6.2.3 组合（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6．2.3　组　合

 

一　 组合的概念

甲、乙、丙、丁4支篮球队进行单循环赛(即任意两支球队都要比赛一场).

思考1　冠亚军共有多少种可能的情况？并列出所有的情况．

提示：这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种可能的情况．

用(甲，乙)表示“甲是冠军，乙是亚军”，则所有的情况如下：

(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，(乙，甲)，(丙，甲)，(丁，甲)，(丙，乙)，(丁，乙)，(丁，丙).

思考2　每场比赛的两支球队有多少种安排方案？

提示：因为任意两支球队都要比赛一场，所以从4支球队中任选2支球队，分别为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种安排方案．

思考3　上述两个问题有何异同？

提示：相同点都是从4支球队中选2支球队；不同点是选出的2支球队前者与顺序有关，后者与顺序无关．

[知识梳理]

定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

提醒　(1)组合中取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求．

(2)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．

[例1] (多选)下列四个问题中，属于组合问题的是(　　)

A．若集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个

B．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票

C．从7本不同的书中取出5本给某位同学，有多少种取法

D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法

【解析】　对于A，因为集合中的元素有无序性的特征，所以它是组合问题；

对于B，因为车票与起点、终点有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题；

对于C，因为从7本不同的书中取出5本给某位同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题；

对于D，因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪3个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题．

【答案】　ACD

　

组合与排列的特点与区分策略

(1)特点：组合的特点是只选不排，排列的特点是先选后排；

(2)区分策略：判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．

[跟踪训练1] (多选)给出下列问题，其中是组合问题的是(　　)

A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合

B．从7名班委中选2人担任班长和团支书

C．从数学组的8名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会

D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数

解析：选AC．A中，选出的元素构成集合，是组合问题；B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C中，选出的3人去参加研讨会，

是组合问题；D中，2个数字组成两位数，有十位和个位的位置区分，是排列问题．

二　 组合的列举问题

[例2] (对接教材例5)平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线．

(1)试写出以其中任意三点为顶点的三角形；

(2)若AC与BD的交点为O，试写出以A，B，C，D，O中任意两个点为端点的线段．

【解】　(1)以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有△ABC，△ABD，△BCD，△ACD．

(2)以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO.

　

由问题情景列出组合的常用方法

(1)枚举法：依据一定的规则和方法，把符合题意的组合一一列举，必要时要进行分类．

(2)图表法：根据问题情景，选用树状图、表格或其他形式直观地找出符合题意的组合．

[跟踪训练2] 从6个不同的元素，a，b，c，d，e，f中取出2个，写出所有不同的组合．

解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．

由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个．

三　简单的组合问题