精品解析：2026年辽宁省鞍山市立山区九年级三月限时作业训练数学试题

九年级三月份限时作业训练 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若一元二次方程的两个实数根是，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 下列图形旋转后可以与原图形重合的是（ ） A 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形 3. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年3月份，我国自主研发的一款软件一经发布，便受到广泛关注．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了280万次．假设该软件这三天的下载量日平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C D. 6. 如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　） A. x＜﹣2或x＞2 B. ﹣2＜x＜2 C. ﹣2＜x＜0或x＞2 D. x＜﹣2或0＜x＜2 7. 如图，小明受抛物线图象启发，在平面直角坐标系中设计了一款杯体高为7的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径长为（ ） A. B. 7 C. D. 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，过作的平行线交于，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数图像平行于轴 B. 若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C. 若，则函数图像开口向上，对称轴轴右侧 D. 若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 10. 圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为______． 12. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 13. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号） 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），OA绕点O逆时针旋转60°得到OB，连接AB，双曲线y＝（x＞0）分别与AB，OB交于点C，D（C，D不与点B重合）．若CD⊥OB，则k的值为______________． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，其中与成反比例，，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值． x … 0 2 3 4 5 6 … y … m n … （1）求函数y与x函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格： ， ； （3）若时，直接写出自变量x的取值范围 ． 18. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀． （1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________； （2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率． 19. 年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：） 20. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 21. 【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： （1）求出与的函数关系； （2）求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ （3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 22. 探究矩形的折叠问题： （1）正方形中，E，F分别是边上的点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，与边交于点G． ①如图1，，分别与边交于点H，N，若，求的长； ②如图2，若点恰好落在边上，且，求的周长； （2）如图3，矩形中，点E是边上一点，连接，将沿折叠后并展开，点A的对应点恰好落在边上，F为边上一点，连接，将四边形沿折叠后得到四边形．若点恰好落在边上，与相交于点G，且，，求的值． 23. 如图1，已知抛物线与交于点，． （1）求a，b，c的值并直接写出直线的解析式； （2）已知函数的图象上有两点，，且，设经过P，Q两点的直线解析式为，求k的取值范围； （3）如图2，已知的图象上有两点，，且． ①求证：； ②若直线与交于点C，D（C在D的左侧），当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级三月份限时作业训练 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若一元二次方程的两个实数根是，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根是，， ∴． 2. 下列图形旋转后可以与原图形重合的是（ ） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 3. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一已知概率求数量，解分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为，再由概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近， ∴摸出黑球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 4. 一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． 左侧看到有两列，左列有2层，右列有3层． 【详解】解：从左面看是从左往右看，有两列，左列有2层，右列有3层， 即． 故选：D． 5. 2025年3月份，我国自主研发的一款软件一经发布，便受到广泛关注．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了280万次．假设该软件这三天的下载量日平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据日平均增长率x，分别计算三天的下载量：首日50万次，第二天万次，第三天万次，三天总和等于280万次，进行作答即可． 【详解】解：∵首日下载量：50万次， ∴第二天下载量：万次， 第三天下载量：万次， ∴三天累计下载量：万次． 6. 如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　） A. x＜﹣2或x＞2 B. ﹣2＜x＜2 C. ﹣2＜x＜0或x＞2 D. x＜﹣2或0＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征求得B（2，m），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论． 【详解】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点， ∴B（2，m）， ∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 7. 如图，小明受抛物线图象启发，在平面直角坐标系中设计了一款杯体高为7的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径长为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据得出点B的坐标为，再结合，得出，则，解出，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 ∴当时，则， 即点B的坐标为 ∵ ∴ 则把代入 得出 解得 ∴ 故选：B． 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，过作的平行线交于，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图知道是角平分线，再由平行得到等腰三角形和三角形相似，利用相似的性质求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，故A正确． 9. 已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数图像平行于轴 B. 若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C. 若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D. 若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等． 【详解】函数为 ， 对于：当时，，为常数函数，图像平行于x轴，不平行于y轴，错误； 对于：当时，，过原点，但斜率，图像经过第二、四象限，不经过第一、三象限，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴左侧，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴右侧，正确． 故选． 10. 圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正余弦定理的应用，等腰三角形的性质，先根据题意得出顶角，再由等腰三角形性质可知，表示出，通过周长近似即可求解． 【详解】解：如图：圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形，其顶角，过点O作，垂足为C， 设， ， ， 在中，， ， ∴由“割圆术”可得圆周率的近似值， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积计算，根据圆锥侧面展开面积公式进行计算即可，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开面积公式，其中表示圆锥的底面半径，表示母线长． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴它的侧面展开图扇形的面积为， 故答案为：． 12. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 【答案】2 【解析】 【分析】设这个数为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个数为x，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 即给出的答案是2． 13. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案． 【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°， ∴∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠BAC， ∴BC=AC=4， 在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），OA绕点O逆时针旋转60°得到OB，连接AB，双曲线y＝（x＞0）分别与AB，OB交于点C，D（C，D不与点B重合）．若CD⊥OB，则k的值为______________． 【答案】9 【解析】 【分析】如图，作DE⊥x轴于点E，作CF⊥x轴于点F，设OE＝a，由等边三角形性质及三角函数可表示出点D坐标（a，）、点C坐标（15﹣2a，），因为点D、C在反比例函数图象上，故根据k＝xy建立方程求解满足要求的值，然后得到D点坐标，代入k＝xy中计算求解即可． 【详解】解：如图，作DE⊥x轴于点E，作CF⊥x轴于点F 由题意知△OAB为等边三角形 ∴∠BOA＝∠B＝∠BAO＝60° 设OE＝a，则DE＝，OD＝2a ∴D（a，），BD＝10﹣2a ∴BC＝＝2×（10﹣2a）＝20﹣4a ∴AC＝10﹣（20﹣4a）＝4a﹣10 ∴FA＝AC•cos60°＝（4a﹣10）＝2a﹣5，CF＝AC•sin60°＝ ∴OF＝AO﹣FA＝10﹣2a+5＝15﹣2a ∴C（15﹣2a，） ∵点D、C在反比例函数图象上 ∴ 解得：a1＝3，a2＝5（不合题意，舍去） ∴a＝3，D（3，） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，三角函数值，等边三角形，旋转的性质．解题的关键在于表示出两点坐标． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，由旋转的性质可知，，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：设，则， 由旋转的性质可知，，， ①当时，是等腰三角形，则， 在中，， ， ， 解得； ②当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得（负值舍去）， ③当时，过点E作于点F，如图 ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 即， 解得，不符合题意，舍去； 综上可知，的长为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，然后先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，最后进行实数的混合运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，其中与成反比例，，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值． x … 0 2 3 4 5 6 … y … m n … （1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格： ， ； （3）若时，直接写出自变量x的取值范围 ． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数关系式、函数自变量的取值范围，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由与成反比例，从而可设，故，再结合表格数据可得，求出k，b后即可判断得解； （2）依据题意，由（1），从而当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，令，从而，故，从而当时，结合表格数据可得，或，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，∵与成反比例， ∴可设． ∴． 结合表格数据可得，． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）， ∴当时，； 当时，． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：由题意，令， ∴． ∴． ∴当时，结合表格数据可得，或． 故答案为：或． 18. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀． （1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________； （2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种， ∴两张卡片上的数字是2和3的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键． 19. 年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：） 【答案】火箭从A到B处的平均速度为335米/秒． 【解析】 【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=2000，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000-460，进而解得x的值． 【详解】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知： AB=3x， 在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000， ∴AO=2000， ∴DO=2000， ∵CD=460， ∴OC=OD-CD=2000-460， 在Rt△BOC中，∠BCO=45°， ∴BO=OC， ∵OB=OA+AB=2000+3x， ∴2000+3x=2000-460， 解得x≈335（米/秒）． 答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 20. 如图，以边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键， （1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， 又，， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接、， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 21. 【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： （1）求出与的函数关系； （2）求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ （3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 【答案】（1） （2）当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是 （3）小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的宽为：， 则； 【小问2详解】 解：由（1）得，； ∵，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是； 【小问3详解】 解：能． 设长方形长为，则宽为， 则， ， 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为． 22. 探究矩形的折叠问题： （1）正方形中，E，F分别是边上的点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，与边交于点G． ①如图1，，分别与边交于点H，N，若，求的长； ②如图2，若点恰好落在边上，且，求的周长； （2）如图3，矩形中，点E是边上一点，连接，将沿折叠后并展开，点A的对应点恰好落在边上，F为边上一点，连接，将四边形沿折叠后得到四边形．若点恰好落在边上，与相交于点G，且，，求的值． 【答案】（1）①1；②8 （2） 【解析】 【分析】（1）①由翻折的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解； ②连接，过点作于点，根据正方形的性质以及翻折的性质得出相等的角和边，证明，得出，再证明，得出，最后利用等量代换即可求解； （2）连接，过点作，交于点，根据翻折的性质得出四边形是矩形，得出相等的边和角，证明，得出相关线段的长度，证明，得出，利用勾股定理求出，再证明，最后利用对应边成比例进行求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形为正方形， ∴， 由翻折的性质得，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 由翻折的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长为： ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折的性质可得，四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折的性质得， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图1，已知抛物线与交于点，． （1）求a，b，c的值并直接写出直线的解析式； （2）已知函数的图象上有两点，，且，设经过P，Q两点的直线解析式为，求k的取值范围； （3）如图2，已知的图象上有两点，，且． ①求证：； ②若直线与交于点C，D（C在D的左侧），当时，直接写出t的值． 【答案】（1）， （2） （3）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式和一次函数解析式即可； （2）先根据题意得出，得出P点坐标为， ，把P、Q两点的坐标代入得：求出，即可得出答案； （3）①先求出，，设直线的解析式为：，代入M、N的坐标，得出，求出直线的解析式为：，得出答案即可； ②求出，根据，得出，令，根据根与系数的关系得出，，根据，得出，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与交于点，， ∴， 解得：， 设直线的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴点P在抛物线，点Q在抛物线上， ∴P点坐标为，点Q的坐标为，即， 把P、Q两点的坐标代入得： ， 解得：， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①∵的图象上有两点，， ∴，， 即，， 设直线的解析式为：，把，，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线的解析式为， ∴； ②∵的图象上有两点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与交于点C，D， ∴令， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $