6.2.2 第2课时 排列中的综合应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学排列的综合应用，系统梳理数字排列（含奇数、个位非5、比400000大等问题）与排队问题（含“在”与“不在”、“相邻”与“不相邻”等类型），通过优先法、分类讨论等策略搭建从基础排列到综合应用的学习支架。 该资料以现实问题为情境，如数字排列用优先法处理特殊位置，排队相邻问题用捆绑法，培养学生数学思维（推理能力、逻辑分析）与数学语言（模型意识）。课中辅助教师系统教学，课后通过跟踪训练和练习题帮助学生巩固解题方法，查漏补缺。

第2课时　排列中的综合应用 一　数字排列问题 [例1] (对接教材例4)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字： (1)六位数的奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)比400 000大的正整数． 【解】　(1)先排个位数，有A＝3种排法，因为0不能在首位，再排首位有A＝4种排法，最后排其他数有A＝24种排法，根据分步乘法计数原理得，六位数的奇数有3×4×24＝288(个). (2)因为0是特殊元素，分两类：个位数字是0和个位数字不是0.当个位数字是0时，有A＝120(个)；当个位数字不是0时，有A·A·A＝384(个)， 根据分类加法计数原理得，个位数字不是5的六位数有120＋384＝504(个). (3)要比400 000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，所以有2A＝2×120＝240(个). 　 数字排列问题的解题策略 (1)优先法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”． (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行计数，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类时要做到不重不漏． (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数． [跟踪训练1] (1)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 解析：选B．先排个位，有2种排法，再排百位和十位，有A＝6种排法，因此共有2×6＝12个奇数． (2)用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数字． 解析：首位是1，第二位是0，则后三位可以用余下的数字全排列，共有A＝6种结果；前两位分别是1，2，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有A＝2种结果； 前三位分别是1，2，3，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果．所以数字12 340前面有6＋2＋1＝9个数字，所以数字12 340应是第10个数字． 答案：10 二　排队问题 角度1　“在”与“不在”问题 [例2] 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 【解】　(1)方法一(把元素作为研究对象)： 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法． 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法． 由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160种排法． 方法二(把位置作为研究对象)： 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种排法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种排法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160种排法． 方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行全排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种). (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置． 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种排法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800种排法． (3)不考虑限制条件，总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，又因为甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860种排法． 　 “在”与“不在”排列问题的解题原则及方法 (1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先． (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置． 角度2　“相邻”与“不相邻”问题 [例3] 3男3女共6名同学排成一排． (1)女生都排在一起，有多少种排法？ (2)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？ (3)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，有多少种排法？ 【解】　(1)将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有A种排法，又3名女生内部有A种排法，所以共有A·A＝144种排法． (2)女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有A·A＝144种排法． (3)先选2个女生排在男生甲、乙之间，有A种排法，又甲、乙有A种排法，这样就有A·A种排法，然后把他们4人看成一个整体(相当于一个人)与剩余2人全排列，故总排法为A·A·A＝72种排法． 　 “相邻”与“不相邻”问题的解题策略 处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． (1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． (2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． [跟踪训练2] (1)某中学运动会上一天安排长跑、跳绳等6场不同的比赛，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安排跳绳，则不同的安排方案种数为(　　) A．504 B．510 C．480 D．500 解析：选A．方法一：根据第一场安排的比赛是不是跳绳，分为两类： 第一类，若第一场安排跳绳，则最后一场安排不受限制，共有1×A＝120种安排方案； 第二类，若第一场不安排跳绳，也不安排长跑，则第一场有4种安排；再安排最后一场，其不能为跳绳，故有4种安排，则共有4×4×A＝384种安排方案． 故不同的安排方案有120＋384＝504(种). 方法二(间接法)：6场比赛全排列有A种不同的安排方案，其中第一场安排长跑有A种不同的安排方案，最后一场安排跳绳有A种不同的安排方案，第一场安排长跑且最后一场安排跳绳有A种不同的安排方案，所以共有A－A－A＋A＝504种不同的安排方案． (2)A，B，C，D，E，F六人站队照相，若要求A，B两人相邻且C，D，E三人不相邻，则所有不同的站法种数为(　　) A．24 B．18 C．108 D．144 解析：选A．第一步，将要求相邻的A，B“捆绑”在一起，并排序，有A种方法； 第二步，再将捆绑在一起的整体和剩下除去C，D，E外的元素进行全排列，则有A种方法，且形成3个空；第三步，最后将要求不相邻的C，D，E插入形成的3个空中，有A种方法， 根据分步乘法计数原理可得，所有不同的站法有AAA＝2×2×6＝24(种). 1．有6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　) A．720种 B．360种 C．240种 D．120种 解析：选C．将甲、乙两人捆绑在一起视为1人，与其余4人排列，有A种排列方法，甲、乙两人可互换位置，有A种排列方法， 所以总的排法有A·A＝240(种). 2．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有(　　) A．20个 B．48个 C．52个 D．120个 解析：选C．分两类： 第一类：0在个位，满足条件的三位数有A＝20(个)； 第二类：0不在个位，个位有A种排法，百位上有A种排法，十位上有A种排法．则此时无重复数字的三位偶数有AAA＝32(个). 所以由分类加法计数原理，得满足条件的三位数共有20＋32＝52(个). 3．(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列有________种． 解析：方法一：因为6个人排成一条队列，两端必须是家长，所以从4个家长中选两个站在两端，剩余4人全排列，有AA＝288种排法． 方法二：6个人全排列有A种排列方法．其中，①2个儿童一个在队首，一个在队尾有AA种排列方法；②2个儿童一个在队首，另一个不在队尾有AAA种排列方法；③2个儿童一个在队尾，另一个不在队首有AAA种排列方法，则两端必须是家长的排列方法有A－AA－2AAA＝720－48－384＝288(种). 答案：288 4．3名男生和4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5人排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙均不在两端； (3)全体站成一排，男生彼此不相邻． 解：(1)无条件的排列问题，排法有A＝2 520(种). (2)先安排甲、乙，有A种方法，再安排余下的5人，有A种方法，所以排法有AA＝2 400(种). (3)先排女生，有A种排法，排好后有5个空位，让男生插入5个空位中，有A种排法，所以共有AA＝1 440种排法． 　 1．已学习：(1)数字排列问题；(2)排队问题． 2．须贯通：(1)特殊元素(位置)优先原则，常用直接法或间接法(正难则反)； (2)处理“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则，相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”． 3．应注意：解题时，从元素或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误． 学科网（北京）股份有限公司 $