7.1.1 第1课时 条件概率的概念与计算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦条件概率的概念与计算这一核心知识点，从古典概型实例切入，通过抛硬币等情境引出条件概率定义，构建定义法与缩小样本空间法两种计算方法的学习支架，衔接前后知识脉络。 以集市摸球游戏导入培养数学眼光，通过问题链引导抽象概念发展数学思维，结合节目抽取、天气统计等实例训练数学语言表达，课中辅助教师清晰授课，课后练习题助力学生查漏补缺，强化知识应用。

7．1　条件概率与全概率公式 7．1.1　条件概率 新课导入 学习目标 　　集市上，有一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是：袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，若第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱．你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？ 1.结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率． 2．了解条件概率与独立性的关系，会用缩小样本空间法计算条件概率． 3．掌握概率的乘法公式，并能解决一些简单的实际问题． 4．理解条件概率的性质，会利用条件概率的性质求解概率． 第1课时　条件概率的概念与计算 一　条件概率的概念 抛掷一枚质地均匀的硬币两次． 思考1　两次都是正面向上的概率是多少？ 提示：抛掷一枚质地均匀的硬币两次，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}，其中两次都是正面向上的事件记为B，则B＝{正正}，故P(B)＝. 思考2　在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示：将第一次出现正面向上的事件记为C，则C＝{正正，正反}，那么在C发生的条件下，B发生的概率为.在事件C发生的条件下，事件B发生的概率发生了变化． [知识梳理] 1．条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．条件概率的计算方法． (1)定义法：P(B|A)＝. (2)缩小样本空间法：P(B|A)＝. 提醒　P(B|A)与P(AB)，P(A)三者互不相同，P(B|A)是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A与B同时发生的概率，P(A)是事件A的概率，P(B|A)与P(B)不一定相等． [例1] 判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高三的女生获得冠军的概率； (2)抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知在抽到方块的条件下，求抽到的是方块9的概率． 【解】　(1)由于高三的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件下所求的概率，所以所求概率是条件概率． (2)抛掷一枚质地均匀的骰子会出现1，2，3，4，5，6这6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概型，所以掷出的点数为3的概率不是条件概率． (3)由于求抽到方块9的概率，是在抽到方块的条件下所求出的概率，所以求抽到的是方块9的概率是条件概率． 　 判断是否是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． [跟踪训练1] 下面几种概率是条件概率的是(　　) A．甲、乙二人投篮的命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮的命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 解析：选B．由条件概率的定义知B为条件概率． 二　利用定义求条件概率 [例2] (对接教材例1)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 【解】　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB． (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，试验的样本空间Ω包含的样本点数n(Ω)＝A＝30. 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 母题探究　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则“第1次抽到舞蹈节目且第2次抽到语言类节目”为事件AC． 则P(A)＝，P(AC)＝＝， 所以P(C|A)＝＝. 　 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)； (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． [跟踪训练2] (1)(多选)某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为；既刮四级以上风又下雨的概率为.设事件A为“下雨”，事件B为“刮四级以上风”，则下列说法正确的有(　　) A．P(A|B)＝ B．P(B|A)＝ C．P(B|A)＝ D．P(A|B)＝ 解析：选BD．由题意可知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝，故选BD． (2)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有A，B两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为，B部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏(只考虑A，B两个易损部分)的条件下，A，B两个部位都损坏的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选A．记事件E：第一次打击后就有部位损坏，事件F：A，B两个部位都损坏， 则P(E)＝1－＝，P＝×＝， 由条件概率公式可得P(F|E)＝＝. 三　缩小样本空间求条件概率 [例3] 某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲，假设事件A为“选取的2 名学生性别相同”，事件B为“选取的2名学生为男生”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　由题意得，事件A包含的样本点数n(A)＝C＋C＝9，事件AB包含的样本点数n(AB)＝C＝6.所以P(B|A)＝＝＝. 【答案】　D 　 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB． (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． [跟踪训练3] 已知盒子中有6个大小、质地相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y.若事件A＝“x＋y为偶数”，事件B＝“x，y中有偶数且x≠y”，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意，有放回地随机取两球，所以n(Ω)＝36，因为事件B＝“x，y中有偶数且x≠y”，所以n(B)＝36－3×3－3＝24，因为事件A＝“x＋y为偶数”，所以事件AB＝“x，y均为偶数且x≠y”，所以n(AB)＝A＝6，所以P(A|B)＝＝＝. 1．已知P(AB)＝0.6，P(B|A)＝0.8，则P(A)＝(　　) A．0.75 B．0.6 C．0.48 D．0.2 解析：选A．由条件概率的公式P(B|A)＝，得0.8＝，解得P(A)＝0.75. 2．某道数学试题含有两问，当第一问做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为(　　) A．0.72 B．0.8 C．0.9 D．0.2 解析：选C．因为共调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为0.72. 设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝＝＝0.9. 3．从一副扑克的52张牌(去掉两张王牌后)中任取1张，则在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率是________． 解析：设A＝“抽到梅花”，B＝“抽到梅花5”．已知在A发生的条件下，A成为试验的样本空间，A中的样本点具有等可能性，B是A的子集，所以P(B|A)＝＝. 答案： 4．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，甲先取(不放回)，乙后取，在甲取到奇数的条件下，求乙取到的数比甲取到的数大的概率． 解：方法一(定义法)：设“甲取到奇数”为事件B，乙“取到的数比甲取到的数大”为事件C， 则P(B)＝＝，P(BC)＝＝，所以P(C|B)＝＝，即在甲取到奇数的条件下，乙取到的数比甲取到的数大的概率为. 方法二(缩小样本空间法)：将甲取到数字a，乙取到数字b记作(a，b)，甲取到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15种．在这15种情形中，乙取到的数比甲取到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9种，所以所求概率为＝. 　 1．已学习：(1)条件概率的定义；(2)条件概率的计算． 2．须贯通：求条件概率的两种常用方法：定义法、缩小样本空间法． 3．应注意：分清“在谁的条件下”，求“谁的概率”． 学科网（北京）股份有限公司 $