6.3.1 二项式定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6．3　二项式定理

6．3.1　二项式定理

 

二项式定理

观察下列展开式，分析其运算过程，

(a＋b)1＝a＋b，

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.

思考1　归纳猜想二项式(a＋b)n展开式有什么规律？

提示：(1)展开式共有n＋1项．

(2)各项的次数和都等于二项式的次数n.

(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；

字母b按升幂排列，次数由0递增到n.

思考2　如何从组合的角度分析(a＋b)2的二项展开式？

提示：

(a＋b)2＝Ca2＋Ca1b1＋Cb2.

思考3　请同学们大胆的猜想(a＋b)n的二项展开式．

提示：(a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*.

[知识梳理]

提醒　(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，尽管两个展开式相等，但是二者展开式中项的排列顺序是不同的，前者展开式中的第k＋1项是Can－kbk，而后者展开式中的第k＋1项是Cbn－kak.

[例1] (对接教材例1)利用二项式定理展开下列各式．

(1)(a＋2b)5；

(2)(2＋)4.

【解】　(1)(a＋2b)5＝Ca5＋Ca4(2b)1＋Ca3(2b)2＋Ca2(2b)3＋Ca(2b)4＋C(2b)5＝a5＋10a4b＋40a3b2＋80a2b3＋80ab4＋32b5.

(2)(2＋)4＝C(2)4＋C(2)3()1＋C(2)2()2＋C(2)1()3＋C()4＝16x2＋32x＋24＋＋.

　

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的二项展开式中会出现正负间隔的情况．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

提醒　对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

[跟踪训练1] (1)求(x2＋－2)3的展开式．

解：(x2＋－2)3＝(x－)6

＝(x2－1)6

＝[C(x2)6－C(x2)5＋C(x2)4－C(x2)3＋C(x2)2－Cx2＋C]

＝(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)

＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋.

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).

解：因为[(x－1)＋1]5＝(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋1

＝(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1，所以(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝x5－1.

应用点一　二项式系数与项的系数

[例2] (对接教材例2)在(x2－)9的二项展开式中，求：

(1)第6项的二项式系数；

(2)含x12的项的系数．

【解】　(1)由二项式定理及展开式的通项可得，第6项的二项式系数为C＝126.

(2)(x2－)9的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)9-k(－)k＝C(－)kx18-3k，令18－3k＝12，解得k＝2，所以T3＝C(－)2x12＝9x12，故含x12的项的系数为9.

　

二项式系数与项的系数的区别

(1)二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式本身无关，即所有指数为n的二项式的展开式中，第k＋1项的二项式系数都为C.