6.3.2 二项式系数的性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，通过杨辉三角类比古埃及金字塔导入，衔接二项式定理，以思考问题、知识梳理搭建支架，引导学生从具体展开式归纳对称性、增减性与最大值及系数和等核心性质。 其亮点在于以情境激发兴趣，用数学眼光观察杨辉三角规律，通过问题链培养数学思维，结合例题（如赋值法求系数和）与跟踪训练强化数学语言应用。小结明确易混点，助力学生深化理解，教师可高效开展教学，提升学生探究与应用能力。

6．3.2　二项式系数的性质 1 新课导入 学习目标 　　古埃及的金字塔以其宏伟的气势、严密的结构让世界叹服．把(a＋b)n展开式的二项式系数对称书写，可垒成数学上的金字塔，称为杨辉三角，今天我们共同探索其奥秘． 1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系． 2．掌握二项式系数的性质，并会简单应用． 3．理解和初步掌握赋值法及其应用． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 思考1　上图最显著的特点是什么？ 提示：(1)从第一项起至中间项的二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小． (2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和． 思考2　每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等． 思考3　当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 提示：分别是1，6，15，20，15，6，1. 返回导航 返回导航 增大 减小 返回导航 2n 返回导航 返回导航 (2)求展开式中二项式系数最大的项． 返回导航 二项式系数性质的理解 (1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质； (2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关； (3)二项式系数和只与n有关． 返回导航 √ [跟踪训练1] (1)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是图中某一行的前两个数，当a＝7时，b＝(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 解析：由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5＝16，所以b＝6＋16＝22. 返回导航 (2)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为(　　) A．－960 B．960 C．448 D．－448 √ 返回导航 64 32 返回导航 ±1 返回导航 (a＋b)n的展开式中各二项式系数的和为2n，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于2n-1. 返回导航 √ 返回导航 返回导航 应用点　二项展开式的系数和 [例3] 已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. (1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值； 【解】　因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. 令x＝0，则a0＝1， 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, ① 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1. 返回导航 (2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值． 【解】　对题中等式令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，② ①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512， 所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256. 返回导航 母题探究　求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值． 解：由二项式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数， 由例3(2)解析得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512. 返回导航 提醒　注意各项的系数和与二项式系数和的区别． 返回导航 解：由题令x＝0，得a0＝2100. 返回导航 (2)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 26 1．观察图中的数的规律，则a＝(　　)   A．8 B．6 C．4 D．2 解析：由题图知，除1以外，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，则a＝6. √ 返回导航 2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 √ 返回导航 √ 返回导航 4．(ax＋1)n的展开式中，二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则a＝________． 解析：依题意知2n＝32，得n＝5. 令x＝1，得各项系数之和为(a＋1)5＝243， 所以a＋1＝3，故a＝2. 2 返回导航 1．已学习：(1)二项式系数的性质；(2)二项式系数与二项展开式各项系数之和． 2．须贯通：赋值法解决二项展开式系数和． 3．应注意：(1)易混淆系数与二项式系数的区别； (2)不能正确判断中间项的个数． 返回导航 [知识梳理] 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由____________得到．直线______将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． (2)当n是偶数时，中间的一项_______取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与_________相等，且同时取得最大值． $