专题01 整式乘法88道计算题专项训练（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题01 整式乘法88道计算题专项训练 题型一：单项式乘单项式及其求值 题型二：单项式乘多项式及其求值 题型三：多项式乘多项式 题型四：多项式乘多项式的化简求值 题型五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型六：多项式乘法中的整体性计算 题型七：多项式乘法中的规律性计算 题型八：运用完全平方式进行计算 题型九：通过对完全平方公式变形求值 题型十：乘法公式与几何图形结合的计算 题型十一：整式乘法的新定义计算 题型一：单项式乘单项式及其求值 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（25-26七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】（1）原式 （2）原式 3．（25-26八年级上·全国·专题练习）计算： (1)；24-25 (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘法法则是关键． 根据单项式的运算法则逐题计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式； （1）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （3）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （4）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式乘以单项式的知识，进行计算，即可求解 【详解】解：原式． 6．（25-26八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法运算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）直接利用单项式乘以单项式运算法则分别化简得出答案； （2）直接利用单项式乘以单项式，积的乘方运算运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式法则以及积的乘方法则分别计算式子中的两部分，再将结果相减．本题主要考查了整式的混合运算，涉及单项式乘单项式、积的乘方运算．熟练掌握单项式乘单项式法则（系数相乘，同底数幂相乘）以及积的乘方法则（先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）是解题的关键． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二：单项式乘多项式及其求值 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方． （1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 10．（25-26七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，10 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把代入化简后的式子进行计算即可，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 【详解】解： ， 当时，． 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握单项式乘以多项式的相关计算是解题关键；先将式子进行化简，再将代入求值． 【详解】解：原式 当时， 原式． 12．（25-26八年级上·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算（单项式乘多项式、同底数幂的乘法），解题的关键是掌握单项式乘多项式法则和同底数幂的乘法法则． （1）利用单项式乘多项式法则，将分别与多项式的每一项相乘； （2）先根据同底数幂的乘法法则计算幂的运算，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·河南新乡·期中）先化简，再求值：，其中； 【答案】，0 【分析】本题考查了单项式乘多项式，化简求值，先运用单项式乘多项式，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 先计算积的乘方运算，再由单项式乘以多项式运算展开即可得到答案． 【详解】解： ． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，先化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 16．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 题型三：多项式乘多项式 17．（24-25七年级上·上海虹口·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算． 利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 19．（24-25七年级下·河北保定·期中）回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)8或 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，则，再由都是整数，，得到或或或，据此求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ； ④ ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，根据多项式乘多项式法则和单项式乘以多项式法则展开后，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 21．（24-25八年级上·吉林延边·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握单项式乘以单项式和多项式乘以多项式乘法法则是解答本题的关键． 【详解】解：原式 ． 22．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 23．（24-25八年级上·广东广州·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项．熟练掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算规则是解题的关键． 先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 24．（24-25八年级上·福建厦门·期中）已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算进行变形，然后代入求解即可； （2）先计算多项式的乘法，然后整理，整体代入求解即可；熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2） ∵，， ∴原式 ． 题型四：多项式乘多项式的化简求值 25．（25-26八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，－7 【分析】此题考查整式的混合运算和化简求值，注意利用整式的乘法计算方法计算．直接利用整式的乘法计算，进一步合并同类项，再代入求得数值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 26．（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式乘多项式——化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用多项式乘以多项式和分配律展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 27．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据多项式乘以多项式，多项式乘以单项式进行化简，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 28．（25-26八年级上·山东德州·月考）化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则分别计算，然后合并同类项进行化简，最后把，代入计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 29．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 30．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据多项式乘以多项式的法则，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 31．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算与代数式求值，运用整体代入思想，先化简代数式，再结合已知条件整体代入． 先将代数式化简为含的形式，再由已知条件得出的值，整体代入化简后的式子求值． 【详解】解： ∵ ∴ 则原式 ． 32．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，将代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 题型五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 33．（25-26八年级上·陕西安康·月考）若的积中不含x项与项，求p，q的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘法中的无关项问题． 先计算，进而根据不含x项与项得到，，求解即可． 【详解】解： ∵积中不含x项与项， ∴，， ∴，． 34．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； （2）原式 ， ． 35．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 36．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 37．（25-26八年级上·吉林松原·期中）下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查同底数幂的乘除法，多项式乘以多项式法则， （1）根据同底数幂乘除法法则变形，即可得到关于m的方程，由此求出m的值； （2）先计算多项式乘以多项式，再根据不含项的系数为零求出m的值． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴． （2）解：原式， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 38．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 39．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 40．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若展开后不含项，求a、m的值． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先理解题意，则，结合展开后不含项，得，解得a、m的值，即可作答． 【详解】解： ， ∵原式不含项， ∴， ∴， 则， ∴． 题型六：多项式乘法中的整体性计算 41．（24-25七年级上·天津河西·期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛 例如：把看作一个整体，计算 解：设，则原式 可参考以上想法解答下面问题： (1)计算： (2)计算：利用分配律，试计算的结果； (3)求值：已知，，，求的值 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）把看作一个整体，进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）由已知求得，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：设， 原式； （2）解：原式； （3）解：，，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，化简求值，解题的关键是整体代入思想的运用，注意去括号时符号的变化． 42．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．可将变形为，将变形为，再将整体代换为1，得．请尝试应用“整体思想”解决以下问题：已知，若，求A的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整体代入的思想，把整式进行适当的变形是解题的关键．先利用完全平方公式和平方差公式把A变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 43．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 我们知道，类似地，若把看成一个整体，则． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并__________． (2)已知，求代数式的值． (3)已知：，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)４ (3)． 【分析】（1）运用整体思想，根据合并同类项法则处理； （2）对多项式变形，用已知的代数表示，代入求值； （3）对多项式变形：去括号，再组合，用已知的代数表示，代入求值； 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题考查合并同类项，多项式去括号，熟练根据法则及运算律对多项式作恒等变形是解题的关键． 44．（25-26七年级下·全国·专题练习）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 45．（24-25七年级上·陕西西安·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+6)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b) (1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______； (2)尝试应用：已知x2-2y=1，求3x2-6y-2021的值． (3)拓广探索：已知xy+x=-6，y-xy=-2．求代数式的值． 【答案】(1) (2)-2018 (3)-22 【分析】（1）采用“整体思想”合并，在去括号展开即可； （2）将整体代入即可求解； （3）利用已知的式子求出x+y=-8，再将、x+y=-8整体代入即可求解． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）∵， ∴， （3）∵，， 即，，， ． 【点睛】本题考查了已知式子的值求解代数式的值，利用“整体思想”是快速解答本题的关键． 46．（25-26八年级上·全国·单元测试）先阅读下面的材料，再解答问题： 已知，求的值． 分析：由无法求出x，y的值，故考虑用整体思想，将整体代入． 解： ． 问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据单项式乘多项式的运算法则、积的乘方法则把原式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 当时， 原式． （2）解：， ， ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查整式的乘法、积的乘方运算、整体代入思想，掌握单项式乘多项式的法则，并能整体代入是解题的关键． 47．（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （）先化简代数式，再整体代入计算即可求解； （）把代数式转化为，再整体代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 48．（24-25八年级上·广西玉林·期末）阅读下列材料，解答下列问题： 例：若满足，求的值． 解：设，，则，． 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你运用这种方法解答下列问题： (1)若满足，则的值=___________； (2)若满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2022 【分析】（1）利用整体思想和完全平方公式可求； （2）利用整体思想和完全平方公式可求，可求解． 【详解】（1）解：设，，则． ∵，∴ ， 故答案为120； （2）解：设，则， ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键． 题型七：多项式乘法中的规律性计算 49．（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）根据所给的四个等式归纳规律解答即可； （2）把，代入（1）中的等式求值即可； （3）根据（1）中得到的规律，在所求的代数式前添加，然后再计算即可． 【详解】（1）解：由所给的四个等式，可归纳出：； 故答案为：； （2）解：当时，； 故答案为：； （3）解：原式 ． 50．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)11，45； (3) (4)32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 51．（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 52．（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 53．（25-26八年级上·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)二 (3)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 则； （2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 54．（25-26八年级上·新疆和田·月考）探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： (1)______． (2)已知，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) 0或 (3) 65536 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）观察已知等式，总结出与到的和相乘的结果规律； （2）利用规律将与相乘，结合已知条件求出的值，再计算的值即可； （3）利用规律先计算，再加上即可． 【详解】（1）解：由已知规律可得． 故答案为：． （2）解：由规律得： ， ，即， 解得：或， 当时，则，与题干矛盾， 当或时，则，符号题意， 或． （3）解：由规律得：， ． 则原式． 55．（25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3）因为， 所以． 所以实数． 因为， 当时，， 所以，． 所以． 56．（25-26八年级上·山东济宁·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)    (3)    (4) (5) 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”的规律以及二项式展开式的应用．充分理解“杨辉三角”的规律与二项式展开式之间的联系是解题的关键． （1）由任何非零数的0次幂均为1可得答案； （2）（3）通过观察前面给出展开式的项数和系数的规律知与的展开式的相关情况 ； （4）由“杨辉三角”的规律继续向下可写出按照a的降幂排列展开式，进而可知第三项的系数是36； （5）根据前面的规律将给定的式子转化为的形式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，任何非零数的0次幂均为1， ∴1； （2）解：由“杨辉三角”的规律及表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1，即，故，； （3）解：由“杨辉三角”的规律可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1，即，故，； （4）由“杨辉三角”的规律可知有十项，按照a的降幂排列展开式为，故展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是36； （5）解：原式 ． 题型八：运用完全平方式进行计算 57．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式、整式的加减，熟练掌握乘法公式是解题关键．先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 58．（25-26八年级上·四川广元·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 ． 59．（四川宜宾市2025年秋期学校义务教育阶段教学质量监测八年级数学）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值． 先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 60．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值．先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，最后代值计算即可解答． 【详解】解：原式 当时，原式． 61．（24-25七年级上·上海·期中）计算与化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，再利用单项式乘多项式法则计算即可； （3）先利用幂的乘方法则进行计算，再利用同底数幂的乘法法则进行计算，再合并即可； （4）先运用平方差公式进行计算，然后再运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 62．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与多项式乘法法则是解题的关键． 先用完全平方公式，多项式乘以多项式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： 63．（25-26八年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式              第一步                    第二步                      第三步                                 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：该整式计算的正确结果为_______． 【答案】任务一：①，，②三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；任务二： 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握是解题的关键． 任务一：①第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； ②第三步去括号时出现错误； 任务二：正确去括号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：任务一：①第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为， 故答案为：； ②第三步开始出现错误，出现错误的原因括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号， 故答案为：三，括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 任务二： 解：原式 ， 故答案为：． 64．（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）先化简再求值，其中； 【答案】，9 【分析】本题考查整式的化简求值． 先计算乘法公式、单项式乘以多项式，然后合并同类项，最后代入已知条件求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 题型九：通过对完全平方公式变形求值 65．（24-25八年级上·河南商丘·期末），，求下列各式的值： (1)和； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解； （2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 由得：， ∴， 将代入①得：． （2）解：原式， 将，代入原式得，． 66．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 67．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，代入，计算即可； （2）因为，代入，计算可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴． 68．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，其中． (1)求的值（用含的式子表示）； (2)求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式． （1）求出，与比较即可得到的值； （2）根据完全平方公式得到，，开平方得到，进而根据得到． 【详解】（1）解：由题意得， ， ，， ； （2）解：，， ， ， ∴， ， ， ． 69．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据先求出的值，然后再求的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 70．（25-26八年级上·云南昆明·期末）请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： (1)已知，求的值 (2)如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题包含两个小题，均考查完全平方公式的应用与换元法的结合． （1）通过换元将代数式转化为完全平方公式的形式，利用已知条件求解； （2）通过设边长，结合完全平方公式求出乘积，进而计算三角形面积． 【详解】（1）解：设，，则， 且． 由完全平方公式，， 因此； （2）解：设，，则，，，故． 由完全平方公式，，代入得，解得． 在中，，， 因此的面积为． 71．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【教材原题】 （1）通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图可以得到的公式为 ；如图可以得到的公式为 ； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图的图形，根据图中条件， 和4ab之间的等量关系为 ； 【结论应用】 （3）若 则 当时，求 的值； 【答案】（1），（2）（3）①30；②1900 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）图①根据“大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积”解答即可；图②根据“左下角正方形的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-两个长方形的面积” 解答即可； （2）根据“大正方形的面积=小正方形的面积长方形的面积”即可解答； （3）①由题意可得，然后代入相关结论求解即可； ②设，分别求出，，，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）图中大正方形的边长为，两个小正方形的边长分别为a，b，两个长方形的长和宽分别都是a，b， 图中大正方形的面积为两个小正方形的面积分别为，每个长方形的面积为， 又图中“大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积”， ； 图中左下角正方形的边长为，大正方形的边长为a，右上角小正方形的边长为 b，两个长方形的长和宽分别都是a，b， 图②中左下角正方形的面积为大正方形的面积分别为，小正方形的面积分别为，每个长方形的面积为， 又图②中“左下角正方形的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-两个长方形的面积”， 故答案为：； （2）图中大正方形的边长为，小正方形的边长为，两个长方形的长和宽分别都是a，b， 图中大正方形的面积为小正方形的面积为每个长方形的面积为， 又图中“大正方形的面积=小正方形的面积长方形的面积”， 和之间的等量关系为：； 故答案为：； （3）①由（1）可知： ， ， 故答案为：30； 设， ，， ， ， ， 由（2）可知： ． 72．（25-26七年级上·新疆·月考）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，图2可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则_____； 【类比应用】（2）①若，则_____； ②若满足，求的值； 【知识迁移】（3）两块相同的直角三角板（）如图3所示放置，其中，在一直线上，连接，．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）2；（2）①3；②31；（3）30 【分析】本题主要考查了三角形面积公式的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握公式变形，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据完全平方公式进行变形计算即可； （2）①根据，得出，求出，根据，得出；②设，，则，，再根据完全平方公式即可得出答案； （3）设，，根据，，得出，，根据完全平方公式变形求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 故答案为：2． （2）①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：3； ②设，，则， ∴， ∴， 即， ∴． （3）设，， ∵，A，O，D在同一直线上， ，， ，， ∴，， ， ， ． 题型十：乘法公式与几何图形结合的计算 73．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）【教材呈现】教材第118页的第7题： 已知，，求 的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的方法： ， ， ． ， ． 【方法运用】 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【拓展提升】 （3） 如图，已知长方形的周长为40，面积为．以，为边，分别向下，向左作正方形和正方形，点，，，分别在，，，所在的直线上．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）12；（3）180 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）根据代入计算即可； （3）设，，由题意得，，根据求出的值，再由阴影部分的面积为进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）∵， ∴； （3）设，， ∵长方形的周长为40，面积为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 74．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b，阴影部分的面积所揭示的乘法公式是． (1)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，ab之间的等量关系． (2)如图3，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为41，求的面积． (3)若，则________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)10 (3)11 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分面积可进行求解； （2）设，，根据题意得到，，然后利用完全平方公式求得即可求解； （3）设，，则，，利用完全平方公式求得即可． 【详解】（1）解：由题意，图2中阴影部分是边长为的正方形，其面积为， 阴影部分也可以看成是边长为的正方形减去4个长为a，宽为b的长方形，故面积为， ∴， ∴这三个代数式，，之间的等量关系为； （2）解：设，， ∵，两正方形的面积和为， ∴，， 由得， 解得， ∴； （3）解：设，，则， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， 故答案为：11． 75．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）根据图1．通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学公式：，请解答下列问题： (1)请运用这个方法，写出依据图2得出的数学等式： ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1)； (2)45； (3)12． 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积和矩形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形的面积的和等于即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解； 76．（25-26八年级上·云南昆明·期末）探究：把四块如图1所示的小正方形，按图2所示的方式摆放在一个大正方形的四角，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的长方形．根据图2中图形的面积可以说明的公式为_____； 应用：如图3，已知C是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若,，求阴影部分的面积； 拓展：已知，，求的最小值． 【答案】探究：；应用：；拓展： 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用； 探究：图1所示的小正方形的边长为，个图1所示的小正方形的面积为，空白部分的面积为，大正方形的面积为，即可求解； 应用：设，，则有，由已知的面积得，结合探究中的公式即可求解； 拓展：，即可求解． 【详解】解：探究： 图1所示的小正方形的边长：， 个图1所示的小正方形的面积：， 空白部分的面积：， 大正方形的面积：， ， 故答案为． 应用： 设，， ， ， ， ， 、为等腰直角三角形， ， ， ， ， 解得， 阴影部分的面积：； 拓展： ， 的最小值为． 77．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 78．（25-26八年级上·广东广州·期中）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，验证见解析 (2)需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张 (3)阴影部分的面积为 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）图的正方形的边长为，是由1张纸片A，1张纸片B，2张纸片C拼成的，根据面积相等即可求解； （2）计算，即可求解； （3）设，则，，由（1）的结论可求出的值，进而求出三角形的面积． 【详解】（1）解：图②整体上是边长为的正方形，因此面积为，图②中四个部分的面积和为， 所以有， 验证，． （2）解：，而纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为， 需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． （3）解：设，则， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 79．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到代数恒等式． ②如图2，是用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在南安首届航空航天国防科普展中，面积为208平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区，中间重合部分搭建长方形互动体验台米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为48米，求展厅的长比宽多多少米？ 【答案】(1) (2)13 (3)3米 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据代入数值计算即可； （2）设，根据题意可得，，根据代入数值计算即可； （3）设米，米，根据题意可得米，米，根据长方形的周长公式可得米；求出米，米，进而推出，根据长方形的面积公式可得，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：设米，米， ∴米，米， ∵阴影部分为参观区域，参观区域总周长为48米， ∴米， ∴米； ∵米，米， ∴米，米， ∴， ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即， ∴展厅的长比宽多3米． 80．（25-26八年级上·山西大同·期末）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 【答案】（1）；；（2）5；（3）5；（4）2． 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用． （1）由题意知，； 由题意知，； （2）将，代入，计算求解即可； （3）由题意知，，根据，计算求值即可； （4）由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据，计算求值即可． 【详解】解：（1）由题意知，， 故答案为：； 由题意知，， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：5； （3）解：由题意知，， ∴； （4）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 题型十一：整式乘法的新定义计算 81．（24-25七年级下·四川成都·期末）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 82．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 83．（24-25七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 84．（24-25八年级上·吉林·期末）将四个数a，b，c，d排列成2行，2列，记作，定义=ad-bc，上述记号就叫2阶行列式． （1）根据定义，化简； （2）请将（1）中的化简结果因式分解； （3）请直接写出（1）中化简结果有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】（1）；（2）；（3）小， 【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）根据中，=0时有最值可得结论． 【详解】解：（1）原式=（3x+2）2-（x+2）（x+10） = 9x2+12x+4-（x2+12x+20） = 8x2-16； （2）8x2-16 =8（x2-2）； （3）由（1）得8x2-16，当8x2=0时有最小值，是-16． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 85．（2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 86．（2025七年级上·全国·专题练习）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ，即， 解得； （2）解： ， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． 87．（25-26八年级上·河南周口·月考）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 88．（24-25八年级上·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 【答案】(1)19 (2)0 (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中计算即可； （3）根据题意，可知，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式乘法88道计算题专项训练 题型一：单项式乘单项式及其求值 题型二：单项式乘多项式及其求值 题型三：多项式乘多项式 题型四：多项式乘多项式的化简求值 题型五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型六：多项式乘法中的整体性计算 题型七：多项式乘法中的规律性计算 题型八：运用完全平方式进行计算 题型九：通过对完全平方公式变形求值 题型十：乘法公式与几何图形结合的计算 题型十一：整式乘法的新定义计算 题型一：单项式乘单项式及其求值 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算． (1) (2) 2．（25-26七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·全国·专题练习）计算： (1)；24-25 (2)； (3)； (4)； (5)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算：． 6．（25-26八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：单项式乘多项式及其求值 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（25-26七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：．其中，． 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中． 12．（25-26八年级上·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 13．（25-26八年级上·河南新乡·期中）先化简，再求值：，其中； 14．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 16．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 题型三：多项式乘多项式 17．（24-25七年级上·上海虹口·月考）计算： 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 19．（24-25七年级下·河北保定·期中）回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）化简：． 21．（24-25八年级上·吉林延边·期末）计算：． 22．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）计算：． 23．（24-25八年级上·广东广州·期中）化简：． 24．（24-25八年级上·福建厦门·期中）已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 题型四：多项式乘多项式的化简求值 25．（25-26八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 26．（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 27．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 28．（25-26八年级上·山东德州·月考）化简求值：，其中，． 29．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 30．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 31．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 32．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 题型五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 33．（25-26八年级上·陕西安康·月考）若的积中不含x项与项，求p，q的值． 34．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 35．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 36．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 37．（25-26八年级上·吉林松原·期中）下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 38．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 39．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 40．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若展开后不含项，求a、m的值． 题型六：多项式乘法中的整体性计算 41．（24-25七年级上·天津河西·期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛 例如：把看作一个整体，计算 解：设，则原式 可参考以上想法解答下面问题： (1)计算： (2)计算：利用分配律，试计算的结果； (3)求值：已知，，，求的值 42．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．可将变形为，将变形为，再将整体代换为1，得．请尝试应用“整体思想”解决以下问题：已知，若，求A的值． 43．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 我们知道，类似地，若把看成一个整体，则． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并__________． (2)已知，求代数式的值． (3)已知：，，，求代数式的值． 44．（25-26七年级下·全国·专题练习）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 45．（24-25七年级上·陕西西安·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+6)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b) (1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______； (2)尝试应用：已知x2-2y=1，求3x2-6y-2021的值． (3)拓广探索：已知xy+x=-6，y-xy=-2．求代数式的值． 46．（25-26八年级上·全国·单元测试）先阅读下面的材料，再解答问题： 已知，求的值． 分析：由无法求出x，y的值，故考虑用整体思想，将整体代入． 解： ． 问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 47．（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 48．（24-25八年级上·广西玉林·期末）阅读下列材料，解答下列问题： 例：若满足，求的值． 解：设，，则，． 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你运用这种方法解答下列问题： (1)若满足，则的值=___________； (2)若满足，求的值． 题型七：多项式乘法中的规律性计算 49．（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 50．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 51．（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 52．（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 53．（25-26八年级上·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 54．（25-26八年级上·新疆和田·月考）探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： (1)______． (2)已知，求的值． (3)计算：． 55．（25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 56．（25-26八年级上·山东济宁·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 题型八：运用完全平方式进行计算 57．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）计算：． 58．（25-26八年级上·四川广元·期末）计算： 59．（四川宜宾市2025年秋期学校义务教育阶段教学质量监测八年级数学）先化简，再求值： ，其中，． 60．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）先化简，再求值：，其中． 61．（24-25七年级上·上海·期中）计算与化简： (1) (2) (3) (4) 62．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 63．（25-26八年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式              第一步                    第二步                      第三步                                 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：该整式计算的正确结果为_______． 64．（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）先化简再求值，其中； 题型九：通过对完全平方公式变形求值 65．（24-25八年级上·河南商丘·期末），，求下列各式的值： (1)和； (2)． 66．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 67．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知，．求： (1)； (2)． 68．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，其中． (1)求的值（用含的式子表示）； (2)求的值． 69．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 70．（25-26八年级上·云南昆明·期末）请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： (1)已知，求的值 (2)如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 71．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【教材原题】 （1）通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图可以得到的公式为 ；如图可以得到的公式为 ； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图的图形，根据图中条件， 和4ab之间的等量关系为 ； 【结论应用】 （3）若 则 当时，求 的值； 72．（25-26七年级上·新疆·月考）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，图2可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则_____； 【类比应用】（2）①若，则_____； ②若满足，求的值； 【知识迁移】（3）两块相同的直角三角板（）如图3所示放置，其中，在一直线上，连接，．若，请直接写出的面积． 题型十：乘法公式与几何图形结合的计算 73．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）【教材呈现】教材第118页的第7题： 已知，，求 的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的方法： ， ， ． ， ． 【方法运用】 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【拓展提升】 （3） 如图，已知长方形的周长为40，面积为．以，为边，分别向下，向左作正方形和正方形，点，，，分别在，，，所在的直线上．求图中阴影部分的面积． 74．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b，阴影部分的面积所揭示的乘法公式是． (1)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，ab之间的等量关系． (2)如图3，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为41，求的面积． (3)若，则________．（直接写出结果） 75．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）根据图1．通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学公式：，请解答下列问题： (1)请运用这个方法，写出依据图2得出的数学等式： ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 76．（25-26八年级上·云南昆明·期末）探究：把四块如图1所示的小正方形，按图2所示的方式摆放在一个大正方形的四角，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的长方形．根据图2中图形的面积可以说明的公式为_____； 应用：如图3，已知C是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若,，求阴影部分的面积； 拓展：已知，，求的最小值． 77．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 78．（25-26八年级上·广东广州·期中）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 79．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到代数恒等式． ②如图2，是用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在南安首届航空航天国防科普展中，面积为208平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区，中间重合部分搭建长方形互动体验台米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为48米，求展厅的长比宽多多少米？ 80．（25-26八年级上·山西大同·期末）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 题型十一：整式乘法的新定义计算 81．（24-25七年级下·四川成都·期末）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 82．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 83．（24-25七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 84．（24-25八年级上·吉林·期末）将四个数a，b，c，d排列成2行，2列，记作，定义=ad-bc，上述记号就叫2阶行列式． （1）根据定义，化简； （2）请将（1）中的化简结果因式分解； （3）请直接写出（1）中化简结果有最 值（填“大”或“小”），是 ． 85．（2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 86．（2025七年级上·全国·专题练习）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 87．（25-26八年级上·河南周口·月考）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 88．（24-25八年级上·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $