6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第2课时　两个计数原理的综合应用

应用点一　组数问题

[例1] 用0，1，2，3，4五个数字．

(1)可以排出多少个不同的三位数的密码？

(2)可以排成多少个不同的三位数？

(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

【解】　(1)三位数的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故共可排出5×5×5＝125个不同的三位数的密码．

(2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，均有5种排法，因此，共可排成4×5×5＝100个不同的三位数．

(3)能被2整除的数即偶数，则个位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12种排法；另一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因为0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3＝18种排法．故共有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．

母题探究1　由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？

解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种取法；第二步定千位，把1，2，3，4中除去用过的一个数，在剩下的3个数中任取一个，有3种取法；第三步排百位，有3种排法；第四步排十位，有2种排法．由分步乘法计数原理知，共能组成2×3×3×2＝36个无重复数字的四位奇数．

母题探究2　本例的五个数字，可组成多少个小于300的无重复数字的三位整数？

解：百位数字只有2种选择，十位数字有4种选择，个位数字有3种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位整数的个数是2×4×3＝24.

　

解决组数问题的方法

(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．

(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．

提醒　数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．

[跟踪训练1] 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24    B．18  

C．12    D．6

解析：选B．按是否选0分为2类：

选到0时，有3×2＝6种排法；

选到2时，有2×3×2＝12种排法，

故奇数的个数为6＋12＝18.

应用点二　抽取与分配问题

[例2] (1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)

A．16种    B．18种  

C．37种    D．48种

(2)将4封信投进3个不同的邮筒中，共有____________种不同的投法．

【解析】　(1)方法一(直接法)：第一类：三个班级都到甲工厂，只有1种分配方案；

第二类：两个班级到甲工厂，剩余一个班级去其他工厂，分配方案有3×3＝9(种)；

第三类：只有一个班级到甲工厂，剩余两个班级去另外三个工厂，分配方案有3×3×3＝27(种).

由分类加法计数原理，共有1＋9＋27＝37种不同的分配方案．

方法二(间接法)：若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4＝64种分配方案；

若甲工厂没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3＝27种分配方案，

则符合条件的分配方案有64－27＝37(种).

(2)4封信投进3个不同的邮筒，有的邮筒可能没有信，有的邮筒可能有4封信，但信必须投完，所以应以信为主，每封信可以投进3个邮筒中的任意一个，各有3种方法，所以共有3×3×3×3＝34＝81种不同的投法．

【答案】　(1)C　(2)81

　

求解抽取、分配问题的方法

(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法．

(2)当涉及对象数目较大时，一般有两种方法：

①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．

②间接法：去掉限制条件，计算所有的方法数，然后减去所有不符合条件的方法数．

[跟踪训练2] 从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(　　)

A．280种    B．240种

C．180种    D．96种

解析：选B．由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．其他三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240种选派方案．

应用点三　涂色与种植问题

[例3] (1)地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有(　　)