6.2.2 第1课时 排列数公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6．2.2　排列数

 

第1课时　排列数公式

一　 排列数及排列数公式

思考1　从写有1，2，3，4的卡片中选取卡片进行数字游戏，试填写下表：

提示：4×3＝12　4×3×2＝24.

思考2　若用A，A分别表示问题中的两位数、三位数的个数，则A，A的值是什么？

提示：A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24.

思考3　类比上述结果，你能得出A的意义和A的值吗？

提示：A表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即A＝n(n－1)(n－2).

[知识梳理]

1．排列数

(1)定义：把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做

从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．

(2)公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，m，n∈N*，m≤n.

(阶乘式)A＝，m，n∈N*，m≤n.

2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n！．规定：0！＝1．

提醒　(1)“排列”和“排列数”的区别：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，排列不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是一个数．

(2)排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的m，n应该满足m，n∈N*，m≤n.

[例1] (对接教材例3)计算：(1)A；(2)A－A；(3).

【解】　(1)A＝10×9×8×7＝5 040.

(2)A－A＝9×8×7×6－9×8×7＝2 520.

(3)

＝

＝＝1.

　

排列数的计算方法

(1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用；

(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出阶乘的式子后，再提取公因式，然

后计算，这样会减少运算量．

[跟踪训练1] (1)7×8×9×…×15可表示为(　　)

A．A　　　　　 B．A

C．A    D．A

解析：选D．7×8×9×…×15＝＝A.

(2)计算：＝____________．

解析：＝＝1.

答案：1

二　排列数公式的简单应用

角度1　解方程或不等式问题

[例2] (1)满足不等式>12的n的最小值为____________．

(2)若3A＝2A＋6A，则x＝________．

【解析】　(1)由排列数公式得>12，

所以(n－5)(n－6)>12，即n2－11n＋18>0，

解得n>9或n<2，又n≥7，所以n>9，

又n∈N*，所以n的最小值为10.

(2)由题得3×

＝2×＋6×，

则＋＝3，

所以2(x＋1)＋6(x－1)＝3(x－1)(x－2)，

则3x2－17x＋10＝0，即(3x－2)(x－5)＝0，又x∈N*，故x＝5.

【答案】　(1)10　(2)5