黑龙江绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年高一第二学期开学测试数学试卷

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试卷 高一数学 （适用地区：黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古、新疆、西藏、宁夏、甘肃、青海） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 2.设函数，对，有成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.由单词“”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素个数为(    ) A. B. C. D. 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 5.已知，则(    ) A. B. C. D. 6.某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司年全年投入科研经费万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过万元的年份是(    ) 参考数据：，， A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 7.从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数互质的概率为(    ) A. B. C. D. 8.已知，，则角的终边所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则(    ) A. 是的充要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的充要条件 10.关于的不等式的解集是，则(    ) A. B. C. 不等式的解集是 D. 方程的解集是 11.已知函数，，则下列说法正确的是(    ) A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 12.下列命题正确的是(    ) A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.        ． 14.已知，，且，则的最大值为        ． 15.已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是        ． 16.记表示，，中最大的数，已知，，则的最小值为        ． 四、解答题：本题共4小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． 甲在比赛中恰好赢一轮的概率； 从甲、乙两人中选人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ 若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 18.本小题分 如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交，于点，． 用向量与表示； 若，求和的值． 19.本小题分 已知集合． 当时，求； 若：，：，则是否存在实数，使得是的充分不必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 20.本小题分 已知定义在上的奇函数，且． 求，的值，判断在上的单调性，并用定义证明； 解关于实数的不等式； 若对，恒成立，求实数的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：“”可能得出“”，例如：，． 反之：． ”是“”的必要不充分条件． 故选：． 利用三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法即可判断出结论． 本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：根据题意，函数，对，有成立， 则在上单调递增，必有， 解得，即的取值范围为． 故选：． 根据条件得到在上单调递增，再利用分段函数的单调性，列不等式组，即可求解． 本题考查函数单调性的判断，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：根据集合中元素的互异性，由单词“”中的字母组成的集合． 所以中的元素个数为． 故选：． 根据集合中元素的互异性可得出答案． 本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合中元素的互异性，属于基础题． 4.【答案】  【解析】解：根据题意，函数， ，故BD选项错误， ，故C选项错误． 故选：． 根据特殊点的函数值来确定正确答案． 本题考查了函数的性质，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：由题可得， 所以 ． 故选：． 根据诱导公式及同角三角函数关系，将、转化为、即可求解． 本题主要考查诱导公式及同角三角函数关系的应用，考查计算能力，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：若该公司年全年投入科研经费万元， 在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长， 取年是第年，则第年该公司全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则， 则第年，即年该公司全年投入的科研经费开始超过万元． 故选：． 根据题意列出函数关系式，结合对数函数知识解不等式即可． 本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题． 7.【答案】  【解析】【分析】 先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案． 本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题． 【解答】 解：从至的个整数中任取两个数共有种方式， 其中互质的有：，，，，，，，，，，，，，，共种， 故所求概率为． 8.【答案】  【解析】解：由可得角的终边所在的象限为三或四， 可得角的终边所在的象限为二或三， 角的终边所在的象限为：第三象限， 故选：． 由和分别可得角的终边所在的象限，取交集即可． 本题考查三角函数的符号，属基础题． 9.【答案】  【解析】解：是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， ，推不出，，，， ， 是的充要条件，故A正确，C错误； ， 是的充分不必要条件，故B正确，D错误． 故选：． 根据已知条件，结合充分必要条件的定义和传递性，即可求解． 本题主要考查充分必要条件的判定，以及传递性的运用，考查推理能力，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：由题意知，所以故选项A错误，选项B正确； 不等式等价于， 因为，所以进一步可化为，即， 解得， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 方程可化为，即， 解得或， 所以方程的解集是，故选项D错误． 故选：． 根据一元二次不等式的解法，根与系数的关系可判断选项A和；将，与的关系代入化简，解一元二次不等式和方程，可分别判断选项C和． 本题考查一元二次不等式与方程之间的联系和解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 11.【答案】  【解析】解：关于原点对称，所以关于对称，故A正确； ， 又，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 易得在上单调递增， 当时，， 所以，所以，故C错误； 由，得， 即， 又，所以，所以，故D正确． 故选：． 选项A：结合函数的对称性及图像平移判断即可． 选项B：结合函数的单调性判断即可． 选项C：结合函数的单调性及余弦函数的性质判断即可． 选项D：结合作差法及基本不等式求解即可． 本题主要考查了函数的单调性及对称性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：选项：若、为零向量，满足， 但不唯一，故A错误； 选项B：若，但与方向不确定， 显然不一定成立； 若，则必有， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 选项C：设， 又为平面内两个不共线的向量， 则有，显然无解， 所以不共线， 故可作为平面的一组基底，故C正确； 选项D：由重心是中线的交点，如图所示， 为平行四边形，过的中点， 则，且， 故，故D正确． 故选：． ，若、为零向量，则不唯一，即可判断；，根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；，根据基底的性质判断；，由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断． 本题考查平面向量基本定理及空间向量的线性运算，考查充要条件的判定，属中档题． 13.【答案】  【解析】解：原式． 故答案为：． 利用指数运算、对数运算法则计算可得结果． 本题主要考查了指数及对数运算，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：因为，，且， 可得，， 所以 ， 因为， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值是． 故答案为：． 根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可． 本题考查基本不等式的性质的应用，属于中档题． 15.【答案】  【解析】解：幂函数经过点，设幂函数，则，解得， 即，故，其定义域为， 且是奇函数， 又由于与均是上的减函数，是上的增函数， 所以是上的增函数， 由， 解得． 故答案为：． 先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题． 16.【答案】  【解析】解：由，，所以，，中一个为正，两个为负， 不妨设，，，所以， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 由题得，，中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 17.【答案】解：在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，， 在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响， 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”， 则，，，相互独立，且，，，， 设“甲在比赛中恰好赢一轮” 则． 在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， ，， ，派甲参赛获胜的概率更大． 设事件“甲赢得比赛”，事件“乙赢得比赛”， 则“两人中至少有一人赢得比赛”， 由知，，， ， ， 两人中至少有一人赢得比赛的概率为．  【解析】利用相互独立事件概率乘法公式求解． 利用概率的乘法公式计算出甲赢得比赛概率为，乙赢得比赛的概率为； 首先利用对立事件概率求得甲和乙都未赢比赛的概率，求出至少一人赢得比赛的概率． 本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：根据题意，可得． 设，，由，结合的结论， 可得 因为、、三点共线，所以，解得，所以． 因为，，可得， 所以， 可知，即．  【解析】根据，利用向量的加法法则进行计算，推导出用向量与表示的式子； 设，根据将用表示出来，利用三点共线列式算出的值，进而求出和的值． 本题主要考查平面向量基本定理及其应用、向量的线性运算法则等知识，属于中档题． 19.【答案】  存在，  【解析】解：，解得， ，又，则， 或，； 存在， 由题可得：集合是集合的真子集， 又，， 故，满足且等号不同时成立，解得， 综上，存在． 解分式不等式，再根据交补运算即可； 将问题转化为集合是集合的真子集，即可列不等式求解． 本题主要考查集合的基本运算，考查充分必要条件的判断，属于基础题． 20.【答案】，，在上单调递增，证明如下： ，任取，，且， 故， 因为，，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增      【解析】解：由题意定义在上的奇函数，且， 可得，即，故，， 将代入可得，解得， 在上单调递增，证明如下： ，任取，，且， 故， 因为，，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增； 由可知为定义在上的奇函数， ， 又在上单调递增，故，解得， 故不等式的解集为； 令， 对，恒成立， 故只需， 其中在上单调递增，故， 若，则，满足； 若，在上单调递减， 故，故，解得或舍去； 若，在上单调递增， 故，故，解得或舍去； 综上，的取值范围是． 根据奇偶性得到方程，求出，由得到，并用定义法得到在上单调递增； 由函数奇偶性和单调性，结合定义域得到不等式组，求出不等式的解集； 令，只需，求出，分类讨论得到，从而得到不等式，求出答案． 本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，不等式恒成立问题，是中档题． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $