6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

 

第1课时　两个计数原理及其简单应用

一　分类加法计数原理

思考1　用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的座号？

提示：因为英文字母共26个，阿拉伯数字共10个，所以总共可以编出26＋10＝36种不同的座号．

思考2　你能说一说这个问题的特征吗？

提示：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”，其次，是“或”字的出现，一个座位编号可用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字表示．

因为大写的英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用大写的英文字母编出的座号与用阿拉伯数字编出的座号也互不相同．

这两类座号数相加就得到不同座号的总数．

[知识梳理]

分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种

不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

提醒　(1)分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事．

(2)推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

[例1] (对接教材例1)设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)

A．6个　　　　　　　　 B．8个

C．12个    D．16个

【解析】　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.

当m＝4时，n＝1，2，3；

当m＝3时，n＝1，2；

当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).

【答案】　A

母题探究　本例条件不变，则方程－＝1表示焦点位于x轴上的双曲线有(　　)

A．6个    B．8个

C．12个    D．16个

解析：选D．因为双曲线的焦点在x轴上，所以m>0，n>0，当m＝1时，n＝1，2，3，4；当m＝2时，n＝1，2，3，4；当m＝3时，n＝1，2，3，4；当m＝4时，n＝1，2，3，4，即所求的双曲线共有4＋4＋4＋4＝16(个).

　

利用分类加法计数原理计数时的解题流程

提醒　确定分类标准时，一方面要做到分类“不重不漏”，另一方面要确保每一类都能独立地完成这件事．

[跟踪训练1] (1)一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有(　　)

A．3种    B．1 848种

C．37种    D．6种

解析：选C．根据题意，分3类情况讨论：若取出的书为语文类读物，有12种取法；若取出的书为政治类读物，有14种取法；若取出的书为英语类读物，有11种取法，则共有12＋14＋11＝37种取法．

(2)将1，3，5，7中的任意一个数作为分子，2，4，8，9中的任意一个数作为分母，则可构成真分数的个数为(　　)

A．8    B．9

C．10    D．11

解析：选D．分四类：①当分子为1时，真分数有，，，，共4个；②当分子为3时，真分数有，，＝，共3个；③当分子为5时，真分数有，，共2个；④当分子为7时，真分数有，，共2个．根据分类加法计数原理知，可构成4＋3＋2＋2＝11个真分数．

二　分步乘法计数原理

已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有三条不同的路，从景点A到东门共有两条不同的路．