6.2.4 第2课时 组合中的综合问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦组合中的综合问题，系统梳理有限制条件的组合（含与不含、至多至少）、几何图形相关组合（如确定三角形、弦）、分组分配（均匀与非均匀分组及分配）及隔板法解相同元素分配，构建从基础到综合的学习支架。 通过例题与母题探究结合，培养分类讨论、正难则反的数学思维，如例1用直接法和排除法解决“至少”问题。几何图形问题引导用数学眼光观察空间形式，分组分配强调逻辑推理。跟踪训练与练习题设计，课中辅助教学，课后助学生巩固查漏，提升应用意识。

第2课时　组合中的综合问题 应用点一　有限制条件的组合问题 [例1] (对接教材例7)已知课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】　(1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有CC＋CC＝825种选法． 方法二：采用排除法有C－C＝825种选法． (2)至多有两名女生当选含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有CC＋CC＋C＝966种选法． (3)分两类情况： 第一类，女队长当选，有C种选法； 第二类，女队长不当选，男队长当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295种选法． 故共有C＋295＝790种选法． 母题探究　在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种选法？ 解：分两类情况： 第一类，女生3人男生2人(含男队长)，有CC＝70种选法；第二类，女生4人男生1人(男队长)有C＝5种选法， 所以男队长必须当选且女生多于男生有70＋5＝75种选法． 　 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． [跟踪训练1] 某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？ (1)甲、乙两个景点至少选一个； (2)甲、乙两个景点至多选一个； (3)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个． 解：(1)甲、乙两个景点都不去有C＝15种选法，则甲、乙两个景点至少选一个的选法有C－C＝28－15＝13(种). (2)方法一：甲、乙两个景点只去一个有CC＝12种选法，则甲、乙两个景点至多选一个有15＋12＝27种选法． 方法二：从8个景点中选2个有C＝28种选法，甲、乙两个景点都选只有1种选法，所以甲、乙两个景点至多选一个有28－1＝27种选法． (3)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个，有CC＝12种选法． 应用点二　与几何图形有关的组合问题 [例2] 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，则连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？ 【解】　当取到点O时，在OA，OB上各取一点(与点O不同)，有CC＝30个三角形； 当不取到点O时，第1类，从OB上取两点(与点O不同)，在OA上取一个点(与点O不同)，有CC＝75个三角形；第2类，从OA上取两点(与点O不同)，在OB上取一个点(与点O不同)，有CC＝60个三角形． 所以连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30＋75＋60＝165(个). 　 与几何图形有关的组合问题的解题策略 (1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以几何图形中的点、线的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强． (2)求解几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． [跟踪训练2] 已知圆上有12个不同的点． (1)每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？ (2)每三点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？ 解：(1)从12个不同的点任选两点可画一条弦， 所以一共可以画出C＝66条不同的弦． (2)因为不共线的三点确定一个三角形， 所以从圆上12个不同的点任选三点可画一个三角形， 所以一共可以画出C＝220个三角形． 应用点三　分组、分配问题 [例3] 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3)分成三组，每组都是2本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本． 【解】　(1)分三步：先选1本有C种选法，再从余下的5本中选2本有C种选法，最后余下的3本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有CCC＝60(种). (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题，因此分配方式共有CCCA＝360(种). (3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种). (4)方法一：在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·A＝90(种). 方法二：甲、乙、丙三人，每人2本，可分三步，依次让甲、乙、丙三人选2本，共有CCC＝90(种). 　 “分组”与“分配”问题的解题策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． [跟踪训练3] (1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有(　　) A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 解析：选C．第一步，先从4个盒子中选1个盒子准备装2个球，有4种选法；第二步，从5个球里选出2个球放到选出的盒子里，有C种放法；第三步，把剩下的3个球放入剩下的3个盒子中，有A种放法．由分步乘法计数原理得不同的放法共有4CA＝240(种). (2)现有登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　) A．30 B．60 C．120 D．240 解析：选B．先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种方法，再将余下的6人平均分成两组，有种方法，然后这四个组搭配成5人组还有A种方法，所以最终分配方法有··A＝60(种). 拓视野 隔板法解相同元素的分配问题 1．把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？ 2．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种(用数字作答). 【问题探究】 上述两个问题可归结为以下两个问题： 1．把n个相同的小球放入m个不同的盒子中(n≥m>1)，要求每个盒子非空，有多少种不同放法？ 解：先将n个小球排成一列，然后在它们之间形成的(n－1)个空(不含两端的)中插入(m－1)块隔板，便将n个小球分割成m组，每组至少有1个小球，这m组小球依次放入m个不同的盒子，(m－1)块隔板的一种插法就对应了n个相同小球投入m个不同盒子的一种放法，所以不同的放法共有C种． 2．将n个相同的小球投放到m(n≥m>1)个不同的盒子中，可以有空盒的不同放法有多少种？ 解：“将n个相同的小球投放到m(n≥m>1)个不同的盒子中，允许有空盒子”的放法种数，等于“将n＋m个相同的小球投放到m(n≥m>1)个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根据问题1可知，共C种不同放法． 　 运用“隔板法”的解题策略 (1)相同元素的分配问题用“隔板法”． (2)“隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板的空位数；③插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数． [跟踪训练] (1)某城市新修建的一条道路上有11盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法数为(　　) A．C B．C C．C D．C 解析：选C．原来有11盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有7盏是亮着的，先将亮着的7盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，所以有6个符合条件的空位，在6个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，所以熄灯的方法有C种． (2)将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数． ①每个盒子都不空； ②恰有1个盒子空； ③恰有2个盒子空． 解：①需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放法对应着一种分法，故共有C＝10种放法． ②恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中的3个盒子中，每个盒子放1组．这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有CC＝40种放法． ③恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意1处，故共有CC＝30种放法． 1．从5名男生和4名女生中选4人参加一项创新大赛，恰好有3名男生与女生甲参加大赛的方法有(　　) A．6种 B．10种 C．15种 D．16种 解析：选B．根据题意，从5名男生中选3人有C＝10种选法，女生甲的选法就1种，所以恰好有3名男生与女生甲参加大赛的方法有10×1＝10(种). 2．口袋中装有5个白球、4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是(　　) A．20 B．26 C．32 D．36 解析：选B．从9个球中任取2个球的取法共有C种， 两个球都不是红球的取法有C种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为C－C＝36－10＝26. 3．将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有________________________________种．(用数字作答) 解析：由题知，6人分为两组共有两种分组方法：①一组2人，一组4人，这种分组方法有CC＝15(种)；②两组均为3人，这种分组方法有＝10(种)，由分类加法计数原理可得共有15＋10＝25种分组方法． 答案：25 4．某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种． 解析：方法一：考虑迈三级台阶的次数： 迈0次三级台阶，即每次迈两级台阶，迈7次，只有1种走法； 迈1次三级台阶，还有11级台阶，无法被2整除，不可能； 迈2次三级台阶，还有8级台阶，再迈4次两级台阶，一共要迈6次，所以有C＝15种走法； 迈3次三级台阶，还有5级台阶，无法被2整除，不可能； 迈4次三级台阶，还有2级台阶，再迈1次两级台阶，一共要迈5次，所以有C＝5种走法； 迈5次三级台阶，已经超过14级台阶了，这种情况不可能． 综上，不同的走法共有1＋15＋5＝21(种). 方法二：设an表示走到第n级台阶的走法数． 当n＝0时，a0＝1(表示站在原地这一种情况)； 当n＝1时，a1＝0； 当n＝2时，a2＝1； 当n＝3时，a3＝1； 当n>3时，到达第n级台阶，最后一步可能是从第n－2级台阶迈两级上来的，也可能是从第n－3级台阶迈三级上来的，所以an＝an－2＋an－3. 所以a14＝a12＋a11＝a10＋a9＋a9＋a8 ＝a8＋a7＋2(a7＋a6)＋a8 ＝2(a6＋a5)＋3(a5＋a4)＋2a6 ＝4(a4＋a3)＋5(a3＋a2)＋3a4 ＝7(a2＋a1)＋9a3＋5a2＝9a3＋12a2＋7a1 ＝9＋12＋0＝21.所以他的走法有21种． 答案：21 　 1．已学习：(1)有限制条件的组合问题；(2)与几何图形有关的组合问题；(3)不同元素与相同元素间分组、分配问题． 2．须贯通：(1)有限制条件的组合问题的解题策略是分类讨论或正难则反；(2)分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题． 3．应注意：平均分组理解不到位，导致计数重复． 学科网（北京）股份有限公司 $