6.3.1 二项式定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦二项式定理核心知识点，通过观察具体展开式归纳规律，结合计数原理证明定理，构建“观察-猜想-证明-应用”学习支架，涵盖展开式结构、二项式系数、通项公式及特定项求解等内容。 以“8^100天后星期几”问题导入，用数学眼光发现现实问题中的数量关系，通过归纳猜想和组合分析培养数学思维，例题与跟踪训练结合规范数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6．3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 新课导入 学习目标 　　同学们，今天星期几？8天以后的这一天星期几？28天以后的这一天星期几？8 100天以后的这一天星期几？今天我们就要学习如何解决此问题． 1.能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及二项展开式的通项． 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二项式定理 观察下列展开式，分析其运算过程， (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 思考1　归纳猜想二项式(a＋b)n展开式有什么规律？ 提示：(1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的次数n. (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0； 字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 思考2　如何从组合的角度分析(a＋b)2的二项展开式？ 提示： 从选b的角度看 0个b 1个b 2个b 展开项 Ca2 Ca1b1 Cb2 (a＋b)2＝Ca2＋Ca1b1＋Cb2. 思考3　请同学们大胆的猜想(a＋b)n的二项展开式． 提示：(a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*. [知识梳理] 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 等式右边的多项式，展开式中共有n＋1项 二项式系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n) 通项 Tk＋1＝Can－kbk 提醒　(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，尽管两个展开式相等，但是二者展开式中项的排列顺序是不同的，前者展开式中的第k＋1项是Can－kbk，而后者展开式中的第k＋1项是Cbn－kak. [例1] (对接教材例1)利用二项式定理展开下列各式． (1)(a＋2b)5； (2)(2＋)4. 【解】　(1)(a＋2b)5＝Ca5＋Ca4(2b)1＋Ca3(2b)2＋Ca2(2b)3＋Ca(2b)4＋C(2b)5＝a5＋10a4b＋40a3b2＋80a2b3＋80ab4＋32b5. (2)(2＋)4＝C(2)4＋C(2)3()1＋C(2)2()2＋C(2)1()3＋C()4＝16x2＋32x＋24＋＋. 　 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的二项展开式中会出现正负间隔的情况． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 提醒　对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． [跟踪训练1] (1)求(x2＋－2)3的展开式． 解：(x2＋－2)3＝(x－)6 ＝(x2－1)6 ＝[C(x2)6－C(x2)5＋C(x2)4－C(x2)3＋C(x2)2－Cx2＋C] ＝(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1) ＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：因为[(x－1)＋1]5＝(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋1 ＝(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1，所以(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝x5－1. 应用点一　二项式系数与项的系数 [例2] (对接教材例2)在(x2－)9的二项展开式中，求： (1)第6项的二项式系数； (2)含x12的项的系数． 【解】　(1)由二项式定理及展开式的通项可得，第6项的二项式系数为C＝126. (2)(x2－)9的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)9-k(－)k＝C(－)kx18-3k，令18－3k＝12，解得k＝2，所以T3＝C(－)2x12＝9x12，故含x12的项的系数为9. 　 二项式系数与项的系数的区别 (1)二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式本身无关，即所有指数为n的二项式的展开式中，第k＋1项的二项式系数都为C. (2)项的系数与二项式的指数、项数及二项式本身均有关，即某项的系数是该项包含正负符号的数字部分． [跟踪训练2] (1)(－)6的二项展开式的中间一项的二项式系数为(　　) A．15 B．20 C．－15 D．－20 解析：选B．(－)6的二项展开式共有7项，中间一项是第4项，其二项式系数是C＝＝20. (2)若(x－)8的二项展开式中x6的系数是－16，则实数a的值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D．(x－)8的二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx8-k(－)k＝C(－a)kx8-2k.令8－2k＝6，解得k＝1，所以由题可知C(－a)＝－16，解得a＝2. 应用点二　求二项展开式的特定项 [例3] 在(－)7的二项展开式中，求： (1)第5项； (2)含x2的项． 【解】　(1)(－)7的二项展开式的通项为Tk＋1＝C()7-k()k＝(－1)kCx，k＝0，1，…，7， 所以T5＝(－1)4Cx＝35x. (2)令＝2，解得k＝2，所以展开式中含x2的项为T3＝(－1)2Cx2＝21x2. 母题探究　本例条件不变，求该二项式的展开式中的有理项． 解：由本例(1)解析的通项可知，当且仅当为整数时，Tk＋1为有理项，因为0≤k≤7，k∈N，所以k＝2，6，即展开式中的有理项共2项，它们分别是 T3＝(－1)2Cx2＝21x2，T7＝(－1)6Cx-1＝7x-1. 　 求二项展开式特定项的步骤 [跟踪训练3] (1)在(x2－)n的二项展开式中，第5项为常数项，则n＝(　　) A．8 B．6 C．7 D．10 解析：选B．(x2－)n的展开式的第5项为T5＝C(x2)n-4(－)4＝16Cx2n-8·x-4 ＝16Cx2n-12. 令2n－12＝0，解得n＝6. (2)在二项式(－)6的展开式中，第3项为________，有理项的个数是________． 解析：因为二项式(－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C()6-k(－)k＝(－1)kCx3-k，k＝0，1，2，…，6. 所以二项展开式的第3项为T3＝(－1)2Cx3-3＝15； 因为有理项需要x的指数为整数，所以k是2的倍数，所以k＝0，2，4，6. 故展开式中有理项的个数是4. 答案：15　4 1．(x＋)9的二项展开式中的第4项是(　　) A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4 解析：选B．T4＝Cx6()3＝84x3. 2．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中x3的系数为________． 解析：(x－1)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6-r·(－1)r(其中0≤r≤6，r∈N)， 令6－r＝3，得r＝3，故x3的系数为C×(－1)3＝－20. 答案：－20 3．已知C3n＋C3n-1＋C3n-2＋…＋C3＋C＝1 024，则n＝________． 解析：因为C3n＋C3n-1＋C3n-2＋…＋C3＋C ＝C3n·10＋C3n-1·11＋C3n-2·12＋…＋C31·1n-1＋C30·1n＝(3＋1)n＝4n， 所以4n＝1 024＝45，因此n＝5. 答案：5 4．在的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项． 解：(1)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx12-k·k＝kCx12-k(其中0≤k≤12，k∈N). 令k＝3，则T4＝3Cx12-×3＝－220x8. (2)由(1)中展开式的通项，令12－k＝0，解得k＝9，所以常数项为9C＝－220. (3)由(1)中展开式的通项，当k＝0，3，6，9，12时，Tk＋1是有理项， 分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝Cx-4＝. 　 1．已学习：(1)二项式定理；(2)二项式系数与项的系数；(3)求二项展开式的特定项． 2．须贯通：二项展开式的常数项是字母的指数为0的项；有理项是字母的指数恰好是整数的项；体现转化化归思想． 3．应注意：二项式系数与项的系数的区别；Can－kbk是(a＋b)n展开式的第k＋1项，不是第k项． 学科网（北京）股份有限公司 $