精品解析：河南周口市沈丘县中英文等校2025-2026学年第二学期阶段测评试卷（1）九年级数学

河南省周口市沈丘县中英文等校2025-2026学年 第二学期阶段测评试卷（1） 九年级数学 注意事项： 1．此试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 先求出，再根据结果可得答案. 【详解】解：一元二次方程中， ∴这个一元二次方程有两个相等的实数根. 故选：A. 3. 如图，在ΔABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=3，则BC的长是：( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ABC∽△ADE（AAA）， ∴ 又∵AD：DB=1：2，DE=3， ∴ ∴BC＝9； 故选C． 4. 某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每天利润等于单件利润乘以销售量列方程即可. 【详解】解：∵单件利润： 销售量： ∴ 故选：A ． 5. 如图，点、、在上，若的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵∠AOB的度数为80°， ∴∠ACB＝∠AOB＝40°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：A． 7. 小明同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为，求旗杆的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：）（ ） A. 19.8米 B. 18.9米 C. 19.5米 D. 18.5米 【答案】B 【解析】 【分析】如图，延长交于点G，首先得到米，米，然后解直角三角形得到，，然后在中解直角三角形求出米，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， 根据题意得，，，， ∴四边形，是矩形 ∴米，米， ∴在中， ∴ ∴在中， ∴ ∴米 ∴（米）． 8. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质结合勾股定理求出的长，再根据折叠的性质求出、、，最后设，结合根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵沿折叠得， ∴，，， ∴， 设，即， ∵在中，，，，， ∴， 即， 解得：． ∴的长为． 9. 已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 10. 如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，涉及扇形面积公式，直角三角形锐角互余的性质，勾股定理等知识点．利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以为圆心，长为半径画弧， ∴扇形和扇形的半径相同，均为， ∴两个扇形的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 13. 如图，的半径为5，弦的长为8，点C是的中点，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据垂径定理得出，是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一得出，确定，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中， ． 14. 某小区规划在一块长为20米，宽为12米的矩形空地上修建两条宽度相同的互相垂直的道路，剩余部分种植花草，使种植花草的面积为216平方米．设道路的宽度为x米，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将两条互相垂直的道路平移到矩形空地的边缘，剩余种植花草的部分可拼接为一个新的矩形，确定新矩形的长和宽后，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽度为x米，将道路平移后，剩余花草区域为矩形，该矩形的长为米，宽为米， 由矩形面积公式，结合种植花草的面积为平方米，可得方程：． 15. 如图在中，，，D为的中点，于点E，，则的长为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形和含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先用完全平方公式化简，再化简其他二次根式，最后加减即可； （2）先将方程变形为一元二次方程的一般形式，再根据因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）画出绕原点顺时针旋转后的，并写出点、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求， ∴  （2） 如图所示， 即为所求， ∴ ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形；进而写出点的坐标； （2）根据旋转的性质即可画出绕O顺时针旋转后的图形，进而写出点的坐标； （3）用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：. 18. 某商店销售一种文具，每件进价为5元，售价为8元时，每天可销售100件．为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．经市场调查发现，如果每件文具降价1元，每天可多销售100件． （1）设每件文具降价x元，每天的利润为y元，求y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）每件文具降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件文具降价1元时，每天的利润最大，最大利润是400元 【解析】 【分析】（1）根据总利润每件利润销售数量，列出y与x的函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为400， ∴每件文具降价1元时，每天的利润最大，最大利润是400元． 19. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据等边对等角及角平分线的定义得，，进一步推出，继而得到，即可得证； （2）证明得，代入数据计算可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 20. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，将沿折叠，使点B落在F处，连接． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：由折叠得，； （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质求解； （2）由折叠得，，，然后结合平行线的性质得到，推出，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠得，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 【答案】（1） （2）最小值为 【解析】 【分析】（1）利用抛物线经过的两个点的坐标，代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到函数表达式； （2）根据题意得出对称轴为，确定，再由对称性求周长即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线过，代入得： ， 解得， 故； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为， A与B关于对称轴对称， ∴， ∴周长最小值 由（1）得， ∴， ∴的最小值为 22. 如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一动点，连结，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），过点A作，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）设，，求y关于x的函数关系式； （4）线段长度的最小值为_________． 【答案】（1） 证明： ∵ D是边的中点， ∵ 在 和 中， ； （2） 证明： 如图， 连接． ∵， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ； （3） （4）5 【解析】 【分析】（1）由D是中点知，结合，即可得证； （2）连接．由（1）得，得到，根据可证明即可证明； （3）由，推出，推出，可得，，根据，可得，由此即可解决问题． （4）当时，取得最小值，由，知此时四边形是矩形，从而得，此时也取得最小值，当、取得最小值时，斜边取得最小值，可得，由（3）知，当时，，即，继而可得的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ∵D是中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ， 又点在边上，且点F与点B、C不重合，， ∴，即， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； 【小问4详解】 解： 当时，取得最小值， ∵， ∴此时四边形是矩形，则即， ∴此时也取得最小值，， ∴当取得最小值时，斜边取得最小值， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 由（3）知，当时，，即， ， 故线段的最小值为5． 23. 【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：． 【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点在边上，点、分别在边、上，且，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点、分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：设、相交于点G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）； （3）解：，理由如下： 过点E作交于点K，过点N作交于点L， 四边形是平行四边形， ，， 四边形、是平行四边形，    ，， ， 若， 则， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，推出，即可证明结论； （2）过点N作于点P，、相交于点H，先证明，得到，再证明四边形是矩形，得到，即可得到答案； （3）过点E作交于点K，过点N作交于点L，先根据平行四边形的判定和性质得到，若，则，得到，再利用平行线的性质，即可得到与之间的数量关系． 【详解】（1） 略 （2）解：过点N作于点P，、相交于点H， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； （3） 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省周口市沈丘县中英文等校2025-2026学年 第二学期阶段测评试卷（1） 九年级数学 注意事项： 1．此试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 3. 如图，在ΔABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=3，则BC的长是：( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 4. 某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、、在上，若的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 7. 小明同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为，求旗杆的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：）（ ） A. 19.8米 B. 18.9米 C. 19.5米 D. 18.5米 8. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 12. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 如图，的半径为5，弦的长为8，点C是的中点，则的长为_________． 14. 某小区规划在一块长为20米，宽为12米的矩形空地上修建两条宽度相同的互相垂直的道路，剩余部分种植花草，使种植花草的面积为216平方米．设道路的宽度为x米，则可列方程为_________． 15. 如图在中，，，D为的中点，于点E，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）画出绕原点顺时针旋转后的，并写出点、、的坐标； （3）求的面积． 18. 某商店销售一种文具，每件进价为5元，售价为8元时，每天可销售100件．为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．经市场调查发现，如果每件文具降价1元，每天可多销售100件． （1）设每件文具降价x元，每天的利润为y元，求y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）每件文具降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 19. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 20. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，将沿折叠，使点B落在F处，连接． （1）求证：； （2）当时，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 22. 如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一动点，连结，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），过点A作，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）设，，求y关于x的函数关系式； （4）线段长度的最小值为_________． 23. 【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：． 【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点在边上，点、分别在边、上，且，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点、分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $