6.2.4 第2课时 组合中的综合问题（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦组合中的综合问题，涵盖有限制条件的组合、几何图形相关组合、分组分配及隔板法等核心内容。通过实例导入，以母题探究、跟踪训练为支架，衔接基础组合知识与综合应用，构建递进式学习脉络。 其亮点在于以“例题-感悟提升-跟踪训练”模式，结合几何图形、实际分配等实例，培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维分析问题的能力。课堂小结系统梳理策略，助力学生形成解决组合问题的逻辑框架，同时为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第2课时　组合中的综合问题 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 3 应用点一　有限制条件的组合问题 [例1] (对接教材例7)已知课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； 返回导航 (2)至多有两名女生当选； 返回导航 (3)既要有队长，又要有女生当选． 返回导航 母题探究　在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种选法？ 返回导航 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 返回导航 [跟踪训练1] 某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？ (1)甲、乙两个景点至少选一个； 返回导航 (2)甲、乙两个景点至多选一个； (3)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个． 返回导航 应用点二　与几何图形有关的组合问题 [例2] 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，则连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？ 返回导航 返回导航 与几何图形有关的组合问题的解题策略 (1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以几何图形中的点、线的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强． (2)求解几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． 返回导航 [跟踪训练2] 已知圆上有12个不同的点． (1)每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？ 返回导航 (2)每三点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？ 返回导航 应用点三　分组、分配问题 [例3] 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本； 返回导航 (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； 返回导航 (3)分成三组，每组都是2本； 返回导航 (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本． 返回导航 “分组”与“分配”问题的解题策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 返回导航 [跟踪训练3] (1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有(　　) A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 √ 返回导航 (2)现有登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　) A．30 B．60 C．120 D．240 √ 返回导航 返回导航 拓视野 隔板法解相同元素的分配问题 1．把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？ 2．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种(用数字作答). 返回导航 【问题探究】 上述两个问题可归结为以下两个问题： 1．把n个相同的小球放入m个不同的盒子中(n≥m>1)，要求每个盒子非空，有多少种不同放法？ 返回导航 2．将n个相同的小球投放到m(n≥m>1)个不同的盒子中，可以有空盒的不同放法有多少种？ 返回导航 运用“隔板法”的解题策略 (1)相同元素的分配问题用“隔板法”． (2)“隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板的空位数；③插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数． ①每个盒子都不空； ②恰有1个盒子空； ③恰有2个盒子空． 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 1．从5名男生和4名女生中选4人参加一项创新大赛，恰好有3名男生与女生甲参加大赛的方法有(　　) A．6种 B．10种 C．15种 D．16种 √ 返回导航 2．口袋中装有5个白球、4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是(　　) A．20 B．26 C．32 D．36 √ 返回导航 3．将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有_________种．(用数字作答) 25 返回导航 4．某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种． 21 返回导航 方法二：设an表示走到第n级台阶的走法数． 当n＝0时，a0＝1(表示站在原地这一种情况)； 当n＝1时，a1＝0； 当n＝2时，a2＝1； 当n＝3时，a3＝1； 当n>3时，到达第n级台阶，最后一步可能是从第n－2级台阶迈两级上来的，也可能是从第n－3级台阶迈三级上来的，所以an＝an－2＋an－3. 返回导航 所以a14＝a12＋a11＝a10＋a9＋a9＋a8 ＝a8＋a7＋2(a7＋a6)＋a8 ＝2(a6＋a5)＋3(a5＋a4)＋2a6 ＝4(a4＋a3)＋5(a3＋a2)＋3a4 ＝7(a2＋a1)＋9a3＋5a2＝9a3＋12a2＋7a1 ＝9＋12＋0＝21.所以他的走法有21种． 返回导航 1．已学习：(1)有限制条件的组合问题；(2)与几何图形有关的组合问题；(3)不同元素与相同元素间分组、分配问题． 2．须贯通：(1)有限制条件的组合问题的解题策略是分类讨论或正难则反；(2)分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题． 3．应注意：平均分组理解不到位，导致计数重复． 返回导航 $