第6章 阶段提升(二) 二项式定理(范围：6.3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦二项式定理核心知识点，系统梳理系数最大（小）项求法、两个二项式乘积特定项、三项展开式及定理应用等内容，通过例题解析、方法总结与跟踪训练构建学习支架，助力学生从基础理解过渡到综合应用。 该资料突出数学思维与语言培养，如用待定系数法分析系数变化培养推理能力，将71⁹-1转化为(72-1)⁹展开体现抽象能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升问题解决与规范表达能力。

阶段提升(二)　二项式定理(范围：6.3) 题型一　二项展开式中系数最大(小)问题 [例1] 已知(x＋)n的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【解析】　由展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式中共有7项，则n＝6，所以二项式为(x＋)6，其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6-r()r＝2－rCx6-r，r＝0，1，2，3，4，5，6.设展开式中第r＋1项的系数最大，则有解得≤r≤，故r＝2，经检验符合题意，所以展开式中系数最大的项是第3项． 【答案】　B 　 展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，则解①式得k的取值范围，解②式时只需将①式解中的k变为k＋1，再改变不等号方向，即可得②式的解，由①②得k的取值范围，即得出系数最大的项． [跟踪训练1] 在(2x－3)21的展开式中系数最小的项为________． 解析：(2x－3)21的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)21-k(－3)k＝C·221-k·(－3)kx21-k，系数的绝对值为C221-k3k， 设第k＋1项的系数的绝对值最大， 则 解得≤k≤，则k＝13，即系数的绝对值的最大值为C×28×313. 因为13为奇数，所以C×28×(－3)13＝－C×28×313，即第14项的系数最小， 所以系数最小的项为－C×28×313x8. 答案：－C×28×313x8 题型二　两个二项式乘积的特定项问题 [例2] (1)(2＋x)4(3－x)5的展开式中x8的系数为(　　) A．7 B．23 C．－7 D．－23 (2)已知(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为240，则a＝________． 【解析】　(1)(2＋x)4的展开式的通项为Tr＋1＝C24-rxr，r＝0，1，2，3，4， (3－x)5的展开式的通项为Tu＋1＝C35-u(－x)u＝(－1)uC35-uxu，u＝0，1，2，3，4，5，所以(2＋x)4·(3－x)5的展开式的通项为Tr＋1·Tu＋1＝C24-rxr·(－1)uC35-uxu，则(2＋x)4(3－x)5的展开式中x8的系数为C21·(－1)5C30＋C20·(－1)4C31＝－8＋15＝7. (2)(x＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5-r·()r＝2rCx5-2r(r＝0，1，2，3，4，5)， 令5－2r＝－1得r＝3；令5－2r＝0，无解， 所以(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为a·23C＝80a＝240，所以a＝3. 【答案】　(1)A　(2)3 　 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； (2)找到构成展开式中特定项的组成部分； (3)分别求解再相乘、求和即得． [跟踪训练2] 在(x2＋1)(x－2)7的展开式中，x5的系数是________． 解析：因为(x2＋1)(x－2)7＝x2(x－2)7＋1×(x－2)7，所以展开式中x5可以是x2与(x－2)7中x3项的积，也可以是1与(x－2)7中x5项的积，故x5的系数为1×C(－2)4＋1×C(－2)2＝560＋84＝644. 答案：644 题型三　三项展开式问题 [例3] (1＋x＋x2)5的展开式中所有项的系数和是________，含x3的项的系数是________． 【解析】　令x＝1，则所有项的系数和是(1＋1＋12)5＝243. 方法一：因为(1＋x＋x2)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5-rx2r(r＝0，1，2，3，4，5)， 所以当r＝0时，则(1＋x)5-r展开式中的含x3的项为Cx3； 当r＝1时，则(1＋x)5-r展开式中的含x的项为Cx； 所以含x3的项的系数是CC＋CC＝10＋20＝30. 方法二：(1＋x＋x2)5是5个式子(1＋x＋x2)连乘，求含x3＝x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子(1＋x＋x2)中选三个式子提供x，两个式子提供1；或者一个式子提供x，一个式子提供x2，三个式子提供1即可，所以含x3的项的系数是CC＋CCC＝10＋20＝30. 【答案】　243　30 　 三项式求特定项的常用方法 (1)因式分解法：通过分解因式将三项式变成两个二项式的积，然后用二项式定理分别展开． (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开． [跟踪训练3] (x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为________．(用数字作答) 解析：方法一(因式分解法)：因为(x2－x－2)4＝[(x－2)(x＋1)]4＝(x－2)4·(x＋1)4＝[Cx4＋Cx3(－2)＋Cx2(－2)2＋Cx(－2)3＋C(－2)4]·(Cx4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋C)，所以x3的系数为－2CC＋4CC＋(－8)CC＋16CC＝－40. 或(x2－x－2)4＝(x－2)4①·(x＋1)4②. x3可以由以下几种情况构成： (1)①式中提供x3，②式中提供常数； (2)①式中提供x2，②式中提供x； (3)①式中提供x，②式中提供x2； (4)①式中提供常数，②式中提供x3，则系数为C(－2)1C＋C(－2)2C＋C(－2)3C＋C(－2)4C＝－40. 方法二(逐层展开法)：(x2－x－2)4＝[(x2－x)－2]4＝[－2＋(x2－x)]4的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2)4-k(x2－x)k(k＝0，1，2，3，4)， (x2－x)k的展开式的通项为T′r＋1＝C(x2)k－r(－x)r＝C(－1)rx2k－r(0≤r≤k，r∈N). 令2k－r＝3，可得k＝2，r＝1或k＝3，r＝3. 当k＝2，r＝1时，展开式中含x3的项为C(－2)2C(－1)1x3＝－48x3； 当k＝3，r＝3时，展开式中含x3的项为C(－2)1C(－1)3x3＝8x3. 综上，(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为－48＋8＝－40. 答案：－40 题型四　二项式定理的应用 [例4] (1)719－1除以8的余数为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 (2)用二项式定理估算1.0110的值为________．(精确到0.001) 【解析】　(1)719－1＝(72－1)9－1＝C729＋C728×(－1)＋…＋C72×(－1)8＋C(－1)9－1＝72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]－2， 因为72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]肯定是8的倍数， 因此719－1除以8的余数为6. (2)1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋C×0.01＋C×0.012＋C×0.013＋…＋C×0.0110≈1＋0.1＋0.0045＝1.1045≈1.105. 【答案】　(1)D　(2)1.105 　 整除性问题或求余数问题的处理方法 (1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式； (2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了． [跟踪训练4] (多选)设a∈N，且0≤a＜26，若5120＋a能被13整除，则a的值可以为(　　) A．0 B．11 C．12 D．25 解析：选CD．5120＋a＝(52－1)20＋a＝C5220×(－1)0＋C5219×(－1)1＋C5218×(－1)2＋…＋C521×(－1)19＋C(－1)20＋a，又52能被13整除，所以需使C(－1)20＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，所以1＋a＝13k，k∈Z. 又0≤a＜26，所以a＝12或a＝25. 学科网（北京）股份有限公司 $