第6章 阶段提升(一) 排列与组合(范围：6.1～6.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦排列与组合综合应用，系统梳理先选后排法、分类讨论法、间接法、倍缩法四大题型，搭建从基础概念到复杂问题解决的学习支架，衔接教材6.1至6.2节内容，助力学生掌握排列组合问题的解题逻辑。 资料通过例题与跟踪训练结合生活情境，引导学生用数学眼光发现问题，分类讨论与间接法等培养数学思维中的推理能力，规范的解题步骤强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

阶段提升(一)　排列与组合(范围：6.1～6.2) 题型一　先选后排法——排列与组合综合问题 [例1] 从A，B，C等7人中选5人排成一排． (1)若A必须在内，有多少种排法？ (2)若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ 【解】　(1)根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有CA＝1 800种排法． (2)根据题意，先在其他4人中选出2人，有C＝6种选法，将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有AA＝12种选法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况，所以共有6×12×2＝144种不同的排法． 　 (1)求解排列与组合问题时，首先要把握问题的实质，元素是否有序，再结合两个计数原理，按元素的性质确定分类标准，按事情发生的过程确定分步的顺序． (2)解排列与组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列． [跟踪训练1] (1)已知x，y，z∈{－2，－1，0，1，2}，且x2＋y2＋z2＝5，则在空间直角坐标系Oxyz中，(x，y，z)对应的点的个数为(　　) A．48 B．24 C．12 D．6 解析：选B．已知x，y，z∈{－2，－1，0，1，2}，且x2＋y2＋z2＝5，则x，y，z在－2或2里取一个值，－1或1里取一个值，0必取，故符合题意的点(x，y，z)的个数为CCA＝2×2×6＝24. (2)由0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，其中含有2，3的五位数的个数为(　　) A．120 B．240 C．408 D．960 解析：选C．若五位数中含有0，则共有CCA个数；若五位数中不含0，则共有A个数，所以共有CCA＋A＝408个五位数． 题型二　分类讨论法——多面手问题 [例2] 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别翻译英语和日语，有多少种不同的选法？ 【解】　由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 方法一：分两类． 第一类：从只会英语的6人中选1人翻译英语，有6种选法，则选翻译日语的1人有2＋1＝3种选法．此时共有6×3＝18种选法． 第二类：从既会英语又会日语的1人中选1人翻译英语，有1种选法，则选翻译日语的1人有2种选法，此时有1×2＝2种选法． 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20种选法． 方法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)翻译英语；(2)翻译日语． 第一类，甲入选． (1)甲翻译英语，再从只会日语的2人中选1人，有2种选法； (2)甲翻译日语，再从只会英语的6人中选1人，有6种选法． 故甲入选共有2＋6＝8种不同的选法． 第二类，甲不入选，可分两步： 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12种不同的选法． 综上，共有8＋12＝20种不同的选法． 　 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． [跟踪训练2] 某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外科又会内科的医生2名．现在要从该医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村庄1人，要求3名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有________种派遣方法． 解析：由题意知，以选出只会外科的人数进行分类： 从只会外科的人中选1人，有CA＝60种派遣方法，从只会外科的人中选0人，有(C－C)A＝54种派遣方法，所以共有60＋54＝114种派遣方法． 答案：114 题型三　间接法——正难则反问题 [例3] (1)甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游玩方案的种数为(　　) A．65 B．73 C．70 D．60 (2)某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上)，那么这位老师一天课表的所有排法有________种． 【解析】　(1)根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种游玩方案，若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼、东湖，每人有2种选择，则4人一共有2×2×2×2＝16种游玩方案，故汉口江滩一定要有人去有81－16＝65种游玩方案． (2)从9节课中任意安排3节共有A＝504种排法； 其中前5节课连排3节共有3A＝18种排法；后4节课连排3节共有2A＝12种排法．所以老师一天课表的所有排法共有504－18－12＝474(种). 【答案】　(1)A　(2)474 　 间接法的解题步骤 间接法，也称为总体剔除法，其解题步骤是：首先忽略题目中给出的附加条件，就整体的排列组合数量进行计算；然后再利用附加条件来计算得出不符合题目要求的数量；最后通过前后相减的方式得出问题的具体答案． [跟踪训练3] (1)从正方体的8个顶点中选4个点可作四面体的个数为(　　) A．38 B．46 C．58 D．64 解析：选C．正方体的8个顶点中选4个点共有C种选法，其中4点共面的情况有正方体的6个面和6个对角面，故可作C－12＝58个四面体． (2)某科技大会现面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”“服务组”“物料组”“机动组”四个不同岗位的工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有________种．(用数字作答) 解析：依题意，6人中选派4人参与选派方式共有A＝360(种)，其中甲、乙都不参与的选派方式共有A＝24(种)，甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有CA＝60(种)，所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有360－24－60＝276(种). 答案：276 题型四　倍缩法——定序问题 [例4] (1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有______个七位数符合条件． (2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻).这样的排列方法有______种．(用数字作答) 【解析】　(1)方法一：分两步：先排无顺序要求的2，4，6，有A种方法，再排顺序一定的1，3，5，7，因为顺序已经确定，只有1种排法，所以这样的七位数共有A×1＝210(个). 方法二：用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数有A个． 把这个排列过程换一种思路，分两步：①先排1，3，5，7之外数字的有x种排法； ②再把剩余的位置排列1，3，5，7，有A种排法．所以A＝x·A，所以x＝＝210.这就是1，3，5，7顺序一定的七位数个数． (2)方法一(整体法)：5个字母无约束条件的全排列有A种排法，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有×2＝40(种). 方法二(插空法)：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”．将字母D，E插入这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有AA种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．则不同的排列方法有AA＋A＝20(种).同理，字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”时，也有20种不同的排列方法． 因此，满足条件的排列方法有20＋20＝40(种). 【答案】　(1)210　(2)40 　 倍缩法也称消序法，主要适用于定序问题． 将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？ n个不同元素排列成一排，共有A种排法；k个不同元素排列成一排共有A种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的A分之一．故符合条件的排列共有种． [跟踪训练4] A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B的前面且D在E的前面，不同的排法种数为________． 解析：5个不同元素排成一列，共有A种排法． A，B两个元素的排法有A种； D，E两个元素的排法有A种． 所以符合条件的排法有＝30(种). 答案：30 学科网（北京）股份有限公司 $