6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦两个计数原理的综合应用，系统梳理组数问题、抽取与分配问题、涂色与种植问题等核心内容，通过例题解析、母题探究及跟踪训练，构建从基础原理到复杂情境的学习支架。 资料以具体实例（如数字组数、工厂分配、区域涂色）为载体，引导学生用数学眼光发现问题中的数量关系，通过分类讨论与分步分析培养数学思维（推理能力），用规范数学语言表达解题过程。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　两个计数原理的综合应用 应用点一　组数问题 [例1] 用0，1，2，3，4五个数字． (1)可以排出多少个不同的三位数的密码？ (2)可以排成多少个不同的三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 【解】　(1)三位数的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故共可排出5×5×5＝125个不同的三位数的密码． (2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，均有5种排法，因此，共可排成4×5×5＝100个不同的三位数． (3)能被2整除的数即偶数，则个位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12种排法；另一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因为0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3＝18种排法．故共有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 母题探究1　由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种取法；第二步定千位，把1，2，3，4中除去用过的一个数，在剩下的3个数中任取一个，有3种取法；第三步排百位，有3种排法；第四步排十位，有2种排法．由分步乘法计数原理知，共能组成2×3×3×2＝36个无重复数字的四位奇数． 母题探究2　本例的五个数字，可组成多少个小于300的无重复数字的三位整数？ 解：百位数字只有2种选择，十位数字有4种选择，个位数字有3种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位整数的个数是2×4×3＝24. 　 解决组数问题的方法 (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． 提醒　数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． [跟踪训练1] 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 解析：选B．按是否选0分为2类： 选到0时，有3×2＝6种排法； 选到2时，有2×3×2＝12种排法， 故奇数的个数为6＋12＝18. 应用点二　抽取与分配问题 [例2] (1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 (2)将4封信投进3个不同的邮筒中，共有____________种不同的投法． 【解析】　(1)方法一(直接法)：第一类：三个班级都到甲工厂，只有1种分配方案； 第二类：两个班级到甲工厂，剩余一个班级去其他工厂，分配方案有3×3＝9(种)； 第三类：只有一个班级到甲工厂，剩余两个班级去另外三个工厂，分配方案有3×3×3＝27(种). 由分类加法计数原理，共有1＋9＋27＝37种不同的分配方案． 方法二(间接法)：若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4＝64种分配方案； 若甲工厂没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3＝27种分配方案， 则符合条件的分配方案有64－27＝37(种). (2)4封信投进3个不同的邮筒，有的邮筒可能没有信，有的邮筒可能有4封信，但信必须投完，所以应以信为主，每封信可以投进3个邮筒中的任意一个，各有3种方法，所以共有3×3×3×3＝34＝81种不同的投法． 【答案】　(1)C　(2)81 　 求解抽取、分配问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法． (2)当涉及对象数目较大时，一般有两种方法： ①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理． ②间接法：去掉限制条件，计算所有的方法数，然后减去所有不符合条件的方法数． [跟踪训练2] 从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(　　) A．280种 B．240种 C．180种 D．96种 解析：选B．由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．其他三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240种选派方案． 应用点三　涂色与种植问题 [例3] (1)地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有(　　) A．84种 B．72种 C．48种 D．24种 (2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有____________种．(用数字作答) 【解析】　(1)将题中图形区域记为上、下、左、右， 若上、下颜色相同，则上有4种涂色方法，左有3种涂色方法，右有3种涂色方法，共有4×3×3＝36种涂色方法； 若上、下颜色不同，则上有4种涂色方法，下有3种涂色方法，左、右各有2种涂色方法，共有4×3×2×2＝48种涂色方法． 所以共有36＋48＝84种涂色方法． (2)从左往右5块试验田分别有3，2，2，2，2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48种种植方法，其中5块试验田只种植2种作物的种植方法共有3×2×1×1×1＝6(种)，所以不同的种植方法有48－6＝42(种). 【答案】　(1)A　(2)42 　 解决涂色(种植)问题的策略 (1)按区域的不同，以区域为主进行分步计数，用分步乘法计数原理计算． (2)以颜色(种植作物)为主的分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． (3)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． [跟踪训练3] (1)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为(　　) A．240 B．360 C．420 D．540 解析：选C．按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法． 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法． (2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有________种不同的种植方法． 解析：方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法； 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6种不同的种植方法． 故不同的种植方法共有6×3＝18(种). 方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24种不同的种植方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种不同的种植方法，故共有24－6＝18种不同的种植方法． 答案：18 1．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有(　　) A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 解析：选B．本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为 由此可知共有12个． 2．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取2个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，则不在x轴上的点的个数是(　　) A．100 B．90 C．81 D．72 解析：选C．分两步，第1步选b，因为b≠0，所以有9种不同的选法，第2步选a，因为a≠b，所以有9种不同的选法．由分步乘法计数原理知共有9×9＝81个点满足要求． 3．有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有____________种可能． 解析：要完成这件事，必须将三个项目比赛完，分三步：第一个项目的冠军有4种可能；第二、第三个项目的冠军也各有4种可能，由分步乘法计数原理，知冠军获得者共有43＝64种可能． 答案：64 4．如图，有4种不同的颜色可涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有____________种． 解析：先涂A，有4种选择，则B有3种选择，C与A，B颜色都不一样，则C有2种选择，再涂D，只要与C涂不一样的颜色就可以，D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72(种). 答案：72 　 1．已学习：(1)组数问题；(2)抽取与分配问题；(3)涂色与种植问题． 2．须贯通：(1)流程图描述“类中有步”与“步中有类”的不同： 类中有步图 步中有类图 (2)“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可． 3．应注意：分类讨论的过程中分类标准不明确，出现重复或遗漏问题． 学科网（北京）股份有限公司 $