6.2.2 第2课时 排列中的综合应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第2课时　排列中的综合应用

一　数字排列问题

[例1] (对接教材例4)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：

(1)六位数的奇数；

(2)个位数字不是5的六位数；

(3)比400 000大的正整数．

【解】　(1)先排个位数，有A＝3种排法，因为0不能在首位，再排首位有A＝4种排法，最后排其他数有A＝24种排法，根据分步乘法计数原理得，六位数的奇数有3×4×24＝288(个).

(2)因为0是特殊元素，分两类：个位数字是0和个位数字不是0.当个位数字是0时，有A＝120(个)；当个位数字不是0时，有A·A·A＝384(个)，

根据分类加法计数原理得，个位数字不是5的六位数有120＋384＝504(个).

(3)要比400 000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，所以有2A＝2×120＝240(个).

　

数字排列问题的解题策略

(1)优先法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．

(2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行计数，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类时要做到不重不漏．

(3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数．

[跟踪训练1] (1)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)

A．6    B．12  

C．16    D．18

解析：选B．先排个位，有2种排法，再排百位和十位，有A＝6种排法，因此共有2×6＝12个奇数．

(2)用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数字．

解析：首位是1，第二位是0，则后三位可以用余下的数字全排列，共有A＝6种结果；前两位分别是1，2，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有A＝2种结果；

前三位分别是1，2，3，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果．所以数字12 340前面有6＋2＋1＝9个数字，所以数字12 340应是第10个数字．

答案：10

二　排队问题

角度1　“在”与“不在”问题

[例2] 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．

(1)甲不在首位的排法有多少种？

(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？

(3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？

【解】　(1)方法一(把元素作为研究对象)：

第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．

第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．

由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160种排法．

方法二(把位置作为研究对象)：

第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种排法；

第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，

有A种排法．

由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160种排法．

方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行全排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种).

(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．

第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种排法；

第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种排法．

根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800种排法．

(3)不考虑限制条件，总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，又因为甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860种排法．

　

“在”与“不在”排列问题的解题原则及方法

(1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．

(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．

角度2　“相邻”与“不相邻”问题

[例3] 3男3女共6名同学排成一排．

(1)女生都排在一起，有多少种排法？

(2)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？

(3)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，有多少种排法？

【解】　(1)将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有A种排法，又3名女生内部有A种排法，所以共有A·A＝144种排法．

(2)女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有A·A＝144种排法．

(3)先选2个女生排在男生甲、乙之间，有A种排法，又甲、乙有A种排法，