6.3.1 二项式定理 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．二项式(x＋2)3的展开式为(　　) A．x3＋6x2＋6x＋8 B．x3＋6x2＋12x＋8 C．x3＋12x2＋6x＋8 D．x3＋12x2＋12x＋8 解析：选B．二项式(x＋2)3＝Cx3＋Cx2×2＋Cx×22＋C×23＝x3＋6x2＋12x＋8.故选B． 2．已知(1－)6＝a＋b(a，b均为有理数)，则a的值为(　　) A．90 B．91 C．98 D．99 解析：选D．因为(1－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(－)k，(1－)6＝a＋b，所以a＝C＋C×(－)2＋C×(－)4＋C×(－)6＝99.故选D． 3．(a＋b)n的展开式中与第r－1项的二项式系数相等的项是(　　) A．第n－r项 B．第n－r＋1项 C．第n－r＋2项 D．第n－r＋3项 解析：选D．(a＋b)n的展开式中第r－1项的二项式系数是C，因为C＝C，所以(a＋b)n的展开式中与第r－1项的二项式系数相等的项是第n－r＋3项．故选D． 4．二项式(1＋)12的展开式中，有理项的个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C.二项式(1＋)12展开式的通项为Tr＋1＝C112－r()r＝Cx，r＝0，1，2，…，12.所以，当r为偶数时，该项为有理项，即r＝0，2，4，6，8，10，12，共7项．故选C. 5．已知(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中含x5y2项的系数为(　　) A．－4 B．84 C．－280 D．560 解析：选B．因为(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以C＝C，则n＝7，又因为(x－2y)7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－r·(－2y)r，令r＝2，所以展开式中含x5y2项的系数为C(－2)2＝84.故选B． 6．(多选)若(3x2－)n的展开式中含有常数项(非零)，则正整数n的可能值是(　　) A．5 B．8 C．10 D．16 解析：选AC.由二项式定理知，Tr＋1＝C(3x2)n－r·(－)r＝C3n－r·(－)rx2n－5r，因为其含有常数项，即存在n，r∈N*，使得2n＝5r，此时n＝，所以当r＝2时，n＝5；当r＝4时，n＝10.故选AC. 7．若(＋)n的展开式共有7项，则展开式中的常数项是________． 解析：因为(＋)n的展开式共有7项， 则n＋1＝7，解得n＝6， (＋)6展开式的通项为Tr＋1＝C()6－r·()r＝26－rCx，r∈N，r≤6， 由r－6＝0得r＝4，所以(＋)6的展开式中的常数项是T5＝22C＝60. 答案：60 8．(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________． 解析：展开式的通项为Tr＋1＝C(－)r＝C·(－1)rx，分别令r＝2，18，可得T3＝C(－1)2x＝190x，T19＝C·(－1)18x9＝190x9，所以x的系数与x9的系数之差为0. 答案：0 9．化简：C·32n＋C·32n－2＋C·32n－4＋…＋C·32＝________． 解析：C·32n＋C·32n－2＋C·32n－4＋…＋C·32＝C·(32)n＋C·(32)n－1＋C·(32)n－2＋…＋C·(32)1＋C·(32)0－C·(32)0 ＝(32＋1)n－1＝10n－1. 答案：10n－1 10．在(2－)6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x2的项； (3)常数项． 解：(1)在(2－)6的展开式中，第3项的二项式系数为C＝15， 第3项为T3＝C(2)4·(－)2＝15×24x＝240x，所以第3项的二项式系数为15，系数为240. (2)二项式(2－)6展开式的通项是Tr＋1＝C(2)6－r(－)r＝(－1)r·26－rCx3－r，r∈N，r≤6， 由3－r＝2，得r＝1，T2＝(－1)1·25Cx2＝－192x2， 所以含x2的项是－192x2. (3)由(2)知，由3－r＝0，得r＝3， 则T4＝(－1)3·23C＝－160， 所以常数项为－160. 11．“n＝6”是“(x2＋)n的二项展开式中存在常数项”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.(x2＋)n展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)n－r·()r＝Cx2n－3r(0≤r≤n，r∈N)； 当n＝6时，取r＝4，则T5＝C·x0＝15，故充分性成立； 当2n－3r＝0时，(x2＋)n展开式中存在常数项，如故必要性不成立； 所以“n＝6”是“(x2＋)n的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件．故选A. 12．(多选)已知在(－)n的二项展开式中，第6项为常数项，则(　　) A．n＝10 B．展开式中项数共有13项 C．含x2的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 解析：选ACD．依题意，(－)n展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r·(－)r ＝C·(－)r·x， 因为第6项为常数项，所以当r＝5时，有＝0，解得n＝10，故A正确； 由n＝10，得(－)10展开式中项数共有10＋1＝11项，故B错误； 令＝2，得r＝2， 所求含x2的项的系数为C×(－)2＝.故C正确； 由令＝k(k∈Z)， 得10－2r＝3k，即r＝5－k， 因为r∈N，所以k应为偶数，所以k可取2，0，－2，即r可以取2，5，8，所以第3项，第6项，第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确．故选ACD． 13．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则n的值为________． 解析：由C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，可得C·1n·(－4)0＋C·1n－1·(－4)1＋C·1n－2·(－4)2＋…＋C·10·(－4)n＝729，则(1－4)n＝729，即(－3)n＝729＝(－3)6，解得n＝6. 答案：6 14．已知在(－)10的展开式中满足a>0，且常数项为，求： (1)a的值； (2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 解：(1)展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·()10－k·Cx，　 令20－k＝0，解得k＝8， 即k＝8时，常数项T9＝(－1)8()2C＝， 又a>0，解得a＝1. (2)令20－k＝m，m∈Z，又因为0≤k≤10，k∈N， 解得k＝0，2，4，6，8，10，即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有CC＋CC＝135(种). 15．若对∀x∈R，(ax＋b)5＝(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1恒成立，其中a，b∈R，则a＋b＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 解析：选C.由(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1＝(x＋2－1)5＝(x＋1)5，得(ax＋b)5＝(x＋1)5，所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C. 16．若(x＋)n的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得C＋C＝2C(n≥3且n∈N*)， 即n＋＝， 化简得n(n2－9n＋14)＝0，又n≠0， 解得n＝7或n＝2(舍去)，所以n＝7. (2)不存在，理由如下： Tr＋1＝C(x)7－r·(x－4)r＝Cx，0≤r≤7且r∈N，取＝0时，解得r＝∉N， 所以展开式中不存在常数项． 学科网（北京）股份有限公司 $