6.2.2 第1课时 排列数公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦排列数核心知识点，从奥运冠军合影、数字卡片排列等现实情境引入，抽象出排列数定义，推导乘积式与阶乘式公式，通过例题与跟踪训练掌握计算、方程不等式求解及实际应用，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 以真实情境导入培养数学眼光，通过问题链引导学生自主推导公式发展数学思维，分层设计计算、证明、实际问题等例题，助力课中教学与课后查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的应用意识。

6．2.2　排列数 新课导入 学习目标 　　2025年3月30日，全红婵、陈艺文、陈芋汐等五位奥运冠军领衔的中国跳水队出征墨西哥，参加2025年世界泳联跳水世界杯首站瓜达拉哈拉站比赛，登机前五位奥运冠军站成一排合影留念，那么这5人的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？ 1.理解排列数的概念及排列数公式的推导过程． 2．掌握排列数公式及其应用． 3．能用排列知识解决简单的实际问题． 第1课时　排列数公式 一　 排列数及排列数公式 思考1　从写有1，2，3，4的卡片中选取卡片进行数字游戏，试填写下表： 问题 答案 从4张卡片中选取2张，能构成多少个无重复数字的两位数？ 从4张卡片中选取3张，能构成多少个无重复数字的三位数？ 提示：4×3＝12　4×3×2＝24. 思考2　若用A，A分别表示问题中的两位数、三位数的个数，则A，A的值是什么？ 提示：A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24. 思考3　类比上述结果，你能得出A的意义和A的值吗？ 提示：A表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即A＝n(n－1)(n－2). [知识梳理] 1．排列数 (1)定义：把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． (2)公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，m，n∈N*，m≤n. (阶乘式)A＝，m，n∈N*，m≤n. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n！．规定：0！＝1． 提醒　(1)“排列”和“排列数”的区别：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，排列不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是一个数． (2)排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的m，n应该满足m，n∈N*，m≤n. [例1] (对接教材例3)计算：(1)A；(2)A－A；(3). 【解】　(1)A＝10×9×8×7＝5 040. (2)A－A＝9×8×7×6－9×8×7＝2 520. (3) ＝ ＝＝1. 　 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用； (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出阶乘的式子后，再提取公因式，然后计算，这样会减少运算量． [跟踪训练1] (1)7×8×9×…×15可表示为(　　) A．A　　　　　 B．A C．A D．A 解析：选D．7×8×9×…×15＝＝A. (2)计算：＝____________． 解析：＝＝1. 答案：1 二　排列数公式的简单应用 角度1　解方程或不等式问题 [例2] (1)满足不等式>12的n的最小值为____________． (2)若3A＝2A＋6A，则x＝________． 【解析】　(1)由排列数公式得>12， 所以(n－5)(n－6)>12，即n2－11n＋18>0， 解得n>9或n<2，又n≥7，所以n>9， 又n∈N*，所以n的最小值为10. (2)由题得3× ＝2×＋6×， 则＋＝3， 所以2(x＋1)＋6(x－1)＝3(x－1)(x－2)， 则3x2－17x＋10＝0，即(3x－2)(x－5)＝0，又x∈N*，故x＝5. 【答案】　(1)10　(2)5 　 解有关排列数的方程或不等式的步骤 提醒　检验的依据是A中m∈N*，n∈N*且m≤n等限制条件． 角度2　证明问题 [例3] 求证：A＋mA＝A(m，n为大于1的自然数). 【证明】　A＋mA＝n(n－1)·…·(n－m＋1)＋mn(n－1)·…·(n－m＋1＋1)＝n(n－1)·…·(n－m＋2)·[(n－m＋1)＋m]＝(n＋1)n(n－1)·…·(n＋1－m＋1)＝A. 　 排列数的化简与证明技巧 (1)基本原则：化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系． (2)常见的变式： ①n！＝n(n－1)！；②A＝nA； ③n·n！＝(n＋1)！－n！； ④＝－. [跟踪训练2] (1)已知A＝2A，则x＝____________________________. 解析：因为A＝2A，所以＝2×，且1≤x≤5，2≤x≤7，x∈N*，即2≤x≤5，x∈N*，所以(7－x)(6－x)＝12，解得x＝3或x＝10(舍去)，所以x＝3. 答案：3 (2)求证：A＝AA. 证明：左边＝A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！， 右边＝AA＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)×(n－m)×…×2×1＝n！， 所以A＝AA. 三　 排列数公式的实际应用 [例4] 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 【解】　由题意得，可分3类，第1类，用1面旗表示的信号有A种； 第2类，用2面旗表示的信号有A种； 第3类，用3面旗表示的信号有A种，由分类加法计数原理，知所求的信号种数是A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号． 母题探究　若信号兵用2面红旗，黄旗、蓝旗各1面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号(4面旗全部用上)，不同的颜色排成的顺序表示不同的信号，能表示多少种不同的信号？ 解：用4面旗表示信号可分两步：第一步，先从4个位置选两个位置安排黄旗和蓝旗共有A＝12种方法；第二步，剩下的两个位置排红旗，因为颜色一样，与顺序无关，所以只有1种排法．由分步乘法计数原理，知所表示的不同信号共有12×1＝12(种). 　 解简单排列应用题的思路 (1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序． (2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件． (3)运用排列数公式求解． [跟踪训练3] (1)某公司有5艘远洋货轮，现在要派遣3艘执行运输任务，若派遣顺序有先后之分，共有多少种不同的派遣方法？ 解：依题意，不同的派遣方法有A＝5×4×3＝60(种). (2)将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？ 解：依题意，完成这件事可以分两步． 第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有A种方法； 第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有A种方法． 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有A×A＝576(种). 1．A＋A＝(　　) A．50 B．35 C．25 D．40 解析：选A．A＋A＝6×5＋5×4＝30＋20＝50. 2．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，则不同的选法种数是(　　) A．20 B．16 C．10 D．6 解析：选A．从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长的选法，相当于从5个元素中任选2个元素的排列，即有A＝5×4＝20种选法． 3．4×5×6×…×(n－1)n＝(　　) A．A B．A C．(n－4)! D．A 解析：选D．4，5，…，n共n－4＋1＝n－3个数，所以根据排列数公式知4×5×6×…×(n－1)n＝A. 4．(1)某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案？ (2)从1，2，3，4，5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？ 解：(1)由题意，A，B，C，D四个不同品种的小麦在4种不同类型的土地上全排列，故种植方案共有A＝24(种). (2)因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序，所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有A＝5×4＝20(个)，故一共可以组成20个不同的点． 　 1．已学习：(1)排列数、排列数公式；(2)利用排列数公式化简与证明；(3)排列数公式的简单应用． 2．须贯通：恰当选择排列数公式两种不同的表示形式：(1)乘积形式主要用于排列数的计算；(2)阶乘形式常用于化简、证明或方程(不等式)的求解． 3．应注意：易忽视A中“m，n∈N*且m≤n”这个条件． 学科网（北京）股份有限公司 $