2026年九年级数学中考复习二次函数与特殊四边形问题综合压轴题解答题专题训练

2026年九年级数学中考复习 二次函数与特殊四边形问题综合压轴题解答题专题训练 1．如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过、B两点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直于轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)在（2）的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，两点，直线交y轴于点C，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，分别交直线、于点E、F． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，连接，求的面积； (3)①H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足，求周长的最小值． 3．如图1，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点P为线段上不与端点重合的一个动点，过点P作轴，垂足为E，交抛物线于点D，已知点A、B的坐标分别为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在点P的移动过程中，若射线平分，求的长； (3)若点M为线段上一点，请问在坐标系内是否存在点N，使得以O、C、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标． 5．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 7．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 8．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 9．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 10．如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上，点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，并判断四边形能否为平行四边形，并说明理由； (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 15．如图，直线交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线，垂足为N，直线交y轴于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若，当m为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点E，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年九年级数学中考复习二次函数与特殊四边形问题综合压轴题解答题专题训练》参考答案 1．(1) (2)当时，有最大值，最大值为4 (3)或或 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）用含t的式子表示出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据（2）所求可求出点M和点N的坐标，再分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵抛物线过、B两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4； （3）解：由（2）可知，当时，， ∴． 设， 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 2．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，得出，进而求得，则，根据三角形面积公式即可求解； （3）①过点作于，证明，得出，，进而直线的解析式为，由得到，，，，根据即可求解； ②勾股定理求得，要使得的周长最小，只要的值最小，当点在上时，的值最小，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵，， ，， 轴，轴， 在和中， ， 即， ， ， 当时，， ∴，即， ， ． （3）解：①如图中，过点作于， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ∵，， 设的解析式为，则 解得：， 直线的解析式为， 设，， 由得到，， ， ∴，， ， ， ， ， ∴． ②如图中，， ， 的周长， 要使得的周长最小，只要的值最小， ， 当点在上时，的值最小， ， 的周长的最小值为． 3．(1) (2) (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）把点A、B的坐标分别为，代入列方程计算即可； （2）先求出直线解析式为，设，根据轴和角平分线可得，则，据此列方程求解即可； （3）设，，根据与是菱形的边或对角线分情况讨论，根据菱形的边长相等，再结合距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点A、B的坐标分别为，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接， 交y轴于， ∴设直线解析式为，， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 设， ∵点P为线段上不与端点重合的一个动点，过点P作轴，垂足为E，交抛物线于点D， ∴，，轴，， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，与重合，不合题意； 当时，，此时； （3）解：设，， 当与是菱形的边时，菱形如图： ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴向上平移3个单位长度得到； 当是菱形的对角线，是菱形的边时，菱形如图 ，过作轴于， ∴，向下平移3个单位长度得到， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当是菱形的对角线，是菱形的边时，菱形如图： ∴与互相垂直平分， ∴与关于轴对称，且与纵坐标为， 即， 解得， ∴，， 综上所述，存在以O、C、M、N为顶点的四边形为菱形，点N的坐标为或或． 4．(1)， (2)、、 (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点和点，即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种对角线情况列方程求解点； （3）根据抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 将解析式配方得顶点式： ∴顶点D的坐标为； （2）存在， 令，则， ∴， 设点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论： 情况1：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 情况2：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 情况3：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 综上，存在满足条件的点，坐标为、、； （3）存在，理由如下： 当时，，所以，， ∴是等腰直角三角形， 以点P、Q、E为顶点的三角形与相似， ∴是等腰直角三角形， 设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 设BC的解析式为，将，代入得， ， 解得，，故BC的解析式为， 把代入得，，则E点坐标为， 如图，当E为直角顶点时，， 解得，，（舍去）， 把代入得，，则P点坐标为， 当Q为直角顶点时，PQ=QE，即， 解得，（舍去）， 把代入得，，则P点坐标为； 当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即， 解得，（舍去），则P点坐标为； 综上，P点坐标为或． 5．(1) (2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 6．(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 7．(1)； (2)面积的最大值为，； (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； （3）解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 8．(1)拋物线解析式为，直线的解析式为 (2) (3)能，点E的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，求出，根据得到，据此可得答案； （3）先求出点B和点D的坐标，根据，得到以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，则；设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴拋物线解析式为；     设直线的解析式为 将点代入，得， ∴ ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点． 设，则， ， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：∵抛物线解析式为 当时，， ， ∵， ∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边， ∴； 设，则， ∴， ∴或， 解方程得或（舍去）， 解方程得或， 当时，， 当时， 当时， 综上，满足条件的点的坐标为或或． 9．(1)，顶点 (2)存在， (3)满足条件的点坐标为或或或 【分析】（1）点和代入解方程组求出a、b的值即抛物线解析式，配方即得顶点坐标； （2）过点作轴的平行线交于点，求出直线的解析式，设点，点，由，建立方程，解方程即得； （3）设点，点,分当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，两种情况解答． 【详解】（1）解（1）∵抛物线经过两点和， ∴， 解得 抛物线的表达式为：， ∵， ∴顶点； （2）解：存在． 理由：设直线的解析式为, 把，代入， 得, 解得， ∴直线， ∵二次函数对称轴为直线， ∴点， 过点作轴的平行线交于点， 设点，点， ， 又， 即， 即，解得：或（舍去）， 故点； （3）设点，点， 当是平行四边形的一条边时， ∵，， 点向左平移个单位向下平移个单位得到， 同理，点向左平移个单位向下平移个单位为，即为点， 即：，， 而， 解得：或， 故点或； 当是平行四边形的对角线时， ∴由中点公式得：，而， 解得：， 故点或； 综上，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，二次函数与平行四边形综合，分类讨论，是解题的关键． 10．(1) (2)四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】本题考查求二次函数表达式，平行四边形的判定； （1）将代入求出b即可； （2）作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，．由点在上，可知，，得，，当时，，得，然后证明，即可得解． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， 解得， ∴ （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， 作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，． ∵点在上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是 平行四边形． 11．(1)顶点为， (2)m的值是1或3 (3)或 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，， 解得，，， ∴， ； （2）解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3； （3）解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为， 当时，，解得：，（舍去） ； ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 12．(1)； (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与平行四边形综合，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标相同，但是开口方向与原抛物线相反，据此可设抛物线的表达式为，再根据“子抛物线”的定义和抛物线经过原点求出抛物线的解析式，进而求出点E的坐标，再求出抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线解析式，证明点E在抛物线，且抛物线能由抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线平移得到即可证明结论；②根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为； （2）解：①将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线的表达式为 ∵抛物线是的“子抛物线”， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线， ∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， 解得． 13．(1) (2)四边形的最大面积为，此时 (3)存在，F点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，中点坐标，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 利用两点式求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，，则四边形的面积的面积的面积，然后利用二次函数的性质，求得答案； 设，，根据对角线分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴不妨设， 将点代入，得， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为，代入，， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∵，， ∴， 四边形的面积的面积的面积， ∵， 当时，四边形的最大面积为，此时； （3）解：存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴、的中点为， 不妨设， 设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图所示： 连接, ∵四边形是平行四边形， ∴、的中点为， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述：F点坐标为或或． 14．(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，即，然后证明，即可得出结论； （3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：四边形不能为平行四边形，理由如下： 如图1，作交抛物线于点，垂足为点，连接，． ∵点在上， ∴，． 连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ∴． ∵点， ∴． ∵轴，轴， ∴，而， ∴四边形不可能是平行四边形； （3）解：如图2，由题意得，连接，在上方作，使得，． ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． ∵， ∴， 即的最小值为． 15．(1) (2)当m为时，四边形是平行四边形 (3)存在，m的值为或 【分析】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）根据，分E在内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，； 当时，， 点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意，， ， 当四边形是平行四边形时，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得：， 直线的解析式为， 又过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为， ， ， 解得（不合题意，舍去），； 当m为时，四边形是平行四边形； （3）解：存在，理由如下： 对称轴为， 设P点坐标为， 点横坐标为：， ， ①如图1，点E在上， ，即E是的中点， ， 又点E在直线上，代入得，， 解得：或（舍去）， 故此时m的值为； ②如图2，点E在的延长线上，设E点坐标为， ，， ①， ②， 联立①②得，， 解得：（舍去）或， 综上所述，m的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $