝＝.

思考3　根据前面的计算，你能得出什么结论？

提示：若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).

[知识梳理]

条件概率具有概率的性质：设P(A)＞0，则

(1)P(Ω|A)＝1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则

P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；

(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．

提醒　(1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；

(2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和．

[例2] (对接教材例3)在一个袋子中装有除颜色外其余均相同的1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球共10个球，从中依次摸2个球(不放回)，在第一个球是红球的条件下，求第二个球是黄球或黑球的概率．

【解】　方法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，

则P(A)＝，P(AB)＝＝，

P(AC)＝＝.