6.2.4 第1课时 组合数公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学组合数核心知识点，从排列数入手，通过对比“有序选景点”与“无序选景点”的问题情境，引出组合数定义，推导组合数公式（C=n!/(m!(n-m)!)），并结合性质（C=C，C=C+C）构建知识体系，形成从概念到应用的学习支架。 资料以现实旅游情境导入，培养学生用数学眼光观察世界的意识，通过分步推理引导公式推导，发展数学思维中的逻辑推理能力，结合实例与跟踪训练提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

6．2.4　组合数 新课导入 学习目标 　　小明五一到某城旅游，要从景点A，B，C，D中选择2处游玩，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？这就是今天我们所要学习的组合数问题． 1.理解组合数的定义，能利用排列数公式推导组合数公式，并会应用组合数公式进行计算． 2．能运用组合数的概念及公式解决一些实际应用问题． 第1课时　组合数公式 一　 组合数的定义与组合数公式 思考1　类比排列数的概念，你能定义组合数的概念吗？ 提示：能，组合数就是组合的个数． 思考2　我们知道，从4个元素中取出3个元素的排列数为A，能否分步计算此排列数？ 提示：能．第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有A种不同的排法． 由分步乘法计数原理得A＝C·A，即C＝＝4. 思考3　能否利用排列数公式猜想C？ 提示：能，猜想C＝. [知识梳理] 1．组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 提醒　“组合数”与“组合”是两个不同的概念．“组合数”是一个数；“组合”不是一个数，而是具体的一件事． 2．组合数公式 C＝＝或C＝(n，m∈N*，且m≤n). 规定：C＝1. [例1] (1)(对接教材例6)计算：C－C·A； (2)求等式＝中n的值． 【解】　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)原方程可变形为＋1＝，C＝C， 即＝×， 化简整理，得n2－3n－54＝0. 解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9. 　 组合数公式的选用策略 (1)公式C＝＝(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于求值计算． (2)公式C＝(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于化简证明． 在具体选择公式时，要根据题目特点正确选择． [跟踪训练1] (1)计算：3C－2C＝________． 解析：3C－2C＝3×－2×＝148. 答案：148 (2)求证：C＝C. 证明：右边＝C ＝· ＝＝C＝左边．所以原式成立． 二　组合数的性质及应用 [知识梳理] 组合数的性质 性质1：C＝C； 性质2：C＝C＋C. [例2] (1)计算：C＋C＋C＋…＋C＝_________________________. (2)若C＝C，则C＝________． 【解析】　(1)原式＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C ＝…＝C＋C＝C＝330. (2)由C＝C，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，且3n＋6≤18，4n－2≤18， 解得n＝8(舍去)或n＝2， 故C＝28. 【答案】　(1)330　(2)28 　 性质“C＝C”的意义及作用 [跟踪训练2] (1)计算：C＋C＝________． 解析：C＋C＝C＋C＝＋200＝5 150. 答案：5 150 (2)已知C－C＝C，则n＝________． 解析：由C－C＝C得C＝C＋C，由组合数的性质，可得C＝C，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 答案：14 三　简单的组合问题 [例3] 一个口袋内装有7个编号不同的白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【解】　(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35. 　 简单的组合应用题的求解策略 (1)判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”； (2)要看这件事是分类完成还是分步完成． [跟踪训练3] 某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名医生参加研讨会． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)某内科医生甲与某外科医生乙均不能参加，有多少种选法？ 解：(1)根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加， 在剩下的18名医生中再选3名医生即可，有C＝816种选法． (2)甲、乙均不能参加，在剩下的18名医生中选5名医生即可，有C＝8 568种选法． 1．C＋C的值为(　　) A．72 B．36 C．30 D．42 解析：选B．C＋C＝C＋C＝＋＝15＋21＝36. 2．若A＝3C，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C．因为A＝3C，所以n(n－1)＝且n≥3(n∈N*)，解得n＝6或n＝1(舍去). 3．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩进行分析，其中物理必须选，则不同的选法种数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．21 解析：选C．由题意，可知不同的选法的种数为C＝＝10. 4．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)甲、乙、丙三人不能参加； (2)甲、乙、丙三人只有1人参加． 解：(1)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人只有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法． 　 1．已学习：(1)组合数与组合数公式；(2)组合数的性质及应用；(3)组合数公式的实际应用． 2．须贯通：利用两种组合数公式进行求值，常结合组合数的两个性质，能起到简化运算的作用． 3．应注意：易忽视组合数中m与n的限制条件． 学科网（北京）股份有限公司 $