第6章 阶段提升(一) 排列与组合(范围：6.1～6.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段提升(一)　排列与组合(范围：6.1～6.2)

题型一　先选后排法——排列与组合综合问题

[例1] 从A，B，C等7人中选5人排成一排．

(1)若A必须在内，有多少种排法？

(2)若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？

【解】　(1)根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有CA＝1 800种排法．

(2)根据题意，先在其他4人中选出2人，有C＝6种选法，将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有AA＝12种选法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况，所以共有6×12×2＝144种不同的排法．

　

(1)求解排列与组合问题时，首先要把握问题的实质，元素是否有序，再结合两个计数原理，按元素的性质确定分类标准，按事情发生的过程确定分步的顺序．

(2)解排列与组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．

[跟踪训练1] (1)已知x，y，z∈{－2，－1，0，1，2}，且x2＋y2＋z2＝5，则在空间直角坐标系Oxyz中，(x，y，z)对应的点的个数为(　　)

A．48    B．24  

C．12    D．6

解析：选B．已知x，y，z∈{－2，－1，0，1，2}，且x2＋y2＋z2＝5，则x，y，z在－2或2里取一个值，－1或1里取一个值，0必取，故符合题意的点(x，y，z)的个数为CCA＝2×2×6＝24.

(2)由0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，其中含有2，3的五位数的个数为(　　)

A．120    B．240  

C．408    D．960

解析：选C．若五位数中含有0，则共有CCA个数；若五位数中不含0，则共有A个数，所以共有CCA＋A＝408个五位数．

题型二　分类讨论法——多面手问题

[例2] 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别翻译英语和日语，有多少种不同的选法？

【解】　由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．

方法一：分两类．

第一类：从只会英语的6人中选1人翻译英语，有6种选法，则选翻译日语的1人有2＋1＝3种选法．此时共有6×3＝18种选法．

第二类：从既会英语又会日语的1人中选1人翻译英语，有1种选法，则选翻译日语的1人有2种选法，此时有1×2＝2种选法．

所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20种选法．

方法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)翻译英语；(2)翻译日语．

第一类，甲入选．

(1)甲翻译英语，再从只会日语的2人中选1人，有2种选法；

(2)甲翻译日语，再从只会英语的6人中选1人，有6种选法．

故甲入选共有2＋6＝8种不同的选法．

第二类，甲不入选，可分两步：

第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12种不同的选法．

综上，共有8＋12＝20种不同的选法．

　

解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．

[跟踪训练2] 某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外科又会内科的医生2名．现在要从该医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村庄1人，要求3名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有________种派遣方法．

解析：由题意知，以选出只会外科的人数进行分类：

从只会外科的人中选1人，有CA＝60种派遣方法，从只会外科的人中选0人，有(C－C)A＝54种派遣方法，所以共有60＋54＝114种派遣方法．

答案：114

题型三　间接法——正难则反问题

[例3] (1)甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游玩方案的种数为(　　)

A．65    B．73   

C．70    D．60

(2)某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上)，那么这位老师一天课表的所有排法有________种．

【解析】　(1)根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学每人有3种选择，则4人一