6.2.3 组合（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“组合”核心知识点，从高考选科情境导入，通过篮球比赛问题对比排列与组合的异同，明确组合定义，再结合例题与跟踪训练，系统梳理组合的列举方法及简单应用，构建从情境到概念再到应用的完整学习支架。 该资料以现实问题（如高考选科、篮球比赛）激发学习兴趣，培养“用数学的眼光观察现实世界”。通过对比分析发展“数学思维”，借助枚举法、图表法等引导学生用“数学语言”表达组合问题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

6．2.3　组　合 新课导入 学习目标 　　高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，如果用{思想政治，历史，地理}表示其中一种选考的组合，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？为了准确回答这个问题，今天我们就要学习与此有关的知识． 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系． 2．会用组合知识解决一些简单的组合问题． 一　 组合的概念 甲、乙、丙、丁4支篮球队进行单循环赛(即任意两支球队都要比赛一场). 思考1　冠亚军共有多少种可能的情况？并列出所有的情况． 提示：这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种可能的情况． 用(甲，乙)表示“甲是冠军，乙是亚军”，则所有的情况如下： (甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，(乙，甲)，(丙，甲)，(丁，甲)，(丙，乙)，(丁，乙)，(丁，丙). 思考2　每场比赛的两支球队有多少种安排方案？ 提示：因为任意两支球队都要比赛一场，所以从4支球队中任选2支球队，分别为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种安排方案． 思考3　上述两个问题有何异同？ 提示：相同点都是从4支球队中选2支球队；不同点是选出的2支球队前者与顺序有关，后者与顺序无关． [知识梳理] 定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 提醒　(1)组合中取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求． (2)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同． [例1] (多选)下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A．若集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票 C．从7本不同的书中取出5本给某位同学，有多少种取法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法 【解析】　对于A，因为集合中的元素有无序性的特征，所以它是组合问题； 对于B，因为车票与起点、终点有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题； 对于C，因为从7本不同的书中取出5本给某位同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题； 对于D，因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪3个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题． 【答案】　ACD 　 组合与排列的特点与区分策略 (1)特点：组合的特点是只选不排，排列的特点是先选后排； (2)区分策略：判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． [跟踪训练1] (多选)给出下列问题，其中是组合问题的是(　　) A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合 B．从7名班委中选2人担任班长和团支书 C．从数学组的8名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会 D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数 解析：选AC．A中，选出的元素构成集合，是组合问题；B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D中，2个数字组成两位数，有十位和个位的位置区分，是排列问题． 二　 组合的列举问题 [例2] (对接教材例5)平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线． (1)试写出以其中任意三点为顶点的三角形； (2)若AC与BD的交点为O，试写出以A，B，C，D，O中任意两个点为端点的线段． 【解】　(1)以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有△ABC，△ABD，△BCD，△ACD． (2)以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO. 　 由问题情景列出组合的常用方法 (1)枚举法：依据一定的规则和方法，把符合题意的组合一一列举，必要时要进行分类． (2)图表法：根据问题情景，选用树状图、表格或其他形式直观地找出符合题意的组合． [跟踪训练2] 从6个不同的元素，a，b，c，d，e，f中取出2个，写出所有不同的组合． 解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示． 由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个． 三　简单的组合问题 [例3] 已知一组抛物线y＝ax2＋bx＋1，其中a为2，4，6，8中的任意一个数，b为1，3，5，7中的任意一个数，从这些抛物线中任取2条，则它们在x＝1处的切线恰好互相平行的情形有多少种？ 【解】　因为y′＝ax＋b， 所以y′|x＝1＝a＋b. 易知a＋b的可能情况有7种，分别为3，5，7，9，11，13，15. 当a＋b＝3时，有1条抛物线； 当a＋b＝5时，有2条抛物线，从中取2条，有1种取法； 当a＋b＝7时，有3条抛物线，从中取2条，有3种取法； 当a＋b＝9时，有4条抛物线，从中取2条，有6种取法； 当a＋b＝11时，有3条抛物线，从中取2条，有3种取法； 当a＋b＝13时，有2条抛物线，从中取2条，有1种取法； 当a＋b＝15时，有1条抛物线． 由分类加法计数原理知，从这些抛物线中任取2条，它们在x＝1处的切线恰好互相平行的情形共有1＋3＋6＋3＋1＝14(种). 　 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 注意　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [跟踪训练3] 现有7名教师，其中4名为男教师，3名为女教师． (1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：设4名男教师分别为A1，A2，A3，A4，3名女教师分别为B1，B2，B3. (1)选出的2名教师可以为A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3，共21种不同的选法． (2)根据(1)可知从男教师中选2人有6种选法，从女教师中选2人有3种选法，所以共有6×3＝18种选法． 1．(多选)下列问题中属于组合问题的是(　　) A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法 B．有4张同一电影同一场次的电影票，要在7个人中确定4人去观看，有多少种不同的选法 C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种 D．从0～9的自然数中选3个数组成没有重复数字的三位数 解析：选BC．A，D与顺序有关，是排列问题；B，C均与顺序无关，是组合问题． 2．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 解析：选ABC．根据同一组合的概念，可知选项D中，a，b，c中有c，没有d，但是a，b，d中有d，没有c，故选项D不是相同组合；A，B，C选项满足同一组合的概念． 3．空间中有6个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，则可以作__________个平面． 解析：空间中有6个点，其中任何4个点不共面，则任何3个点不共线，过每3个点可作一个平面，设这6个点分别为A，B，C，D，E，F，所有组合如下： 所以能作的平面的个数为20. 答案：20 4．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素． (1)相加可得多少个不同的和？ (2)相除可得多少个不同的商？ 解：(1)3＋5＝8，3＋7＝10，3＋9＝12，3＋11＝14，5＋7＝12，5＋9＝14，5＋11＝16，7＋9＝16，7＋11＝18，9＋11＝20，共有7个不同的和． (2)A＝20个不同的商． 　 1．已学习：(1)组合的概念；(2)组合的列举问题；(3)简单的组合问题． 2．须贯通：判断一个计数问题是排列还是组合，关键是选取的元素是否与顺序有关． 3．应注意：列举组合时，应做到不重不漏． 学科网（北京）股份有限公司 $