第6章 阶段提升(二) 二项式定理(范围：6.3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段提升(二)　二项式定理(范围：6.3)

题型一　二项展开式中系数最大(小)问题

[例1] 已知(x＋)n的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是(　　)

A．第2项    B．第3项

C．第4项    D．第5项

【解析】　由展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式中共有7项，则n＝6，所以二项式为(x＋)6，其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6-r()r＝2－rCx6-r，r＝0，1，2，3，4，5，6.设展开式中第r＋1项的系数最大，则有解得≤r≤，故r＝2，经检验符合题意，所以展开式中系数最大的项是第3项．

【答案】　B

　

展开式中系数最大的项的求法

求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，则解①式得k的取值范围，解②式时只需将①式解中的k变为k＋1，再改变不等号方向，即可得②式的解，由①②得k的取值范围，即得出系数最大的项．

[跟踪训练1] 在(2x－3)21的展开式中系数最小的项为________．

解析：(2x－3)21的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)21-k(－3)k＝C·221-k·(－3)kx21-k，系数的绝对值为C221-k3k，

设第k＋1项的系数的绝对值最大，

则

解得≤k≤，则k＝13，即系数的绝对值的最大值为C×28×313.

因为13为奇数，所以C×28×(－3)13＝－C×28×313，即第14项的系数最小，

所以系数最小的项为－C×28×313x8.

答案：－C×28×313x8

题型二　两个二项式乘积的特定项问题

[例2] (1)(2＋x)4(3－x)5的展开式中x8的系数为(　　)

A．7    B．23  

C．－7    D．－23

(2)已知(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为240，则a＝________．

【解析】　(1)(2＋x)4的展开式的通项为Tr＋1＝C24-rxr，r＝0，1，2，3，4，

(3－x)5的展开式的通项为Tu＋1＝C35-u(－x)u＝(－1)uC35-uxu，u＝0，1，2，3，4，5，所以(2＋x)4·(3－x)5的展开式的通项为Tr＋1·Tu＋1＝C24-rxr·(－1)uC35-uxu，则(2＋x)4(3－x)5的展开式中x8的系数为C21·(－1)5C30＋C20·(－1)4C31＝－8＋15＝7.