2026年 九年级数学中考复习 二次函数与角度问题综合压轴题 解答题专题训练

2026年春九年级数学中考复习《二次函数与角度问题综合压轴题》 解答题专题训练（附答案） 1．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)抛物线与平行于轴的直线交于点、，为等边三角形，求的值． (3)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上，且，求点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； (3)若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 3．抛物线与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线，且为抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为抛物线上第四象限的一动点，若，求点的坐标； (3)过动点作交线段于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求出此时的最大值． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，且点坐标为点坐标为， (1)求抛物线的解析式； (2)若点为直线上方抛物线上的任意一点，连接交直线于点，当最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向左平移2个单位长度，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接，当，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求点其中一个横坐标的过程． 5．如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)当，求点A、B、C的坐标； (2)在（1）的条件下，在第四象限的抛物线上有一点D，且，求点D的坐标； (3)若在第一象限内二次函数的图象上，始终存在一点P，使得．请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 7．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 8．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第三象限内一动点，且，求点坐标； (3)如图2，直线交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点、点，若两点的纵坐标分别为，试探究与之间的数量关系． 9．如图，抛物线（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标； (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，求点到线段距离的最大值，并写出此时点的坐标； (3)在抛物线上找一点，使，求点的坐标； (4)在对称轴上找一点，使最大，直接写出点的坐标； (5)  为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (6)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移4个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，点M的坐标为 ； ②点N是射线上一动点，且满足．在第四象限内过点C作射线，在射线上取一点G，使．连接．求的最小值；（请在备用图中画出草图再求解） (3)点P在抛物线的对称轴上，若，请直接写出点P的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点在轴上方，且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，过点作轴，垂足为点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 12．如图，抛物线与 x 轴交于和两点，与 y 轴交于点 C， 对称轴与 x 轴交于点 E，点 D为顶点，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)点 P 为线段上一点，若，求点 P 的坐标； (3)点 M 为抛物线上一点，作，交直线于点 N，若，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标． 13．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． (1)求这个抛物线的表达式． (2)当与相切时求出点坐标． (3)在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 14．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交直线于点D，点P是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为Q，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点E．点F为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 16．在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在轴上且在点的下方，点在上，，连接，，点为中点，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，，求点的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接、，过点B作交抛物线于点D，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线．点M为直线上一点．将直线绕点M逆时针旋转得到直线，其中，直线与新抛物线交于点N．若，请直接写出所有符合条件的点N坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作于点 轴交于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值： (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种结果的解答过程． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，直线过点B，C． 以下对于此母题，设计若干常见问题，并进行分析． (1)求抛物线与直线的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． (4)若点D为直线下方抛物线上一动点，当点D运动到某一位置时，的面积有最大值，求的最大面积及此时点D的坐标． (5)将直线向下平移k个单位长度后与抛物线只有一个公共点，求k的值和这个公共点的坐标． (6)将原抛物线沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，得到新抛物线，请直接写出新抛物线的解析式． (7)①在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求出此时点P的坐标及的最小值； ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，求出此时点Q的坐标． (8)若N为x轴上的一个动点，M为抛物线上的一个动点，使B，C，N，M四点构成平行四边形，求出点N的坐标． 参考答案 1．（1）解：抛物线 顶点为 ， 令 ，得 ， 故； （2）解：∵直线 交抛物线于两点，则横坐标满足 ， ， 则， 作， ∵ 为等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ； （3）解：∵抛物线对称轴 ， ∴ 关于 的对称点为 ， 作 于 ， ∵关于对称轴对称， ∴为中点，坐标为 ，且， 则， ∵ ， ∴， ∵在抛物线上， ∴设 ， 过 作 ， ，， 则 ∵， ∴ 或 或， 当时， ， 得 ； 当时， ， 得 。 综上所述，或。 2．(1) (2)点的坐标为，该面积的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得一个点的坐标；然后延长至点，使得，连接，先求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得另一个点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得， 所以抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意，设点的坐标为， 如图，过点作轴，交直线于点，则， ∴， 联立，解得或， ∴，， ∴，的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为，该面积的最大值为． （3）解：将代入得：， 解得或， ∴， ∴， 如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点是满足条件的点， 联立，解得（即为点）或， ∴此时点的坐标为； 如图，延长至点，使得，连接， ∴，点是的中点， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点也是满足条件的点， 联立，解得（即为点）或， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 3．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点求出点，运用二次函数的对称性求出点，，再利用待定系数法求解即可； （2）设直线与轴交于点，则，利用正切值相等求出的长度，得到点的坐标，可求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式即可求出点的坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，连接，过点作轴交于点，设点，，可得；由得，从而，是关于的一元二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，， 则点， ∵， ∴点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 则点， 将点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）在中，， 设直线与轴交于点， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点为抛物线上第四象限的一动点， ∴， 解得或（舍去）， ∴， （3）设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 连接，过点作轴交于点， 设点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 4．(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与相似三角形、二次函数与角度的综合、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，如图：过P作轴交于E，过A作轴交于F，则，，则，，，易证，可得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值，即有最大值，再确定点P的坐标即可； （3）如图：过K作新抛物线的对称轴，再求出平移后的函数解析式为，则对称轴为直线、；再说明；然后分点Q在对称轴的左边和右边分别构造等腰三角形确定点Q的位置，然后求出一次函数解析式，再与抛物线的解析式联立即可解答． 【详解】（1）解：将，代入可得： ，解得：， ∴． （2）解：∵与轴交于点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图：过P作轴交于E，过A作轴交于F，则，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值，此时． （3）解：如图：过K作新抛物线的对称轴，交轴于点， ∵， ∴抛物线向左平移两个单位后的解析式为， ∴对称轴为直线，即为对称轴，， ∴和重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点Q在对称轴的左侧时，如图，在y的负半轴取，连接并延长交新抛物线于，即， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）或； ∴点Q的横坐标为． ②当点Q在对称轴的右侧时， ∵，， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：在上取一点D使得，连接交新抛物线于，设， ∴，， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）； ∴点Q的横坐标为． 综上，点Q的横坐标为或． 5．(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 6．(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）代入参数进行求解即可； （2）过点A作的平行线交于点E，通过平行线性质得出，进而得到，用勾股定理计算出的值，利用待定系数法求出直线的解析式，设点E坐标为，通过勾股定理构造方程求解得出点E坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，由于，其k值相等，从而求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式从而求得点D坐标； （3）设交x轴于点Q，先根据已知条件得出点A，B，C的坐标，进而得出，当点P在第一象限时，点Q总是在点B的左侧，此时，即，由得出，进而得到其正切值，即，再利用已知求得m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， ∵二次函数与x轴交A，B两点， ∴，解得，， ∴点A为，B为， 又∵点C为二次函数与y轴交点， ∴当时，， ∴点C为． （2）解：如图，过点A作的平行线交于点E， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 设直线的解析式为，将点B，C分别代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点E在上，则设点E坐标为， ∴，解得（不符题意，舍去），， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为，将点A，E分别代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，且直线过点， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，，解得或， ∴点D坐标为． （3）解：如图，设交x轴于点Q， 对于二次函数， 令，则，解得，， ∵点A在点B左侧，且， ∴，， 令，则， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 当点P在第一象限时，点Q总是在点B的左侧， 此时，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴m的取值范围是． 7．(1) (2)有最大值为，此时； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得， 解得， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （3）解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 8．(1) (2)点 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）由（1）点，点，点，得出，得到，进而得到；作点关于轴的对称点，连接，得到，求出直线的解析式为，从而得到直线的表达式为，联立方程组：，即可求解； （3）设点，，则的解析式为：，，同理，得到，然后联立：，得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，其对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， 点， 令，则， 点， ，，， ， ， ， ， ， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，则，， ， ， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的表达式为：， 将代入得：， 直线的表达式为：， 联立方程组：， 解得：或， 点在第三象限内， 点； （3）解：点、在抛物线上， 设点，， 点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， 的解析式为：， ∴点， 同理，， 联立：， 整理得：， ，， ， ，与之间的数量关系为：． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要涉及二次函数的图像与性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点；综合运用上述知识、数形结合是解题的关键． 9．(1)； (2)； (3) (4) (5) (6)存在；点的坐标为、和 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，根据顶点坐标公式求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，过点作于点，设点，点坐标为，得到直线的解析式，进而得到的最大值，从而得到点的坐标，根据，求出点到线段距离的最大值； （3）过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，易证得，根据全等三角形的性质易得点的坐标，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标； （4）作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，要使最大，点应在直线上，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点的坐标； （5）根据可得点、到的距离相等，分两种情况讨论：①当、在同侧时，，利用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标；②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，利用待定系数法求出平行线的解析式，根据图像发现，此时不存在点； （6）分类讨论：当为平行四边形的对角线时和当且时，根据平行四边形对角线中点坐标相同进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： 解得 则抛物线的解析式为， 对称轴为， 将代入得， 则点的坐标为； （2）解：根据抛物线与轴交于点得，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和点代入得 解得 则直线的解析式为， 过点作轴，交直线于点，过点作于点， 设点，点坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， ， 则点坐标为， 根据点和点得、， 则 由于，轴， 则、， ， 因此，点到线段距离的最大值为，点的坐标为； （3）解：过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，如图： 则、、， ， ， ， 点、， 、， 点的坐标为， 中点的横坐标为、纵坐标为， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 将直线与抛物线联立得： ， 解得或， 由于点， 则点的横坐标为， 将代入得， 因此点的坐标为； （4）解：作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，如图所示： 由（1）知，抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为，即为点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 因此，点的坐标为； （5）解：根据题意得： ， 则点、到的距离相等， 分两种情况： ①当、在同侧时，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线的解析式为， 将直线的解析式与抛物线解析式联立得， ， 解得或（舍去）， 将代入得，， 因此，点的坐标为； ②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，如图： 设过的直线解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线解析式为， 由图像发现，此时过点的直线与抛物线没有交点， 则点不存在， 综上所述，点的坐标为； （6）解：存在点，点坐标为、和； 理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为，对称轴为， 设点，， 当为平行四边形的对角线时， 根据题意得：， 解得， 当时，， 则点的坐标为； 当且时， 根据题意得：， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为和， 综上所述，抛物线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的点的坐标为、和． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，是二次函数压轴题，掌握利用待定系数法求解析式，全等三角形的运用，等腰直角三角形的性质、利用轴对称解决路径问题，三角形等面积的性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 10．(1)； (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而，证得，得到，进而有，根据勾股定理求出，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移4个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得：，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据平移可得：轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、N、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为， ∵ ∴， ∵， ∴在中，， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 11．(1)； (2)； (3)①；②或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得a，c的值，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，根据题意求得，即可得出，则，求出直线的解析式为，和抛物线联立求解即可； （3）①根据题意求得直线的解析式，设，则，分为当时，当时，当时，分别作图根据矩形的性质即可求得C； ②根据二次函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：如图所示，设与y轴交于点D， 当时，即， 解得：，， ∴，即，， 当时，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴， 解得：，， ∵点P在第一象限， ∴， 此时， ∴； （3）解：①过点P作轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C，如图： 设直线的解析式为：， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， 当时，如图2， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴； 当时，如图3， ∴，， ∴， ∴； ②∵， 当时，对称轴为直线， ∴故当时，C随m的增大而增大，而，不符合题意，舍去； 当时，对称轴为直线， ∴当时，C随m的增大而增大； 当时，对称轴为直线， ∴当时，C随m的增大而增大， 又∵， ∴当时，C随m的增大而增大． 综上所述，当或时，C随m的增大而增大． 12．(1)见详解 (2) (3)点 M 的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法得到抛物线解析式为，由此得到，运用两点之间距离公式得到，运用勾股定理逆定理即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，可证，得到，设，则，则点，由点的纵坐标相等，代入计算即可求解； （3）根据得到当时，，结合点M的位置分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与 x 轴交于和两点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点 P 为线段上一点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 根据题意得到，， ∴， ∴， 当时，， 如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴，且， ∴，即是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵点在直线上， ∴设，，则，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵， ∴，把代入得，， 整理得，， 解得，， 当时，点重合，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴； 如图所示， ∵轴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，，则，， ∴，，， ∴，， 整理得，，， ∴， 解得，， 当时，点重合，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴； 综上所述，所有符合条件的点 M 的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数与三角形面积的计算，相似三角形三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正切值的计算等知识的综合，合理作出辅助线是解题的关键． 13．(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）代入的坐标到，利用待定系数法即可求解； （2）分2种情况讨论：①当点在点的右侧；②当点在点的左侧，利用切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点即可解决问题； （3）由题意得，分2种情况讨论：①当点在轴下方时，取点，连接，过点作于点，则，利用三线合一性质得到，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，再联立直线和抛物线的解析式求出此时点的坐标；②当点在轴上方时，作点关于轴的对称点，则，同理①的方法求出此时点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：将，，代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①当点在点的右侧，连接、，如图， ∵，， ∴，， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 即， ∴点坐标为； ②当点在点的左侧，作轴于点，与轴交于点，连接，如图， 由①得，，， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为或； （3）解：由（2）得，当点坐标为时，，不符合题意； 点坐标为时，，符合题意； ∴； ①当点在轴下方时， 取点，连接，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ②当点在轴上方时， 作点关于轴的对称点，如图， 则，， 同理可得，直线的解析式为， ∵， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ∴综上所述，存在点使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、轴对称的性质，运用分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 14．(1)，； (2)当时，的最大值为4，此时 (3) 【分析】本题考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键． （1）将代入中得到二元一次方程组求解即可； （2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过作，交移动后的抛物线于．当时，，即． 【详解】（1）解：将代入中， ， ，； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为4，此时； （3）解：设抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后经过原点， ， 解得：或（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为， ， ， ，令，则或1， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 过作，交移动后的抛物线于， 当时，， ． 15．(1)抛物线的表达式为 (2)线段长度取得最大值时，求的最小值为 (3)点F的坐标为或 【分析】（1）首先由题意将点代入，再利用对称轴为直线得到系数间的关系即可求解； （2）首先将线段表述出并求出其最大值时的值，此时发现的值为定值，即将的最小值转化为取最小值，进而将与放入一条直线中，所以构造点C向右平移个单位得到点，连接，即可求解的最小值； （3）首先写出平移后新的抛物线的表达式，再分点F在上方与下方两种情况进行讨论，在上方时，利用直线求出直线的表达式，再与抛物线的表达式联立即可求解点；在下方时，利用直线与直线关于直线对称，找到此时点关于直线的对称点M，再求解直线的表达式，最后与抛物线的表达式联立即可求解点． 【详解】（1）解：（1）由题意得：， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点、、， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值，此时点， ∴， ∵为定值， ∴取最小值时，即为取最小值即可， ∴如图，将点C向右平移个单位得到点，连接交于点P，作垂直直线交于点Q，连接，则此时的值最小， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，则设抛物线向右向上平移了个单位，则新抛物线的表达式为：， ∴将点D的坐标代入得：，解得：（负值已舍去）， ∴新抛物线的表达式为：， 当点在上方时， ∵， ∴直线， ∵、， ∴直线的斜率k为， ∴直线的表达式为， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； 当点在下方时， ∵， ∴直线与直线关于直线对称， ∴设点关于直线：对称点为点， 则直线的表达式为：， ∴联立，解得，， ∴点与点的中点坐标为， ∴点， 设直线的表达式为：， ∴将点代入直线的表达式中，解得， ∴直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； ∴点F的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的表达式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再将点代入可得的值，即可得抛物线的解析式； （2）作轴于点，轴于点，先求出，可得， 中，．中，．可得，得出．，再由三角形面积公式求解即可； （3）作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，先求得．再证明．可得．．．再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点， ． ． ． ． ， 解得：． ∴抛物线的解析式； （2）解：时， 解得：． ，即， 作轴于点，轴于点， 可得， 中，． 中，． ， 得出． ． ， ； （3）解：作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，得矩形，矩形， ． ， ， ， ， 轴, ． ．． ，得出． ． ． ． 设， ． ． ． ． 中，． 中，． ． ，（舍）． ． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线． 17．(1) (2)当，最大，且最大值为， (3)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点H，交x轴与点N，先确定直线的解析式为：，设，则，则，利用配方法得到，结合，根据抛物线性质解答即可； （3）根据题意，确定这是一个向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点，连接，交抛物线于点，此时；过点作，交抛物线于点，此时． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， ，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的解析式为，得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，交x轴与点N， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ，解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则 ∴ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当，最大，且最大值为， ∴； （3）解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故设该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故设平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得，解得， 故平移后抛物线的解析式为，即， 取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得或（舍去）， ∴，此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ∴直线的解析式为：． 联立，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 18．(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，通过几何性质求出点坐标是解题关键； （1）代入点坐标求解即可； （2）先通过平行线，将四边形的面积转化为的面积，从而通过设点P的坐标，用二次函数表示面积与点P的坐标的关系，求出最值；再构建直角三角形（胡不归模型），将转化为另一线段长，通过垂线段最短求出最小值； （3）先根据的斜率为1，求出新抛物线的解析式，再分情况讨论，通过与，的关系，用含的式子表示，通过过点C构造出对应的角度，求出此时对应角度所在的直线解析式，与联立，求解即可． 【详解】（1）解：代入点，得 解得 ∴； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， ∵， ∴可设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 令， 解得，， 令，得， ∴， 如图，连接，过点P作轴，交于点M， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 设，则，， ∴， ∴当时，的面积最大，即四边形的面积最大， ， ∴此时点P的坐标为， 如图，作直线，使得，且，则，连接，过点P作， ∴， ∴即为的最小值， 设， 由题意，得， 设直线的解析式为， 代入，得， ∴， ∴， 设点，则，，， 又∵， ∴， 解得（舍去），或， 当时，； （3）解：∵，， ∴， ， 故抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 故， 分两种情况讨论： 第一种：如图，若是的外角，则，交x轴于点E，取点，则， 由题意，得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，平分， 设点E到的距离为h，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 联立，得， 解得（由图可知，不合题意，舍去），， 当时，， ∴； 第二种：如图，若是的内角，则，顺时针旋转第一种情况下的得到， 由题意，得， ∴， ∴，点在上， 由旋转的性质，易得，，轴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 联立，得， 解得（由图可知，不合题意，舍去），， 当时，， ∴， 综上，或． 19．(1) (2)，3 (3)或． 【分析】（1）由抛物线与x轴交于可得①，由抛物线的对称轴直线方程可得②，①②联立可求出，，即可求出抛物线的解析式； （2）由运用待定系数法求出直线的解析式为，设，易得，；，可得可求出当时，有最大值，此时； 先求得直线的解析式为，设，如图：过E作轴，则，由平行线的性质以及三角函数可得，即，如图：如图：连接，过P点作的延长线于G，则，然后根据三角形三边关系以及垂线段最短即可解答； （3）先求出平移后抛物线解析式及点，再求得平移后的函数解析式；如图：取点P关于y轴的对称点，即，，连接并延长交于点R，与y轴交于点F，结合已知条件和三角形内角和定理可得，再求得直线的解析式为可得；直线的解析式为，联立可得；再运用两点间距离公式、勾股定理逆定理、正切的定义可得；设，则，然后再解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即②， 由①②联立得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图：过E作轴，则， ∴， ∵ ∴， ∴， 如图：连接，过P点作的延长线于G，则 ∴要求的最小值，只需求得最小值， 由三角形的三边关系可知：， 又由垂线段最短可知：的最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由（2）知，当取得最大值时，点， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位， ∴点P的对应点M的坐标为，即， ∵， ， 如图：取点P关于y轴的对称点，即，，连接并延长交于点R，与y轴交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴； 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得： ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵N为抛物线上的一动点． ∴设， ∴， ∴或， 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴； 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴． 综上，所有符合条件的点N的坐标为或． 20．(1)，； (2)或； (3)； (4)，； (5)，； (6)； (7)①，；② (8)或或或 【分析】（1）根据，得到，，交点式求出抛物线的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式； （2）直接根据图象法，求出不等式的解集即可； （3）设，根据两点间距离公式结合勾股定理进行求解即可； （4）作轴交于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （5）根据平移，求出平移后的直线的解析式，根据直线与抛物线只有一个交点，得到对应的一元二次方程有2个相等的实数根，得到，进行求解即可； （6）根据翻折的性质，以及平移规则进行求解即可； （7）①根据两点之间线段最短，得到当在线段上时，的值最小，为的值，进行求解即可；②根据，得到当点在直线上时，，进行求解即可； （8）设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴； （2）解：由图象可知：的解集为或； （3）解：设， ∵， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； ∴，即； （4）解：作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为；此时； （5）解：由题意，平移后的解析式为， 令，整理，得， ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴，解得， ∴，解得， 当时，， ∴这个公共点的坐标为 （6）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线沿轴翻折后的抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴再向右平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为； （7）解：①由两点之间线段最短，可知，当点在线段上时，的值最小为的长， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴，此时； ②∵， ∴， 同（1）法可得直线的解析式为， ∵， ∴当点在直线上时，，值最大为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴； （8）解：，设， 当点组成平行四边形时，分3种情况： ①当为对角线时，则，解得或（舍去）； ∴； ②当为对角线时，则，解得或； ∴或； ③当为对角线时，则，解得或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $