6.3.2 二项式系数的性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦二项式系数的性质这一核心知识点，从杨辉三角的结构特征切入，通过思考问题引导学生观察对称性、增减性与最大值规律，归纳各二项式系数的和，构建从观察到归纳再到应用的学习支架。 资料以古埃及金字塔类比杨辉三角激发兴趣，培养数学眼光，通过问题链引导自主推理性质，发展数学思维，结合例题与跟踪训练强化赋值法应用，提升数学语言表达能力，课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6．3.2　二项式系数的性质 新课导入 学习目标 　　古埃及的金字塔以其宏伟的气势、严密的结构让世界叹服．把(a＋b)n展开式的二项式系数对称书写，可垒成数学上的金字塔，称为杨辉三角，今天我们共同探索其奥秘． 1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系． 2．掌握二项式系数的性质，并会简单应用． 3．理解和初步掌握赋值法及其应用． 一　二项式系数的性质 (a＋b)n展开式的二项式系数C，C，C，…，C可表示成如下形式， 思考1　上图最显著的特点是什么？ 提示：(1)从第一项起至中间项的二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小． (2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和． 思考2　每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等． 思考3　当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 提示：分别是1，6，15，20，15，6，1. [知识梳理] 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由得到．直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 2．增减性与最大值 (1)当k<时，C随k的增加而增大．由对称性知，二项式系数的后半部分，C随k的增加而减小． (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n． (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1. [例1] 在二项式(－1)n的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 【解】　(1)依题意得C＝C，由组合数的性质得n＝8. (2)因为二项式(－1)8的展开式的通项为Tk＋1＝C(x－)8-k(－1)k＝C(－1)kx，且共有9项，所以二项式(－1)8的展开式中二项式系数最大的项为T5＝C(－1)4x＝70x 　 二项式系数性质的理解 (1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质； (2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关； (3)二项式系数和只与n有关． [跟踪训练1] (1)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是图中某一行的前两个数，当a＝7时，b＝(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 解析：选C．由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5＝16，所以b＝6＋16＝22. (2)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为(　　) A．－960 B．960 C．448 D．－448 解析：选D．依题意当n＝8时，有且只有第5项的二项式系数最大，则x3的系数为C×(－2)3＝－448. 二　各二项式系数的和 [例2] (对接教材例3)(1)在二项式(－)6的展开式中，各项的二项式系数的和为________，所有奇数项的二项式系数的和为__________．(用数字作答) (2)已知二项式(x3＋)n的展开式的二项式系数之和为64，且x4项的系数为15，则a＝________． 【解析】　(1)二项式(－)6的展开式中，各项的二项式系数的和为26＝64，所有奇数项的二项式系数的和为25＝32. (2)由展开式的二项式系数之和为64，可得2n＝64，所以n＝6，则展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)6-r·()r＝Carx18-r， 当18－r＝4，即r＝4时，Ca4＝15，所以a4＝1，解得a＝±1. 【答案】　(1)64　32　(2)±1 　 (a＋b)n的展开式中各二项式系数的和为2n，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于2n-1. [跟踪训练2] 已知(＋)n的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A．1 B．±1 C．2 D．±2 解析：选C．依题意，2n＝32，则n＝5. 展开式的通项为Tk＋1＝C()5-k·()k＝akCx－k.由－k＝0，得k＝3，所以a3C＝80，得a＝2. 应用点　二项展开式的系数和 [例3] 已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. (1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值； (2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值． 【解】　(1)因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. 令x＝0，则a0＝1， 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, ① 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1. (2)对题中等式令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，② ①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512， 所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256. 母题探究　求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值． 解：由二项式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数， 由例3(2)解析得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512. 　 有关二项展开式系数和问题的关注点 (1)方法：赋值法； (2)切入点：对式子中未知数赋恰当的值，达到将系数分离出来的目的； (3)常用公式：若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则①f(x)展开式中各项系数之和为f(1)； ②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝； ③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 提醒　注意各项的系数和与二项式系数和的区别． [跟踪训练3] 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. 解：(1)由题令x＝0，得a0＝2100. (2)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)×(2＋)]100＝1100＝1. 1．观察图中的数的规律，则a＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：选B．由题图知，除1以外，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，则a＝6. 2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 解析：选B．第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件． 3．的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 解析：选C．(x－)11的展开式中第＋1项和＋1项，即6，7项的二项式系数相等，且最大． 4．(ax＋1)n的展开式中，二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则a＝________． 解析：依题意知2n＝32，得n＝5. 令x＝1，得各项系数之和为(a＋1)5＝243， 所以a＋1＝3，故a＝2. 答案：2 　 1．已学习：(1)二项式系数的性质；(2)二项式系数与二项展开式各项系数之和． 2．须贯通：赋值法解决二项展开式系数和． 3．应注意：(1)易混淆系数与二项式系数的区别； (2)不能正确判断中间项的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $