第8章 整式的乘法 单元复习（4大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学《整式的乘法》单元复习讲义通过表格梳理核心知识点、常考考点与高频易错点，结合题型分层（基础、提升、培优）构建知识脉络，清晰呈现整式乘法运算、公式应用及综合拓展的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如“不含某一项”问题通过合并同类项令系数为0培养运算能力，几何背景题用面积验证公式发展几何直观，规律探究题（杨辉三角）提升推理意识，助力不同层次学生掌握方法，支持教师精准教学。

第8章 整式的乘法 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.整式的乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式） 1.单项式乘单项式的系数、同底数幂运算； 2.单项式乘多项式的分配律应用； 3.多项式乘多项式的逐项相乘法则； 4.含字母系数的整式乘法求值 1.单项式乘单项式漏乘单独字母的指数（如误算为）； 2.单项式乘多项式漏乘多项式的某一项（如误算为）； 3.多项式乘多项式漏项或合并同类项错误（如误算为）； 4.符号处理失误（如误算为） 2.平方差公式 1.平方差公式的正用（）； 2.公式的逆用（）； 3.公式的变形应用（含增项、系数变化等）； 4.利用公式进行简便计算 1.混淆公式结构（如误用法则算为）； 2.增项变形时未正确分组（如未转化为）； 3.逆用时漏拆平方差（如仅拆为，忽略其他变形）； 4.符号错误（如误算为） 3.完全平方公式 1.完全平方公式的正用（）； 2.公式的变形求值（如）； 3.公式的几何意义应用； 4.利用公式进行简便计算 1.漏加/漏减中间项（如误算为）； 2.中间项系数错误（如误算为）； 3.变形求值时公式记忆混淆（如误算为）； 4.符号判断错误（如误算为） 4.整式乘法的综合应用 1.不含某一项问题求字母值； 2.整体代入法求值； 3.整式乘法与规律探究； 4.跨学科/情境化应用（如面积、工程问题） 1.不含某一项时忽略“系数为0”的本质（如漏列方程）； 2.整体代入时未将代数式变形为已知形式； 3.规律探究时未提炼共性（如杨辉三角系数规律）； 4.情境化问题中未将实际问题转化为整式乘法模型 【易错题型】 【题型1】乘法公式的结构混淆与符号错误 1.易错点总结 变形记忆错误：完全平方公式的变形（如、的表达式）记忆颠倒，导致求值错误； 增项变形失误：含三项的式子应用公式时，未正确分组构造“两数和/差”，导致漏用公式。 2.纠错技巧 变形公式列表记：将常用变形整理为表格，避免混淆： 目标代数式 变形公式 或 增项分组技巧：含三项的式子优先将“相同符号的项”或“能凑整的项”分为一组，构造“两数和/差”的形式。 【例题1】.（25-26九年级下·江苏泰州·月考）已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 【答案】5或 【详解】解：根据完全平方式特征可得， 解得或． 【变式题1-1】.（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】由，根据完全平方公式得，再代入计算，即可得解． 【详解】解：由，两边平方得，即， 把代入，得， ∴． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）若，，则的值为（      ） A． B．7 C．14 D．50 【答案】B 【分析】利用完全平方公式可得：，，两式相加即可得出答案． 【详解】解：， ①，②， ，得， ． 【变式题1-3】.（2026·吉林松原·模拟预测）若，，则_________． 【答案】1 【分析】将已知两式相减，再利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【基础题型】 【题型2】整式的基本乘法运算 1.考点总结 单项式×单项式：核心是系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留，掌握符号法则； 单项式×多项式：核心是乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再合并同类项； 多项式×多项式：核心是逐项相乘，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项； 基础运算的符号、同类项合并规则应用。 2.解题技巧 单项式×单项式：分三步计算：①系数相乘（先定符号，再算绝对值）；②同底数幂相乘（底数不变，指数相加）；③单独字母连同指数保留； 单项式×多项式：“分配到底，不重不漏”，用单项式分别乘多项式的每一项，再合并同类项； 多项式×多项式：“逐项相乘，有序合并”，按一定顺序计算，避免漏项，最后合并同类项； 符号优先：每一步运算先确定符号，再计算数值，减少符号错误。 【例题2】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）若关于x的二次三项式则m的值是________． 【答案】7 【分析】根据多项式的乘法法则展开，对比两个结果得到，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为____ ． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将展开后再与对比，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方计算，然后根据单项式乘单项式运算法则计算； （2）根据多项式乘多项式运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3】平方差公式的直接应用与简单变形 1.考点总结 平方差公式的正用：识别“一项相同、一项互为相反数”的二项式相乘； 公式的简单变形：含系数变化、位置变化、符号变化的二项式相乘； 利用公式进行简便计算（如接近整十/整百数的乘积）； 公式的逆用：将平方差形式的多项式分解为二项式相乘。 2.解题技巧 正用识别：先找“相同项”和“相反项”，相同项作为，相反项作为，直接套用公式； 变形应用：无论系数、位置、符号如何变化，核心是“凑出相同项和相反项”； 简便计算：将接近整十/整百的数拆为“整十/整百数±小数”，再用公式； 逆用分解：将平方差形式拆为“相同项+相反项”ד相同项相反项”。 【例题3】.（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）下列各式不能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征，两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数，才可以用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：对选项A，中，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 对选项B，，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 对选项C，，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 对选项D，，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·重庆长寿·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性，解题的关键是掌握平方差公式．依据平方差公式求得，结合，可求得 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据已知条件，将两式相减得到，根据得到，最后将两式相加，即可得到的值． 【详解】解： ，， ， 又 ． ，即， 两边同时除以得，， ． 【题型4】完全平方公式的直接应用与简单变形 1.考点总结 完全平方公式的正用：识别“两数和/差的平方”形式，正确展开； 公式的简单变形：已知、、中的两个，求第三个； 利用公式进行简便计算（如完全平方数的计算）； 公式的几何意义：通过图形面积验证公式。 2.解题技巧 正用展开：严格遵循“首平方，尾平方，乘积的2倍在中间”，注意中间项符号（和为正，差为负）； 变形求值：根据已知条件选择合适的变形公式，优先凑整； 简便计算：将数拆为“整十/整百数±小数”，再用公式； 几何意义：通过大正方形面积或阴影部分面积的两种表示方法验证公式，加深理解。 【例题4】.（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知实数满足，则______． 【答案】17 【分析】根据完全平方公式得到，进而可知的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）已知，，则的值为______． 【答案】9 【分析】先根据完全平方公式进行变形得出，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：，， 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)20 (2)18 【分析】（1）根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出xy的值； （2）由计算可得，把和看作整体，根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出的值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【题型5】整式乘法的化简求值 1.考点总结 整式乘法（含公式）的化简：先乘法运算，再合并同类项； 代入求值：直接代入数值或整体代入； 含多层括号的整式化简：先去括号，再化简。 2.解题技巧 化简步骤：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先去括号（先小括号，再中括号）；③合并同类项时只合并系数，字母及指数不变； 代入技巧：直接代入前先检查化简结果是否最简，避免复杂计算；含分数、负数时，代入后加括号，避免符号错误； 整体代入：若已知代数式的值，将所求式子变形为含已知代数式的形式，再代入计算。 【例题5】.（2026·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，化简求值，先根据完全平方公式，单项式乘多项式展开，再合并同类项，得，最后把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴原式． 【变式题5-1】.（24-25九年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，2 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式，合并同类项法则化简，然后把代入即可得出答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏镇江·月考）先化简再求值：，当，． 【答案】；． 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式以及求代数式的值，解题的关键是掌握以上运算法则，首先计算完全平方公式和平方差公式，然后合并同类项，再代数求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，时，原式． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·广东深圳·月考）化简求值：，其中 【答案】， 【分析】根据完全平方公式，平方差公式将目标式化简，求出，代入计算即可． 【详解】解： ∵ 即， ∴ 【提升题型】 【题型6】“不含某一项”问题求字母值 1.考点总结 整式乘法展开后，合并同类项； 确定“不含项”的系数为0，列方程求解； 含多个“不含项”时，列方程组求解。 2.解题技巧 步骤：①将整式展开，合并同类项（按某一字母的降幂排列）；②找出“不含项”的系数，令其等于0；③解方程/方程组求字母值； 关键：明确“不含某一项”的本质是“该项的系数为0”，与其他项无关； 易错提醒：合并同类项时避免漏项，确保系数计算准确。 【例题6】.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 【答案】(1) (2)；4 【分析】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，根据展开式中不含x2项得到关于m的方程，解方程即可； （2）将原式利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后将m的值代入计算即可． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项， ， 解得：； （2）原式 ； 当时， 原式． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2） ，， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 【变式题6-3】.（24-25七年级上·山东菏泽·期末）【感悟方法】 数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这个无关的变量有时也有它的意义． 已知代数式的值与字母x的取值无关，其中a，b是常数，求a，b的值．求解过程如下： 解：原式 ， 代数式的值与字母x的取值无关， ，， 解得，，； 【迁移运用】 请用上面的解题方法解决下面的问题： 某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车．已知甲品牌的进价为 1000 元/辆，乙品牌的进价为1200元/辆．该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆，有多种进货方案．销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%，乙品牌的售价为每辆2000元．为鼓励顾客多消费，商店决定每售出一辆乙品牌的自行车，返还顾客现金a元，甲品牌的自行车售价不变．设商店购进甲品牌的自行车x辆，要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，求a的值． 【答案】a的值为300 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的乘法运算，设甲品牌的自行车购进x辆，则乙品牌自行车购进辆，结合总利润等于销售两种自行车的利润之和列代数式，再整理即可得到答案． 【详解】解：设甲品牌的自行车购进x辆，则乙品牌自行车购进辆，此时获 得的总利润为： ， 要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，即商店获得的利润与 x 无关 ， ， a的值为300． 【题型7】乘法公式的变形求值 1.考点总结 完全平方公式的灵活变形（如、、、之间的转化）； 平方差公式与完全平方公式的综合变形； 整体代入法求复杂代数式的值。 2.解题技巧 变形核心：围绕“已知条件”选择变形公式，优先将所求式子转化为含已知量的形式； 多变量变形：若含三个字母，可两两组合变形，先求整体值再求单个字母值； 整体代入：将复杂代数式拆分为含已知整体的部分，逐步代入计算。 【例题7】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知求的值； (2)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和求图中阴影部分的面积； (3)若求的值． 【答案】(1)22 (2)2 (3)52 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可； （3）先求出的值，再利用，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：设， 则：， ∴， ∴，即阴影部分的面积为2； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）在学习“完全平方公式”时，某学习小组发现：已知，可以在不求a，b的值的情况下求出的值：； 仿照上面的方法计算；已知，，求． “若m满足，求的值”，同样可以用上述方法解决，具体操作如下： 设，， 则，， ． 请参照上述方法解决下列问题： (1)若，求的值． (2)边长分别为a，b的大小两个正方形按如图所示放置在同一直线上，已知，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，根据题意得到进行计算即可． （2）先根据完全平方公式求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则，， ∴； （2）解： ，， ， ． 【变式题7-2】.（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； (2)运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2) (3)28 【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形面积和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意得，，， ∵，即， ∴， 又∵，而， ∴， ∴ ． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·吉林长春·月考）【教材呈现】教材P49-复习题13题： 已知，，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． 已知，，求的值． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小亮完成解答过程． (2)若，，则______，______． (3)若，，则______． (4)【拓展提升】如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)37 (4)4 【分析】（1）（2）（3）小题均灵活运用完全平方公式进行解答即可； （4）设，，根据已知条件求出和，再灵活应用完全平方公式求出，从而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ； （3）解：∵，， ∴ ； （4）解：设，， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵正方形和正方形面积和为36， ∴， ∴， ∴或（不合题意舍去）， ∵， ∴． 【培优题型】 【题型8】整式乘法的几何背景应用 1.考点总结 利用图形面积验证整式乘法法则或乘法公式； 结合图形面积列整式乘法算式，求边长、面积等； 拼图问题：通过拼接图形，探究整式乘法的规律。 2.解题技巧 面积法验证：用“整体面积=部分面积之和”或“同一图形面积的两种表示方法”列等式，验证公式； 图形求值：根据图形的边长关系，用整式乘法表示面积，代入数值计算； 拼图探究：观察拼图前后的边长、面积变化，提炼整式乘法规律。 【例题8】.（2026年河北省初中学业水平模拟数学（解密二））利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【答案】(1)需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见解析 (2) (3)12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·宁夏银川·月考）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）图（2）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【详解】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·吉林长春·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，则 ______， ______， ______； (3)现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】（1）根据，得，进而得，再根据，得，继而得，由此即可得出结论； （2）由（1）的结论得，进而得，根据，，都是正整数，且得，则正整数，将代入，得，整理得，再根据，且，是正整数得，，由此即可得出，的值； （3）依题意得，，为正数，，，图中阴影部分的面积，进而得，则，由（1）的结论得，则，继而得，解此不等式得，由此即可得出图中阴影部分面积的最小值． 【详解】（1）解：证明：，， ， ． 即． ，， ， ， 即； （2）解：由（1）的结论得：， ， ， ，，都是正整数，且， ， 正整数， 将代入，得：， ， ， ， ， ， ，且，是正整数， ，， ，； （3）解：依题意得：，，为正数，，，图中阴影部分的面积， ， ， ， 由（1）的结论得：， 又， ， ， 解此不等式得：， 的最小值为， 图中阴影部分面积的最小值为． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)，， (2) (3)6 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （2）根据结论求出，然后进行计算即可得解； （3）根据结论求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； ∴， ∴ ∴结合结论②和结论③，可以得到等式； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：由（2）可知：， ∴阴影部分面积和为：， ， ∴阴影部分面积和为：． 【题型9】利用整式乘法进行简便计算 1.考点总结 平方差公式的简便计算（如两个接近数的乘积）； 完全平方公式的简便计算（如完全平方数）； 整式乘法分配律的简便计算（如提取公因式凑整）。 2.解题技巧 平方差凑整：将两个数转化为“”和“”的形式，其中为两数的平均数； 完全平方凑整：将数转化为“整十/整百数±小数”，简化计算； 分配律凑整：提取公因式，将原式转化为“公因式×（多项式和/差）”，凑整计算。 【例题9】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）计算、用乘法公式简便计算 (1)计算： ； ： ； (2)用乘法公式简便计算： ； ． 【答案】(1) ； ； ； (2) ； ． 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以单项式运算法则即可求解； 根据单项式乘以多项式运算法则即可求解； 根据多项式乘以多项式运算法则即可求解； （）根据完全平方公式进行计算即可； 根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）解： ； ． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）请将小亮解答的问题（1）补充完整，再仿照他的方法解答问题（2）． (1)简便计算：．小亮的解答如下： 解：设，则 ，则 原式 (2)简便计算：． 【答案】(1)，补充见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键， （1）根据多项式乘以多项式的计数法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）设，则，则只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：解：设，则 ，则 原式 ； （2）解：设，则， ∴原式 ． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·河南南阳·月考）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ，…… (1)根据上述格式反映出的规律：求 (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数学为5，请用所学知识说明这个速算的原理． (3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，分解因式： （1）观察前面三个式子可知，个位数字为5的两位数的平方等于十位数字乘以十位数字加1的积再乘以100后加上25，据此规律求解即可； （2）根据题意这个两位数可以表示为，再利用完全平方公式求出的结果，再分解因式即可得到答案； （3）把1和9看做一个整体，利用（1）（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知（表示一个两位数）， ∴； （2）解：∵， ∴． （3）解：由（2）可知，当把195中的1和9看做一个整体时，则有． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题． 例题：用简便方法求的值． 解： （第①步） （第②步） （第③步）． (1)在例题求解过程中，第②步变形的依据是_______； (2)用简便方法求的值． 【答案】(1)平方差公式 (2) 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用． （1）根据平方差公式的构成分析即可； （2）先化，再依次运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，第②步变形的依据是平方差公式； （2）解：原式 ． 【题型10】整式乘法与规律探究问题 1.考点总结 杨辉三角与完全平方公式的系数规律； 整式乘法的算式规律（如连续奇数的平方差、特定等式规律）； 规律的验证与应用（如根据规律写第n个等式）。 2.解题技巧 杨辉三角规律：观察每行系数与上一行的关系（每行首尾系数为1，中间系数为上一行相邻两系数之和），结合完全平方公式的展开式系数； 算式规律提炼：计算前34个算式，分析“左边结构”“右边结果”的共性，总结规律； 规律验证：用整式乘法或公式证明总结的规律，确保正确性； 应用规律：根据规律直接写出第n个等式或未知算式的结果。 【例题10】.（25-26七年级下·江西九江·月考）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)64 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可； （2）将代入（1）中的结论，即可得出结果； （3）根据算式的特点，得到 ，进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴当时：； （3）解： ， 符合展开式（系数为）， ∴ ． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·河南郑州·月考）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：； （3）解：规律为：， 证明： ， ， ∴． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题． （1）①观察所给式子的特点，仿照写出即可求解； ②观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1）解：① ②； 故答案为：；； （2）解： ； 故答案为：． （3）解：由可得： 原式 ． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，则这两个两位数的积存在一定的规律．观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)观察以上算式规律，请写出__________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，则上述规律可用等式表示为______________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是 ，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并验证它的正确性． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据题意得：其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是， 规律为：， 证明： ， ， ∴． 同步练习 一、单选题 1．下列运算结果是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则逐一进行计算即可. 【详解】解：A、； B、； C、； D、. 2．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有 ，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 3．若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，结合完全平方公式配方，利用平方的非负性判断差的符号即可． 【详解】解： ∵a，b为实数， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，进行计算即可． 【详解】解：A. ，原计算正确，符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. ，原计算错误，不符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 5．已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 6．已知，则的值是______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，对比等式两边对应项系数，得到关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 整理得， 对比对应项系数得：，， 解得：，， ． 7．如果，那么代数式的值是_______． 【答案】5 【分析】利用平方差公式，以及整式的混合运算，将整理为，再将代入求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握整式的混合运算法则． 【详解】解： ， ． 8．______． 【答案】 【详解】解： ， 则原式 三、解答题 9．简便计算：． 【答案】 【分析】先把带分数拆成整数与分数的差或和，再利用平方差公式简化运算． 【详解】解：原式 ． 10．有若干块图1中的长方形和正方形硬纸片，可以拼成如图所示的长方形． (1)用两种不同的方法，表示图2中长方形的面积； ①____________；②____________． 然后用①②的计算结果，用一个等式表示为____________． (2)用这种方法图3可以用一个等式表示为____________． 利用这个等式解决下面问题；若，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)，36 【分析】（1）用两种不同的方法表示即可； （2）首先得到，然后整体代入求解． 【详解】（1）解：图2中长方形的面积可以表示为①；也可以表示为②； （2）解：图3可以用一个等式表示为； ∵，， ∴ ∴． 11．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积________；________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________（用字母表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别用分割法以及长方形的面积公式进行计算即可； （2）根据面积相等，得到乘法公式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为； 图②阴影部分的面积为； （2）解：由（1）可知：； （3）解： ． 12．根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）根据乘法公式进行计算即可； （2）根据乘法公式进行证明即可； （3）令，由上述规律可得：，即可得到答案； （4）分别求出和，两式相减即可得到答案． 【详解】（1）解： ； ； ； ； 故答案为：；；；； （2）证明：设 ， 则， 展开，，， 两式相加得：， 即； （3）解：令， 由上述规律可得：， 故 （4）解：令， ， ， 而， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式的乘法 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.整式的乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式） 1.单项式乘单项式的系数、同底数幂运算； 2.单项式乘多项式的分配律应用； 3.多项式乘多项式的逐项相乘法则； 4.含字母系数的整式乘法求值 1.单项式乘单项式漏乘单独字母的指数（如误算为）； 2.单项式乘多项式漏乘多项式的某一项（如误算为）； 3.多项式乘多项式漏项或合并同类项错误（如误算为）； 4.符号处理失误（如误算为） 2.平方差公式 1.平方差公式的正用（）； 2.公式的逆用（）； 3.公式的变形应用（含增项、系数变化等）； 4.利用公式进行简便计算 1.混淆公式结构（如误用法则算为）； 2.增项变形时未正确分组（如未转化为）； 3.逆用时漏拆平方差（如仅拆为，忽略其他变形）； 4.符号错误（如误算为） 3.完全平方公式 1.完全平方公式的正用（）； 2.公式的变形求值（如）； 3.公式的几何意义应用； 4.利用公式进行简便计算 1.漏加/漏减中间项（如误算为）； 2.中间项系数错误（如误算为）； 3.变形求值时公式记忆混淆（如误算为）； 4.符号判断错误（如误算为） 4.整式乘法的综合应用 1.不含某一项问题求字母值； 2.整体代入法求值； 3.整式乘法与规律探究； 4.跨学科/情境化应用（如面积、工程问题） 1.不含某一项时忽略“系数为0”的本质（如漏列方程）； 2.整体代入时未将代数式变形为已知形式； 3.规律探究时未提炼共性（如杨辉三角系数规律）； 4.情境化问题中未将实际问题转化为整式乘法模型 【易错题型】 【题型1】乘法公式的结构混淆与符号错误 1.易错点总结 变形记忆错误：完全平方公式的变形（如、的表达式）记忆颠倒，导致求值错误； 增项变形失误：含三项的式子应用公式时，未正确分组构造“两数和/差”，导致漏用公式。 2.纠错技巧 变形公式列表记：将常用变形整理为表格，避免混淆： 目标代数式 变形公式 或 增项分组技巧：含三项的式子优先将“相同符号的项”或“能凑整的项”分为一组，构造“两数和/差”的形式。 【例题1】.（25-26九年级下·江苏泰州·月考）已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 【变式题1-1】.（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知，，求的值． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）若，，则的值为（      ） A． B．7 C．14 D．50 【变式题1-3】.（2026·吉林松原·模拟预测）若，，则_________． 【基础题型】 【题型2】整式的基本乘法运算 1.考点总结 单项式×单项式：核心是系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留，掌握符号法则； 单项式×多项式：核心是乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再合并同类项； 多项式×多项式：核心是逐项相乘，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项； 基础运算的符号、同类项合并规则应用。 2.解题技巧 单项式×单项式：分三步计算：①系数相乘（先定符号，再算绝对值）；②同底数幂相乘（底数不变，指数相加）；③单独字母连同指数保留； 单项式×多项式：“分配到底，不重不漏”，用单项式分别乘多项式的每一项，再合并同类项； 多项式×多项式：“逐项相乘，有序合并”，按一定顺序计算，避免漏项，最后合并同类项； 符号优先：每一步运算先确定符号，再计算数值，减少符号错误。 【例题2】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）若关于x的二次三项式则m的值是________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 【变式题2-2】.（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为____ ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【题型3】平方差公式的直接应用与简单变形 1.考点总结 平方差公式的正用：识别“一项相同、一项互为相反数”的二项式相乘； 公式的简单变形：含系数变化、位置变化、符号变化的二项式相乘； 利用公式进行简便计算（如接近整十/整百数的乘积）； 公式的逆用：将平方差形式的多项式分解为二项式相乘。 2.解题技巧 正用识别：先找“相同项”和“相反项”，相同项作为，相反项作为，直接套用公式； 变形应用：无论系数、位置、符号如何变化，核心是“凑出相同项和相反项”； 简便计算：将接近整十/整百的数拆为“整十/整百数±小数”，再用公式； 逆用分解：将平方差形式拆为“相同项+相反项”ד相同项相反项”。 【例题3】.（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）下列各式不能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·重庆长寿·月考）计算： (1)； (2)． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 【题型4】完全平方公式的直接应用与简单变形 1.考点总结 完全平方公式的正用：识别“两数和/差的平方”形式，正确展开； 公式的简单变形：已知、、中的两个，求第三个； 利用公式进行简便计算（如完全平方数的计算）； 公式的几何意义：通过图形面积验证公式。 2.解题技巧 正用展开：严格遵循“首平方，尾平方，乘积的2倍在中间”，注意中间项符号（和为正，差为负）； 变形求值：根据已知条件选择合适的变形公式，优先凑整； 简便计算：将数拆为“整十/整百数±小数”，再用公式； 几何意义：通过大正方形面积或阴影部分面积的两种表示方法验证公式，加深理解。 【例题4】.（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知实数满足，则______． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）已知，，则的值为______． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 【题型5】整式乘法的化简求值 1.考点总结 整式乘法（含公式）的化简：先乘法运算，再合并同类项； 代入求值：直接代入数值或整体代入； 含多层括号的整式化简：先去括号，再化简。 2.解题技巧 化简步骤：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先去括号（先小括号，再中括号）；③合并同类项时只合并系数，字母及指数不变； 代入技巧：直接代入前先检查化简结果是否最简，避免复杂计算；含分数、负数时，代入后加括号，避免符号错误； 整体代入：若已知代数式的值，将所求式子变形为含已知代数式的形式，再代入计算。 【例题5】.（2026·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【变式题5-1】.（24-25九年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏镇江·月考）先化简再求值：，当，． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·广东深圳·月考）化简求值：，其中 【提升题型】 【题型6】“不含某一项”问题求字母值 1.考点总结 整式乘法展开后，合并同类项； 确定“不含项”的系数为0，列方程求解； 含多个“不含项”时，列方程组求解。 2.解题技巧 步骤：①将整式展开，合并同类项（按某一字母的降幂排列）；②找出“不含项”的系数，令其等于0；③解方程/方程组求字母值； 关键：明确“不含某一项”的本质是“该项的系数为0”，与其他项无关； 易错提醒：合并同类项时避免漏项，确保系数计算准确。 【例题6】.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【变式题6-3】.（24-25七年级上·山东菏泽·期末）【感悟方法】 数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这个无关的变量有时也有它的意义． 已知代数式的值与字母x的取值无关，其中a，b是常数，求a，b的值．求解过程如下： 解：原式 ， 代数式的值与字母x的取值无关， ，， 解得，，； 【迁移运用】 请用上面的解题方法解决下面的问题： 某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车．已知甲品牌的进价为 1000 元/辆，乙品牌的进价为1200元/辆．该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆，有多种进货方案．销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%，乙品牌的售价为每辆2000元．为鼓励顾客多消费，商店决定每售出一辆乙品牌的自行车，返还顾客现金a元，甲品牌的自行车售价不变．设商店购进甲品牌的自行车x辆，要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，求a的值． a的值为300． 【题型7】乘法公式的变形求值 1.考点总结 完全平方公式的灵活变形（如、、、之间的转化）； 平方差公式与完全平方公式的综合变形； 整体代入法求复杂代数式的值。 2.解题技巧 变形核心：围绕“已知条件”选择变形公式，优先将所求式子转化为含已知量的形式； 多变量变形：若含三个字母，可两两组合变形，先求整体值再求单个字母值； 整体代入：将复杂代数式拆分为含已知整体的部分，逐步代入计算。 【例题7】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知求的值； (2)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和求图中阴影部分的面积； (3)若求的值． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）在学习“完全平方公式”时，某学习小组发现：已知，可以在不求a，b的值的情况下求出的值：； 仿照上面的方法计算；已知，，求． “若m满足，求的值”，同样可以用上述方法解决，具体操作如下： 设，， 则，， ． 请参照上述方法解决下列问题： (1)若，求的值． (2)边长分别为a，b的大小两个正方形按如图所示放置在同一直线上，已知，求图中阴影部分的面积． 【变式题7-2】.（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； (2)运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·吉林长春·月考）【教材呈现】教材P49-复习题13题： 已知，，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． 已知，，求的值． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小亮完成解答过程． (2)若，，则______，______． (3)若，，则______． (4)【拓展提升】如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，直接写出的长． 【培优题型】 【题型8】整式乘法的几何背景应用 1.考点总结 利用图形面积验证整式乘法法则或乘法公式； 结合图形面积列整式乘法算式，求边长、面积等； 拼图问题：通过拼接图形，探究整式乘法的规律。 2.解题技巧 面积法验证：用“整体面积=部分面积之和”或“同一图形面积的两种表示方法”列等式，验证公式； 图形求值：根据图形的边长关系，用整式乘法表示面积，代入数值计算； 拼图探究：观察拼图前后的边长、面积变化，提炼整式乘法规律。 【例题8】.（2026年河北省初中学业水平模拟数学（解密二））利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·宁夏银川·月考）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·吉林长春·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，则 ______， ______， ______； (3)现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【题型9】利用整式乘法进行简便计算 1.考点总结 平方差公式的简便计算（如两个接近数的乘积）； 完全平方公式的简便计算（如完全平方数）； 整式乘法分配律的简便计算（如提取公因式凑整）。 2.解题技巧 平方差凑整：将两个数转化为“”和“”的形式，其中为两数的平均数； 完全平方凑整：将数转化为“整十/整百数±小数”，简化计算； 分配律凑整：提取公因式，将原式转化为“公因式×（多项式和/差）”，凑整计算。 【例题9】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）计算、用乘法公式简便计算 (1)计算： ； ： ； (2)用乘法公式简便计算： ； ． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）请将小亮解答的问题（1）补充完整，再仿照他的方法解答问题（2）． (1)简便计算：．小亮的解答如下： 解：设，则 ，则 原式 (2)简便计算：． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·河南南阳·月考）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ，…… (1)根据上述格式反映出的规律：求 (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数学为5，请用所学知识说明这个速算的原理． (3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题． 例题：用简便方法求的值． 解： （第①步） （第②步） （第③步）． (1)在例题求解过程中，第②步变形的依据是_______； (2)用简便方法求的值． 【题型10】整式乘法与规律探究问题 1.考点总结 杨辉三角与完全平方公式的系数规律； 整式乘法的算式规律（如连续奇数的平方差、特定等式规律）； 规律的验证与应用（如根据规律写第n个等式）。 2.解题技巧 杨辉三角规律：观察每行系数与上一行的关系（每行首尾系数为1，中间系数为上一行相邻两系数之和），结合完全平方公式的展开式系数； 算式规律提炼：计算前34个算式，分析“左边结构”“右边结果”的共性，总结规律； 规律验证：用整式乘法或公式证明总结的规律，确保正确性； 应用规律：根据规律直接写出第n个等式或未知算式的结果。 【例题10】.（25-26七年级下·江西九江·月考）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·河南郑州·月考）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，则这两个两位数的积存在一定的规律．观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)观察以上算式规律，请写出__________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，则上述规律可用等式表示为______________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是 ，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并验证它的正确性． 同步练习 一、单选题 1．下列运算结果是的是（    ） A． B． C． D． 2．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 3．若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知，，则__________． 6．已知，则的值是______． 7．如果，那么代数式的值是_______． 8．______． 三、解答题 9．简便计算：． 10．有若干块图1中的长方形和正方形硬纸片，可以拼成如图所示的长方形． (1)用两种不同的方法，表示图2中长方形的面积； ①____________；②____________． 然后用①②的计算结果，用一个等式表示为____________． (2)用这种方法图3可以用一个等式表示为____________． 利用这个等式解决下面问题；若，，求的值． 11．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积________；________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________（用字母表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成计算：． 12．根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 学科网（北京）股份有限公司 $