6.3.1 二项式定理 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．二项式(x＋2)3的展开式为(　　)

A．x3＋6x2＋6x＋8     B．x3＋6x2＋12x＋8

C．x3＋12x2＋6x＋8     D．x3＋12x2＋12x＋8

解析：选B．二项式(x＋2)3＝Cx3＋Cx2×2＋Cx×22＋C×23＝x3＋6x2＋12x＋8.故选B．

2．已知(1－)6＝a＋b(a，b均为有理数)，则a的值为(　　)

A．90     B．91   

C．98     D．99

解析：选D．因为(1－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(－)k，(1－)6＝a＋b，所以a＝C＋C×(－)2＋C×(－)4＋C×(－)6＝99.故选D．

3．(a＋b)n的展开式中与第r－1项的二项式系数相等的项是(　　)

A．第n－r项     B．第n－r＋1项

C．第n－r＋2项     D．第n－r＋3项

解析：选D．(a＋b)n的展开式中第r－1项的二项式系数是C，因为C＝C，所以(a＋b)n的展开式中与第r－1项的二项式系数相等的项是第n－r＋3项．故选D．

4．二项式(1＋)12的展开式中，有理项的个数为(　　)

A．5     B．6   

C．7     D．8

解析：选C.二项式(1＋)12展开式的通项为Tr＋1＝C112－r()r＝Cx，r＝0，1，2，…，12.所以，当r为偶数时，该项为有理项，即r＝0，2，4，6，8，10，12，共7项．故选C.

5．已知(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则

展开式中含x5y2项的系数为(　　)

A．－4     B．84   

C．－280     D．560

解析：选B．因为(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以C＝C，则n＝7，又因为(x－2y)7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－r·(－2y)r，令r＝2，所以展开式中含x5y2项的系数为C(－2)2＝84.故选B．

6．(多选)若(3x2－)n的展开式中含有常数项(非零)，则正整数n的可能值是(　　)

A．5     B．8   

C．10     D．16

解析：选AC.由二项式定理知，Tr＋1＝C(3x2)n－r·(－)r＝C3n－r·(－)rx2n－5r，因为其含有常数项，即存在n，r∈N*，使得2n＝5r，此时n＝，所以当r＝2时，n＝5；当r＝4时，n＝10.故选AC.

7．若(＋)n的展开式共有7项，则展开式中的常数项是________．

解析：因为(＋)n的展开式共有7项，

则n＋1＝7，解得n＝6，

(＋)6展开式的通项为Tr＋1＝C()6－r·()r＝26－rCx，r∈N，r≤6，

由r－6＝0得r＝4，所以(＋)6的展开式中的常数项是T5＝22C＝60.

答案：60

8．(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．

解析：展开式的通项为Tr＋1＝C(－)r＝C·(－1)rx，分别令r＝2，18，可得T3＝C(－1)2x＝190x，T19＝C·(－1)18x9＝190x9，所以x的系数与x9的系数之差为0.

答案：0

9．化简：C·32n＋C·32n－2＋C·32n－4＋…＋C·32＝________．

解析：C·32n＋C·32n－2＋C·32n－4＋…＋C·32＝C·(32)n＋C·(32)n－1＋C·(32)n－2＋…＋C·(32)1＋C·(32)0－C·(32)0

＝(32＋1)n－1＝10n－1.

答案：10n－1

10．在(2－)6的展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项；

(3)常数项．

解：(1)在(2－)6的展开式中，第3项的二项式系数为C＝15，

第3项为T3＝C(2)4·(－)2＝15×24x＝240x，所以第3项的二项式系数为15，系数为240.

(2)二项式(2－)6展开式的通项是Tr＋1＝C(2)6－r(－)r＝(－1)r·26－rCx3－r，r∈N，r≤6，

由3－r＝2，得r＝1，T2＝(－1)1·25Cx2＝－192x2，

所以含x2的项是－192x2.

(3)由(2)知，由3－r＝0，得r＝3，