6.2.4 第1课时 组合数公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6．2.4　组合数

 

第1课时　组合数公式

一　 组合数的定义与组合数公式

思考1　类比排列数的概念，你能定义组合数的概念吗？

提示：能，组合数就是组合的个数．

思考2　我们知道，从4个元素中取出3个元素的排列数为A，能否分步计算此排列数？

提示：能．第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C种不同的取法；

第2步，将取出的3个元素作全排列，共有A种不同的排法．

由分步乘法计数原理得A＝C·A，即C＝＝4.

思考3　能否利用排列数公式猜想C？

提示：能，猜想C＝.

[知识梳理]

1．组合数的定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．

提醒　“组合数”与“组合”是两个不同的概念．“组合数”是一个数；“组合”不是一个数，而是具体的一件事．

2．组合数公式

C＝＝或C＝(n，m∈N*，且m≤n).

规定：C＝1.

[例1] (1)(对接教材例6)计算：C－C·A；

(2)求等式＝中n的值．

【解】　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.

(2)原方程可变形为＋1＝，C＝C，

即＝×，

化简整理，得n2－3n－54＝0.

解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9.

　

组合数公式的选用策略

(1)公式C＝＝(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于求值计算．

(2)公式C＝(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于化简证明．

在具体选择公式时，要根据题目特点正确选择．

[跟踪训练1] (1)计算：3C－2C＝________．

解析：3C－2C＝3×－2×＝148.

答案：148

(2)求证：C＝C.

证明：右边＝C

＝·

＝＝C＝左边．所以原式成立．

二　组合数的性质及应用

[知识梳理]

组合数的性质

性质1：C＝C；

性质2：C＝C＋C.

[例2] (1)计算：C＋C＋C＋…＋C＝_________________________.

(2)若C＝C，则C＝________．

【解析】　(1)原式＝C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C

＝…＝C＋C＝C＝330.

(2)由C＝C，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，且3n＋6≤18，4n－2≤18，

解得n＝8(舍去)或n＝2，

故C＝28.

【答案】　(1)330　(2)28

　

性质“C＝C”的意义及作用