7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学条件概率的性质及应用，衔接已学的条件概率定义与相互独立事件知识，通过思考问题引出概率乘法公式，进而系统梳理互斥事件条件概率可加性、对立事件条件概率关系等性质，构建从定义到性质再到应用的学习支架。 该资料以试拨电话号码、种子发芽等现实情境引导学生用数学眼光抽象问题，通过充要条件证明培养数学思维的逻辑推理能力，借助密码问题、墨水抽取等实例强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过跟踪训练巩固知识，查漏补缺。

第2课时　条件概率的性质及应用 学习目标 1.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥(对立)随机事件的条件概率．　2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 我们已经学习：若事件A与事件B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B).请思考下列问题： 思考1　已知P(B|A)＝P(B)，事件A与事件B相互独立吗？ 提示：相互独立，因为P(B|A)＝P(B)，所以＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立． 思考2　已知P(B|A)≠P(B)，如何求P(AB)? 提示：由P(B|A)＝， 可得：P(AB)＝P(A)P(B|A). 一　概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝____________． [答案自填] P(A)P(B|A) 　(1)某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A． B． C． D． (2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________． 【解析】　(1)记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝×＝.故选A. (2)记A＝“种子发芽”，B＝“出芽后的幼苗成活”，P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9， AB＝“种子长成幼苗(发芽，又成活)”， 故P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.72. 【答案】　(1)A　(2)0.72 应用乘法公式求概率一般步骤 概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直接计算P(AB)时，则可按下列步骤求“积事件”的概率： (1)首先判断事件A与事件B，是否有P(A)>0或P(B)>0； (2)根据已知条件表示出相应事件的概率P(A)，P(B|A)或P(B)，P(A|B)； (3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)或P(AB)＝P(B)P(A|B)求解． [跟踪训练1] 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设“该地区每年七月份刮台风”为事件A，“该地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB． 由题得P(A)＝，P(B|A)＝， 由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.故选B． 二　条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝________； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝____________； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝____________． [答案自填] 1　P(B|A)＋P(C|A) 1－P(B|A) 　(对接教材例3)银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： (1)任意按最后1位数字，不超过3次就按对的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率． 【解】　(1)设Ai(i＝1，2，3)表示第i次按对密码，A表示不超过3次就按对密码，则有A＝A1∪1A2∪12A3， 因为事件A1，1A2，12A3两两互斥，由概率的加法公式和乘法公式可得， P(A)＝P(A1∪1A2∪12A3) ＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)， ＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(12)·P(A3|12) ＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)·P(2|1)·P(A3|12)＝＋×＋××＝. (2)记事件B表示最后1位密码是偶数， 则P(A|B)＝P(A1∪1A2∪12A3|B) ＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＋P(12A3|B) ＝＋＋＝. 应用条件概率的性质解题的方法 在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若B与C互斥，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，此公式可推广到多个事件互斥的情况． [跟踪训练2] 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率． 解：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C，且B与C互斥， 易求得P(A)＝＝， P(AB)＝＝，P(AC)＝＝， 故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝，即取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的概率为. 三　与条件概率公式有关的证明问题 　当0<P(A)<1时，求证：P(B|A)＝P(B)的充要条件是P(B|)＝P(B). 【证明】　①必要性： 若P(B|A)＝P(B)，则＝P(B)， 即P(AB)＝P(A)P(B)， 又因为B＝B＋AB， 所以P(B)＝P(B)＋P(AB)， 所以P(B|)＝ ＝＝ ＝＝P(B). ②充分性： 若P(B|)＝P(B)，则＝P(B)， 即P(B)＝P()P(B)， 由P(B)＝P(B)＋P(AB)， 得P(B)＝P(B)－P(AB)， 故P(B)－P(AB)＝(1－P(A))P(B)， 所以P(AB)＝P(A)P(B)， 所以P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)， 又P(A)≠0，所以P(B|A)＝P(B)， 由①②可知，P(B|A)＝P(B)的充要条件是P(B|)＝P(B). 利用事件A与事件B相互独立的定义P(AB)＝P(A)P(B)及条件概率的性质进行转化变形、推理论证，这里要注意互斥事件、对立事件及相互独立事件的区别． [跟踪训练3] 已知与的比值为R. 求证：R＝·. 证明：因为R＝· ＝···， 所以R＝···. 所以R＝·. 1．(教材P48T1改编)设A，B是两个随机事件，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，若B发生时A必定发生，则下列结论正确的是(　　) A．P(A＋B)＝P(B) B．P(B|A)＝ C．P(A|B)＝1 D．P(AB)＝P(A) 解析：选C.因为事件B发生时A必定发生，于是A＋B＝A，AB＝B，则P(A＋B)＝P(A)，P(AB)＝P(B)，A，D错误；P(B|A)＝＝，P(A|B)＝＝＝1，B错误，C正确．故选C. 2．(多选)某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6名，其中3名男生，3名女生；乙组有选手5名，其中3名男生，2名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”，B表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则(　　) A．P(B|A)＝ B．P(|A)＝ C．P(B|)＝ D．P(|)＝ 解析：选AC.对于A，在A发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有3种可能情况，所以P(B|A)＝，A正确；对于B，在A发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是女生有3种可能情况，所以P(|A)＝，B错误；对于C，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有4种可能情况，所以P(B|)＝，C正确；对于D，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是女生有2种可能情况，所以P(|)＝，D错误．故选AC. 3．已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(BC)＝，P(A∪B|C)＝，则P(A|C)＝________． 解析：由题意知，P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)＝，P(B|C)＝＝＝， 则P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C) ＝－＝. 答案： 4．盒中有4个质地、形状完全相同的小球，其中有1个红球，1个绿球，2个黄球．现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．求在此过程中没有取到黄球的概率． 解：没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”， 记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球， 则P(R1)＝， P(G1R2)＝P(G1)·P(R2|G1)＝×＝， 所以没有取到黄球的概率为P＝＋＝. 1．已学习：(1)概率乘法公式；(2)条件概率的性质及应用． 2．须贯通：把相对复杂的事件分成两个(或多个)互斥事件之和，体现了分类讨论思想． 3．应注意：概率乘法公式的条件；条件概率与事件独立性的辨析． 学科网（北京）股份有限公司 $