2026年九年级数学中考复习二次函数与特殊三角形问题综合压轴题解答题专题训练

2026年九年级数学中考复习 二次函数与特殊三角形问题综合压轴题解答题专题训练 1．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于两点、与轴交于点，这条抛物线的顶点为． (1)求这条抛物线的解析式； (2)为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点B、M重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的抛物线与x轴交于点A，抛物线的顶点为D，对称轴交直线于点H，点E为线段上动点，点F在上，连接，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是等腰三角形，求E点坐标； (3)点P是坐标平面内一点，当时，请直接写出的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 7．已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 9．已知：如图一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为． (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 12．如图，已知抛物线经过原点，与轴交于另一点，它的对称轴与轴交于点C，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点，． (1)求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成的形式； (2)求证：； (3)在对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标，并求出的面积；如果不存在，请说明理由． 13．小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 15．综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年九年级数学中考复习二次函数与特殊三角形问题综合压轴题解答题专题训练》参考答案 1．(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 2．(1) (2) (3)在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 【分析】（1）把，代入，求出，的值，即可求出二次函数的解析式． （2）由于四边形不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形和直角梯形两部分进行计算．先求出直线的解析式，然后将代入直线的解析式中即可求出的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形的面积．然后根据四边形的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式． （3）可分三种情况进行讨论：①；②；③．可根据直线的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由知，顶点， 令，得 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 所以，直线的解析式为 ∵当时，； ； 即 （3）解：存在． 点N在上，设N点坐标为， 则， 或 为等腰三角形，有以下三种可能： ①若，则 解得（舍去）． 则． ②若，则 解得． 舍去． ③若，则 解得 综上所述，在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 3．(1) (2)或或． (3)8或12 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）求出，再将代入即可求得抛物线解析式； （2）设，分三种情况讨论：①当时，过点E作轴交于点G，在上截取，得到，可求；②当时，，可求；③当时，，可求； （3）设，由，可得，则有，能求出或，即可求的面积为8或12． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴． （2）解：设， ①当时，过点E作轴交于点G，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得∶， ∴； 综上所述：E点坐标为或或． （3）解：∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴或， ∴的面积为8或12． 4．(1) (2)的面积取得最大值为 (3)点的坐标为：，， 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点坐标，过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示，表示的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点坐标，分三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得， 二次函数的解析式为：y； （2）解：由、， 设， 则， 解得， 所在直线解析式为， 过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示： 设，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值为； （3）解：的对称轴为直线， 设，又、， 则，， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数解析式、二次函数中求三角形面积、等腰三角形性质、两点之间距离求法等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的求解方法是解决问题的关键． 5．(1) (2)是直角三角形，理由见详解 (3)存在，或或 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再把点和点分别代入列式计算，即可作答． （2）先求出顶点的坐标为，根据得出，即可得出是直角三角形，即可作答． （3）根据平行线之间距离处处相等，以及一次函数的图象性质，平移性质，列出方程组，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及勾股逆定理，二次函数与面积综合，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 7．(1) (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式求出点D的坐标，则可证明，据此可得结论； （3）连接，可证明当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出直线解析式，即可求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，且点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； ∵，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵的长为定值， ∴当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 8．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 9．(1)， (2)或 【分析】（1）将代入，求出，然后将，的坐标代入求解即可； （2）假设存在符合条件的P点，连接、，过C作轴于F，若，则，可设出点P的坐标，分别表示出、的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，可得， ∴， 将，的坐标代入， 得：， 解得， ∴解析式为：； （2）解：设符合条件的点P存在，令， 如图所示，当P为直角顶点时，连接、，过C作轴于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得或， ∴所求的点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数综合，待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【分析】（1）把点和代入抛物线解析式中，解方程组即可得解； （2）根据抛物线的解析式可知点的坐标，从而利用待定系数法求出直线的解析式，进而可设，则，得到，根据二次函数图象的增减性求出的最大值，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到结论； （3）过点作轴于点，则，可推出，即可得到直线和直线关于直线对称，从而可求得直线的解析式，进而得到点的坐标，设，分别表示出，，，分：当，当，当三种情况讨论，求解出符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：把点和代入抛物线， 得：，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：四边形是平行四边形．理由如下： 抛物线， 当时，， ，， 设直线的解析式为， 把、代入， 得：，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， 有最大值，当时，的最大值为，此时，， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 理由如下：是的中点， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，则， ， ， ， 直线和直线关于直线对称， 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ， 设， ∴， ， ， 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， ； 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， 或； 当，即时，为等腰三角形， 则：，化简得：， ， 方程无解， 即在轴上不存在点，使， 综上所述，在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、 二次函数的图象与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 ． 11．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得 ，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴ ． ∴． 即． 12．(1) (2)证明见解析 (3)存在，当，；当， 【分析】（1）点在直线上，代入可求的值，从而求出点的坐标；已知抛物线的对称轴为，可设顶点式，代入点和点解方程即可； （2）点为直线与直线的交点，联立可求出点的坐标，从而得到的长度；过点作垂直于轴于点，作垂直于直线于点，交轴于点，运用勾股定理可求出、、的长度和等量关系，由等腰三角形底边的中线也是垂线得证； （3）分类讨论，当时，点与点重合，过点作垂直，交延长线于点，可证是底边上的高，从而求出的面积；当时，可知，利用相似三角形对应边成比例求出点的坐标，过点作与轴平行的直线交延长线于点，得到梯形，运用割补法可求的面积． 【详解】（1）解：直线经过点， ，， ， 抛物线与轴交于点和点，且对称轴为， ， 设抛物线的解析式为， 又抛物线与直线交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）证明：点为直线与直线的交点， ， ． 过点作垂直于轴于点，作垂直于直线于点，交轴于点， 点为直线与轴的交点， ，， 同理，， 在、、中，， 同理，， ， ． （3）存在点，使是直角三角形． ①当时，点与点重合，， 过点作垂直于，交延长线于点， ， ， ； ②当时，设，则， 在中，， ， ， 解得， ； 过点作与轴平行的直线交延长线于点，连接 ． 综上，当，；当，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质和三角形的面积等，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质和割补法求三角形的面积是解题的关键． 13．(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可； （2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值； （3）根据题意，设，分三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或． 14．(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点； （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式：． （2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短， 此时， 故； （3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：， 设， 已知， 则：； ①若，则， 得：，解得：， ②若，则， 得：，解得：； ③若，则， 得：，解得：； 当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定、勾股定理、解方程等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 15．(1) (2) (3)存在，，，，， 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由一次函数解析式确定，再由待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）根据题意得出∴，设点P的横坐标为，得出，，，作轴于点，交于点，然后表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出对称轴为， 设，根据等腰三角形的性质及勾股定理分情况求解即可． 【详解】（1）解：直线，当时，， 当时，， 解得， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：对于， 又∵， ∴， ∴， 设点P的横坐标为， ，，， 如图2，作轴于点，交于点，   ， ∴， 即， ∴当时，取得最大值为， ， ∴四边形面积的最大值为：； （3）解：存在， ∵, ∴对称轴为， ∵点G在对称轴上， ∴设， ∵， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为； 综上可得，点G的坐标为，，，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $