辽宁省鞍山市立山区2025年九年级数学中考二模试卷

九年级三月份限时作业训练数学参考答案及评分细则 （※若有其他正确解法或证法，请参照此标准赋分） 一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 3分，共 30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C D B A B D 二、填空题（本题包括 5小题，每小题 3分，共 15 分） 11. x1 = 0, 𝑥2 = 2 12. √7 13.2√5 − 2 14. 2 15. 40º 三、解答题（本题包括 8小题，共 75分） 16.（10分） （1）原式= √2 . ………………………………5分 （2）原式=2 . ………………………………10分 17.（8分） （1）解：设甲种读本每本 x元，乙种读本每本 y元. 根据题意，得{ 25𝑥 + 45𝑦 = 650 40𝑥 + 30𝑦 = 620 , ………………………………3分 解这个方程组，得{ 𝑥 = 8 𝑦 = 10 . 答：甲种读本每本 8 元，乙种读本每本 10元. ………………………………5分 （2）解：设学校购买乙种读本 m本，则购买甲种读本 3m本. 根据题意，得8 × 3m + 10m ≤ 680 , ………………………………6分 解这个不等式，得m ≤ 20 . 答：学校最多能购买乙种读本 20本. ………………………………8分 18.（8分） 解：（1） 50 ， ………………………………1分 20 ÷ 40% = 50（名），50 × 20% = 10（名）. 补全条形图（略）. ………………………………3分 （2） 108 . ………………………………5分 （3）600 × 20+15+10 50 = 540（名）. 答：估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于 3 小时的人数大约为 540人． ………………………………8分 19.（8分） 解：（1）y = 120 − 10(x − 48) = −10x + 600. ………………………………3分 （2）w = (x − 40)y = (x − 40)(−10x + 600) = −10𝑥2 + 1000𝑥 − 24000 = −10(𝑥 − 50)2 + 1000. ………………………………6 分 ∵a = −10 < 0,且 x ≥ 48， ∴当 x=50时，w有最大值，w 最大=1000. ………………………………7 分 答：当每箱售价定为 50元时，每天销售的利润最大，最大利润是 1000 元. ………………………………8 分 20.（8分） 解：（1）如答图，过点 D作 DE⊥AB，垂足为 E. 由题意知，AB=7km, ∠DAE=45º，∠BDE=37º，∠C=63º，∠CAB=90º. ∵∠ADE=90º-∠DAE=45º=∠DAE, ∴DE=AE. ………………………………1 分 在 Rt△BDE中， 𝐵𝐸 𝐷𝐸 = tan∠BDE = tan37º, ∴ 𝐵𝐸 𝐷𝐸 = 7−𝐴𝐸 𝐴𝐸 ≈ 0.75, 解得 AE=4. ……………………2 分 ∴AD = √𝐴𝐸2 + 𝐷𝐸2 = √2𝐴𝐸 = 4√2 ≈ 5.6(km). 答：AD的长度约为 5.6km. ………………………………3 分 （2）在 Rt△BDE中， BD = √𝐵𝐸2 + 𝐷𝐸2 = √(7 − 4)2 + 42 = 5, ∴线路 2的路线长为 AD+BD=5.6+5=10.6(km). ………………………………4 分 在 Rt△ABC中， AC = 𝐴𝐵 𝑡𝑎𝑛∠𝐶 = 7 𝑡𝑎𝑛63° ≈ 7 2 = 3.5, BC = 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛∠𝐶 = 7 𝑠𝑖𝑛63° ≈ 7 0.89 ≈ 7.9, ∴线路 1的路线长为 AC+BC=3.5+7.9=11.4(km). ………………………………7 分 ∵10.6km<11.4km, ∴线路 2更短. ………………………………8 分 21.（8分） （1）证明：如答图，连接 OD. ∵EF⊥AC, ∴∠AEF=90º. ………………………………1 分 ∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC. ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD. ∴∠C=∠ODB, ∴OD∥AC, ………………………………2 分 ∴∠ODF=∠AEF=90º,即 OD⊥EF. ………………………………3 分 ∵OD为⊙O的半径， ∴EF与⊙O相切. ………………………………4 分 （2）∵DB=BF, ∴∠BDF=∠F. ∵∠ODF=90º, ∴∠BDO+∠BDF=90º, ∠BOD+∠F=90º, ∴∠BDO=∠BOD, ∴BO=BD=5. ∵OD=OB=BD, G E F D O A BC 答图 E D B A C 答图 ∴∠BOD=∠BDO=∠OBD=60º. ………………………………5 分 ∴𝑆扇形𝐵𝑂𝐷 = 60𝜋×52 360 = 25𝜋 6 . ………………………………6 分 ∵DF = √𝑂𝐹2 − 𝑂𝐷2 = √(5 + 5)2 − 52 = 5√3, ∴𝑆△ODF = 1 2 𝑂𝐷 ∙ 𝐷𝐹 = 1 2 × 5 × 5√3 = 25√3 2 . ………………………………7 分 ∴S阴影 = 𝑆△ODF − 𝑆扇形𝐵𝑂𝐷 = 25√3 2 − 25𝜋 6 . ………………………………8 分 22.（12分） （1） 正方形 . ………………………………1 分 （2）AE=EM. ………………………………2 分 证明：如答图 1，连接 EG. ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠C=90º, AB∥CD. 由折叠，得△BFE≌△BCE, ∴∠BFE=∠C=90º, ∠FBE=∠CBE=45º, FE=CE. ∵∠AFE=180º-∠BFE=90º=∠C, AF=CG, FE=CE, ∴△AFE≌△GCE. ………………………………3 分 ∴∠AEF=∠GEC, EA=EG. ∵∠AEG=∠AEF+∠FEG=∠GEC+∠FEG=∠CEF=∠AFE=90º, ∴∠EAG=∠EGA=45º. ………………………………4 分 ∵AM平分∠BAG, ∴∠BAM=∠GAM. 又∠EAM=∠EAG+∠GAM, ∠EMA=∠EBA+∠BAM, ∠EAG=∠EBA=45º, ∴∠EAM=∠EMA, ∴AE=EM. ………………………………5 分 （3）①证明：如答图 2,过点 M作 MH⊥AB于点 H,作 MP⊥EF于点 P,过点 E作 EQ⊥AG于点 Q. ∵∠MHF=∠HFP=∠MPF=90º, ∴四边形 MHFP是矩形， ∴PF=MH, PM∥FH, ∴∠PME=∠ABE=∠QAE=45º. 又∠MPE=∠AQE=90º, ME=AE, ∴△MPE≌△AQE, ∴PE=QE. ………………………………7 分 ∵AE=GE, ∠AEG=90º, EQ⊥AG, ∴AG=2QE=2PE. ∵∠BEC=∠CBE=45º, ∴BC=CE=EF. ∵AM平分∠BAG, MN⊥AG, MH⊥AB, M F E B CD A G 答图 1 H P Q N M F E B CD A G 答图 2 ∴MN=MH=PF. ………………………………9 分 ∴BC-MN=EF-PF=PE= 1 2 AG, ∴ 𝐴𝐺 𝐵𝐶−𝑀𝑁 = 𝐴𝐺 1 2 𝐴𝐺 = 2. ………………………………10 分 ②S=961. ………………………………12 分 23.（13分） （1） y = 𝑥2 . ………………………………1 分 （2）点 A的坐标是(−√3, 3)，点 B的坐标是(√3, 3). ………………………………4 分 （3）解：如答图 1，过点 A作 AC⊥x轴于点 C，过点 B作 BD⊥x轴于点 D. 设点A(𝑥1, 𝑥1 2), 点B(𝑥2, 𝑥2 2), ∵∠AOB=∠ACO=∠ODB=90º, ∴∠AOC+∠BOD=90º, ∠AOC+∠OAC=90º, ∴∠OAC=∠BOD, ∴△AOC∽△OBD. ………………………………5 分 ∴ 𝑂𝐶 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 𝑂𝐷 , 即 OC·OD=BD·AC, ∴−𝑥1𝑥2 = 𝑥1 2𝑥2 2, 解得𝑥1𝑥2 = −1 或𝑥1𝑥2 = 0（舍去）. ……………………6 分 设直线 AB的解析式为y = kx + m(k ≠ 0). 由{ 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 𝑦 = 𝑥2 , 得𝑥2 − kx − m = 0. ∵𝑥1𝑥2 = −𝑚 = −1, ∴m=1. ∵当 x=0时，y=m=1, ∴点 P的坐标是（0，1）. ………………………………8 分 （4）①如答图 2，设抛物线的对称轴交 AB于点 D. 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得 AD=BD, CD⊥AB, ∠DCB=∠DCA=45º, ∴CD=BD=AD=a. ………………………………9 分 ∵对称轴为x = − 𝑏 2 , ∴点 B的坐标为（− 𝑏 2 + 𝑎, 0)，点 C的坐标为（− 𝑏 2 ， − 𝑎), 将点 B, C的坐标分别代入y = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐， 得 { 0 = (− 𝑏 2 + 𝑎) 2 + 𝑏 (− 𝑏 2 + 𝑎) + 𝑐 −𝑎 = (− 𝑏 2 ) 2 + 𝑏 (− 𝑏 2 ) + 𝑐 ,解得 a=1或 a=0(舍去). ………………10 分 ∴AB=2a=2, CD=1. ∴𝑆△ABC = 1 2 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷 = 1 2 × 2 × 1 = 1. ………………………………11 分 ②c > 0 或 − 1 < c < 0. ………………………………13 分 x y y = x2 C D P B O A 答图 1 x y C D BA O 答图 2