6.2.3-6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

　　第2课时　组合的综合应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步加深对组合概念的理解.掌握几种有限制条件的排列，能应用组合数公式解决简单的实际问题. 2.正确识别排列组合中的分组、分配问题，与几何图形有关的组合问题. 题型（一）　有限制条件的组合问题 [例1]　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法? （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法? （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法? （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法? 解：（1）4人中男生和女生各选2人，共有×=10×6=60（种）选法. （2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21（种）选法. （3）法一　直接法　男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有=21（种）选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有=70（种）选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91（种）选法. 法二　间接法　男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有=35（种）选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有-=126-35=91（种）选法. （4）法一　直接法　如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女.则4人中必须既有男生又有女生共有++=20+60+40=120（种）选法. 法二　间接法　如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有--=120（种）选法. 　　|思|维|建|模| 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 　　[针对训练] 1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 （　　） A.24 B.14 C.28 D.48 解析：选B　法一　分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有种选派方案. 故共有+=14（种）不同的选派方案. 法二　6人中选派4人的组合数为，其中都选男生的组合数为，所以至少有1名女生的选派方案有-=14（种）. 2.20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有 （　　） A.120种 B.240种 C.360种 D.720种 解析：选A　先在编号为2号，3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有=120（种）放法. 3.（2023·新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　种（用数字作答）.  解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有++=64（种）. 答案：64 题型（二）　与几何有关的组合问题 [例2]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线. （1）这9个点，可确定多少条不同的直线? （2）以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形? （3）以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形? 解：（1）法一　直接法　共线的4点记为A，B，C，D. 第一类：A，B，C，D确定1条直线；第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定条直线； 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线.根据分类加法计数原理，共有不同直线1++=1+10+20=31（条）. 法二　间接法　9个点取2个点共有种，4个共线点取2个共有种，以上均表示同一条直线，则可确定不同的直线-+1=31（条）. （2）法一　直接法　第一类：从A，B，C，D中取2个点，其余5点中任取1点，可得个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，其余5点中任取2点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形. 共有++=80（个）三角形. 法二　间接法　9个点取3个点共有种， 其中不能构成三角形的是在4个共线点取3个共有种，可确定三角形-=80（个）. （3）法一　直接法　分三类：从其余不共线的5个点中任取4个、3个、2个点共得++=105（个）四边形. 法二　间接法　9个点取4个点共有种，其中不能构成四边形的分为两类：第一类：4个点共线则有种，第二类其中3点来自于共线的4点，第4点来自于其余的5个点，则有种，故可确定四边形--=105（个）. 　　|思|维|建|模| 解答几何图形组合问题的策略 （1）解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理. （2）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. 　　[针对训练] 4.（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体? （2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥? 解：（1）正方体8个顶点可构成个四点组，其中四点共面的情况为正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面， 所以可确定四面体有-12=58个. （2）由（1）知，正方体中共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以正方体其余的四个顶点中任一点为顶点都可以确定一个四棱锥， 所以可确定四棱锥有12=48个. 题型（三）　分组、分配问题 角度1　不同元素分组、分配问题 [例3]　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法? （1）每组2本（平均分组）； （2）一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； （3）一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）. 解：（1）每组2本，均分为3组的分组种数为==15. （2）一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60. （3）一组4本，另外两组各1本的分组种数为==15. 　　|思|维|建|模| “分组”与“分配”问题的解法 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n!； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. （2）分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 角度2　相同元素分配问题 [例4]　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数. （1）每个盒子都不空； （2）恰有一个空盒子. 解：（1）先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10（种）放法. （2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40（种）放法. 　　|思|维|建|模| 相同元素分配问题的处理策略 （1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. （2）将n个相同的元素分给m个不同的对象（n≥m），有种方法.可描述为（n-1）个空中插入（m-1）块隔板. 　　[针对训练] 5.某体育赛事组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人.已知甲不能安排在物资分发服务点，且乙不能在路线指引服务点，则不同的安排方法共有 （　　） A.8种 B.10种 C.12种 D.14种 解析：选D　若甲不入选，则有=4种安排方法；若乙不入选，则有=4种安排方法；若甲、乙同时入选，则有=6种安排方法；综上所述，共有4+4+6=14种安排方法. 6.在某地“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是 （　　） A.114 B.120 C.150 D.180 解析：选A　根据题意，5名学生分成三组，分组方法分为两种：①3∶1∶1分组：总分组方式为=10种，其中甲、乙同在三人组的方式有=3种，故符合条件的为10-3=7种；②2∶2∶1分组：总分组方式为=15种，其中甲、乙同在两人组的方式为=3种，故符合条件的为15-3=12种.由分类加法计数原理，总分组方式为7+12=19种，三组对应三个村寨的排列方式为=6种，故最终总方法数为19×6=114种. 学科网（北京）股份有限公司 $