精品解析：云南昆明市云南师范大学附属中学2025—2026学年下学期九年级3月学情诊断数学试卷

（2025—2026下）九年级3月学情诊断试卷数学 （2026.03） （全卷满分：100分考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题2分，共30分） 1. 年蛇年春晚，机器人扭秧歌节目引发全球热议，展现出中国在人形机器人制造领域进入黄金发展阶段．国产人形机器人运动能力出色，前、后空翻不在话下，若规定人形机器人向前空翻次记作次，则向后空翻次应记作（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 2. 在第七次人口普查中，云南省全省总人口数量约为4721万，排全国第12位，将数据“4721万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列艺术字中，既是中心对称又是轴对称图形的字母是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正八边形的每一个内角为（ ） A. B. C. D. 6. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数y=图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（　　） A. （﹣3，﹣2） B. （3，2） C. （﹣2，﹣3） D. （﹣2，3） 8. 按一定规律排列的代数式：，其中第个单项式是（ ） A. B. C. D. 9. 运动员刘浩和季博文在2024年8月8日巴黎奥运会男子500米双人划艇项目中夺得金牌，刘浩的故乡云南玉溪成为旅游热度城市．国庆期间云南玉溪某景区第一天接待游客约7000人，第三天接待游客约8470人．设该地游客人数的日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺边缘，三角板中30°角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 11. 在中，下列尺规作图的方法能确定的是（ ） A. B. C. D. 12. 在2025年9月3日纪念抗战胜利阅兵的女兵徒步方队中，为保证队形整齐，队员身高经过严格筛选．女兵分队员的身高（单位：）数据如下：168，169，168，170，169，168，167，169，168．则这组数据的众数是（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 13. 如图，是的半径，是的弦，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 14. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 在中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 因式分解：__________． 17. 为落实五育并举，促进学生全面发展．在劳动课上，同学们积极动手制作学具，某同学制作了一个圆锥，其母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为_____．（结果保留） 18. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 19. 创新社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天）若该社区共有1200户居民，请估计社区每天进行垃圾分类的住户约有__________户． 三、解答题（共42分） 20. 计算：． 21. 如图，在和中，，，，求证：． 22. 自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军． 蚂蚁 23. 在一只不透明的布袋中，装有质地，大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出个小球，甲摸出的小球上的数字记为，乙摸出的小球上的数字记为，若为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求乙获胜的概率． 24. 根据如下素材，完成探索任务． 某电子配件商店采购方案 素材一 为备战双十一购物节，该电子商店分两次购进A、B两种型号的充电器，同型号充电器两次的进价不变． 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 15 20 1625 第二次 45 30 2775 素材二 售价：A型号：30元/件，B型号：100元/件． 素材三 由于前两次销售情况乐观，商店决定再次购进两种型号充电器共100件，且A型号充电器数量不低于B型号充电器数量的4倍． 问题解决 （1）求A、B型号充电器每件进价； （2）求第三次采购中获利最大的进货方案及最大利润． 25. 如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形面积为，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，设函数（是常数）． （1）若，求证：函数的图象与轴总有公共点； （2）若二次函数图象和一次函数都经过点，求证：． 27. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若，的周长为21，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （2025—2026下）九年级3月学情诊断试卷数学 （2026.03） （全卷满分：100分考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题2分，共30分） 1. 年蛇年春晚，机器人扭秧歌节目引发全球热议，展现出中国人形机器人制造领域进入黄金发展阶段．国产人形机器人运动能力出色，前、后空翻不在话下，若规定人形机器人向前空翻次记作次，则向后空翻次应记作（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵向前空翻次记作次， ∴向后空翻次应记作次． 2. 在第七次人口普查中，云南省全省总人口数量约为4721万，排全国第12位，将数据“4721万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将4721万化为47210000，再将数写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：因为4721万47210000， 所以． 3. 下列艺术字中，既是中心对称又是轴对称图形的字母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，该选项符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，正确； D、，原计算错误. 5. 正八边形的每一个内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，正n边形的一个内角度数为．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 故选：C． 6. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 7. 反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（　　） A. （﹣3，﹣2） B. （3，2） C. （﹣2，﹣3） D. （﹣2，3） 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数y=的图象经过点（3，-2）， ∴xy=k=-6， A、（-3，-2），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意； B、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意； C、（-2，-3），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意； D、（-2，3），此时xy=-2×3=-6，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键． 8. 按一定规律排列的代数式：，其中第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由排列的代数式可知，单项式的系数符号由奇偶性决定，为，其后的数字为，字母为， ∴第个单项式是． 9. 运动员刘浩和季博文在2024年8月8日巴黎奥运会男子500米双人划艇项目中夺得金牌，刘浩的故乡云南玉溪成为旅游热度城市．国庆期间云南玉溪某景区第一天接待游客约7000人，第三天接待游客约8470人．设该地游客人数的日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 设该地游客人数的日平均增长率为，根据题意列出方程即可， 【详解】解：设该地游客人数的日平均增长率为， 根据题意得：； 故选：D． 10. 如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中30°角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案． 【详解】解：根据题意可知， ∵， ∴． ∵， ∴． 11. 在中，下列尺规作图的方法能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到点在边的垂直平分线上，据此进行判断即可. 【详解】解：由题意，点在边的垂直平分线上， 故只有选项D符合题意，其它选项均不能确定. 12. 在2025年9月3日纪念抗战胜利阅兵的女兵徒步方队中，为保证队形整齐，队员身高经过严格筛选．女兵分队员的身高（单位：）数据如下：168，169，168，170，169，168，167，169，168．则这组数据的众数是（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数．由题意直接根据众数的概念即出现次数最多的数据进行分析求解可得． 【详解】解：在这9个数据中，数据168出现次数4次，次数最多， 所以这组数据的众数为168． 故选：B． 13. 如图，是的半径，是的弦，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 14. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式，然后根据不等式的解集判断即可求解． 【详解】解：解不等式得， 在数轴上表示为： ， 故选：D． 15. 在中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键． 根据直角三角形三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形 在中，，， ∴， A．，故选项计算错误，不符合题意； B．，故选项计算错误，不符合题意； C．，故选项计算正确，符合题意； D．，故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 17. 为落实五育并举，促进学生全面发展．在劳动课上，同学们积极动手制作学具，某同学制作了一个圆锥，其母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【详解】解：∵圆锥的母线长为，底面圆的半径为， ∴． 18. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 19. 创新社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天）若该社区共有1200户居民，请估计社区每天进行垃圾分类的住户约有__________户． 【答案】240 【解析】 【分析】先根据A类的户数和所占的百分比求出抽查的总户数，再用该社区总户数乘以D类所占的百分比得出答案． 【详解】解：（户），则， 所以社区每天进行垃圾分类的住户有240户． 三、解答题（共42分） 20. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据，再合并同类二次根式，并计算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，在和中，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据题意得出，再由定理证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明： 在和中， ， 22. 自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军． 蚂蚁 【答案】蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分，根据题意列出方程求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分． 23. 在一只不透明的布袋中，装有质地，大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出个小球，甲摸出的小球上的数字记为，乙摸出的小球上的数字记为，若为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求乙获胜的概率． 【答案】（1）种 （2） 【解析】 【分析】（）根据题意画出树状图解答即可求解； （）利用概率公式计算即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果总数为种； 【小问2详解】 解：由树状图可知，和为偶数的结果共有种， ∴乙获胜的概率． 24. 根据如下素材，完成探索任务． 某电子配件商店采购方案 素材一 为备战双十一购物节，该电子商店分两次购进A、B两种型号的充电器，同型号充电器两次的进价不变． 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 15 20 1625 第二次 45 30 2775 素材二 售价：A型号：30元/件，B型号：100元/件． 素材三 由于前两次销售情况乐观，商店决定再次购进两种型号充电器共100件，且A型号充电器数量不低于B型号充电器数量的4倍． 问题解决 （1）求A、B型号充电器每件进价； （2）求第三次采购中获利最大的进货方案及最大利润． 【答案】（1）A型号充电器每件进价为15元，B型号充电器每件进价为70元 （2）购进A型号80件，购进B型号20件，最大利润是1800元 【解析】 【分析】（1）先设A，B型号充电器每件进价为x，y元，根据题意列出方程组，求出解即可； （2）先设再次购进A型号充电器a件，则购进B型号充电器件，利润为w元，根据题意列出一次函数，再根据一次函数图象的性质，并结合a的取值范围讨论最大利润即可． 【小问1详解】 解：设A，B型号充电器每件进价为x，y元，根据题意，得 解得 所以A型号充电器每件进价为15元，B型号充电器每件进价为70元； 【小问2详解】 解：设再次购进A型号充电器a件，则购进B型号充电器件，利润为w元，根据题意，得 ，且， 解得， ∵一次函数中， ∴w随着a的增大而减小， ∴当时，， 则（元）， 所以进货方案是购进A型号充电器80件，B型号充电器20件，最大利润为1800元． 25. 如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据“角角边”证明，可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得，然后说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）连接，根据菱形的性质说明四边形是平行四边形，可得，再根据菱形的面积是求出，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 在中，点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵菱形的面积是， ∴， 解得． 根据勾股定理，得． 26. 在平面直角坐标系中，设函数（是常数）． （1）若，求证：函数的图象与轴总有公共点； （2）若二次函数的图象和一次函数都经过点，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）由得，再分和两种情况证明即可求证； （）由函数图象上点坐标特征可得，即得，进而得到，即可求证； 本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，二次函数与一次函数图象的交点问题，配方法，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 当时，函数与轴相交于点； 当时，函数是二次函数， ∵， ∴抛物线与轴有两个交点； ∴函数的图象与轴总有公共点； 【小问2详解】 证明：∵二次函数的图象和一次函数都经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若，的周长为21，求的面积． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，由直径所对圆周角为直角和直角三角形两锐角互余可得的度数，紧接着由同弧所对圆周角相等即可得出结果； （2）利用角平分线的定义和圆周角定理推出是等腰直角三角形，由等腰三角形三线合一的性质可知，结合已知条件即可证明结论； （3）通过构造辅助线证得和是等腰直角三角形，分别表示出之间的线段关系，再证明，得到，，结合已知线段长度，利用等量代换将进行转换，求出圆的直径，进而根据的周长得到的值，利用勾股定理列出方程求得的值，从而得到的面积． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵和所对的弧都是， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是的直径，， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问3详解】 解：如图，过点A作交于点F，过点B作交于点G， ∵是平分线，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，，， 由（2）知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵的周长是21， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $