6.3.2 二项式系数的性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6．3.2　二项式系数的性质

 

一　二项式系数的性质

(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，C，…，C可表示成如下形式，

思考1　上图最显著的特点是什么？

提示：(1)从第一项起至中间项的二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小．

(2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．

思考2　每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数有怎样的关系？

提示：相等．

思考3　当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？

提示：分别是1，6，15，20，15，6，1.

[知识梳理]

1．对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由得到．直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．

2．增减性与最大值

(1)当k<时，C随k的增加而增大．由对称性知，二项式系数的后半部分，C随k的增加而减小．

(2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．

3．各二项式系数的和

(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n．

(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1.

[例1] 在二项式(－1)n的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等．

(1)求n的值；

(2)求展开式中二项式系数最大的项．

【解】　(1)依题意得C＝C，由组合数的性质得n＝8.

(2)因为二项式(－1)8的展开式的通项为Tk＋1＝C(x－)8-k(－1)k＝C(－1)kx，且共有9项，所以二项式(－1)8的展开式中二项式系数最大的项为T5＝C(－1)4x＝70x

　

二项式系数性质的理解

(1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质；

(2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关；

(3)二项式系数和只与n有关．

[跟踪训练1] (1)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是图中某一行的前两个数，当a＝7时，b＝(　　)

A．20    B．21  

C．22    D．23

解析：选C．由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5＝16，所以b＝6＋16＝22.

(2)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为(　　)

A．－960    B．960

C．448    D．－448

解析：选D．依题意当n＝8时，有且只有第5项的二项式系数最大，则x3的系数为C×(－2)3＝－448.

二　各二项式系数的和

[例2] (对接教材例3)(1)在二项式(－)6的展开式中，各项的二项式系数的和为________，所有奇数项的二项式系数的和为__________．(用数字作答)

(2)已知二项式(x3＋)n的展开式的二项式系数之和为64，且x4项的系数为15，则a＝________．

【解析】　(1)二项式(－)6的展开式中，各项的二项式系数的和为26＝64，所有奇数项的二项式系数的和为25＝32.

(2)由展开式的二项式系数之和为64，可得2n＝64，所以n＝6，则展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)6-r·()r＝Carx18-r，

当18－r＝4，即r＝4时，Ca4＝15，所以a4＝1，解得a＝±1.