6.2.4 第2课时 组合中的综合问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第2课时　组合中的综合问题

应用点一　有限制条件的组合问题

[例1] (对接教材例7)已知课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

(2)至多有两名女生当选；

(3)既要有队长，又要有女生当选．

【解】　(1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有CC＋CC＝825种选法．

方法二：采用排除法有C－C＝825种选法．

(2)至多有两名女生当选含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有CC＋CC＋C＝966种选法．

(3)分两类情况：

第一类，女队长当选，有C种选法；

第二类，女队长不当选，男队长当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295种选法．

故共有C＋295＝790种选法．

母题探究　在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种选法？

解：分两类情况：

第一类，女生3人男生2人(含男队长)，有CC＝70种选法；第二类，女生4人男生1人(男队长)有C＝5种选法，

所以男队长必须当选且女生多于男生有70＋5＝75种选法．

　

有限制条件的组合问题的解题策略

有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．

(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

[跟踪训练1] 某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？

(1)甲、乙两个景点至少选一个；

(2)甲、乙两个景点至多选一个；

(3)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个．

解：(1)甲、乙两个景点都不去有C＝15种选法，则甲、乙两个景点至少选一个的选法有C－C＝28－15＝13(种).

(2)方法一：甲、乙两个景点只去一个有CC＝12种选法，则甲、乙两个景点至多选一个有15＋12＝27种选法．

方法二：从8个景点中选2个有C＝28种选法，甲、乙两个景点都选只有1种选法，所以甲、乙两个景点至多选一个有28－1＝27种选法．

(3)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个，有CC＝12种选法．

应用点二　与几何图形有关的组合问题

[例2] 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，则连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？

【解】　当取到点O时，在OA，OB上各取一点(与点O不同)，有CC＝30个三角形；

当不取到点O时，第1类，从OB上取两点(与点O不同)，在OA上取一个点(与点O不同)，有CC＝75个三角形；第2类，从OA上取两点(与点O不同)，在OB上取一个点(与点O不同)，有CC＝60个三角形．

所以连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30＋75＋60＝165(个).

　

与几何图形有关的组合问题的解题策略

(1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以几何图形中的点、线的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．

(2)求解几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．

(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．

[跟踪训练2] 已知圆上有12个不同的点．

(1)每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？

(2)每三点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？

解：(1)从12个不同的点任选两点可画一条弦，

所以一共可以画出C＝66条不同的弦．

(2)因为不共线的三点确定一个三角形，

所以从圆上12个不同的点任选三点可画一个三角形，

所以一共可以画出C＝220个三角形．

应用点三　分组、分配问题

[例3] 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？

(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；

(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

(3)分成三组，每组都是2本；

(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．

【解】　(1)分三步：先选1本有C种选法，再从余下的5本中选2本有C种选法，最后余下的3本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共