第7章 幂的运算 单元复习（5大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学幂的运算单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点、常考考点与高频易错点，将同底数幂乘除、幂的乘方等内容按运算类型整合，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础运算到规律探究逐步提升，如通过“整体代入法求幂的值”培养推理意识，结合“符号三步判断”等纠错技巧强化运算能力。同步练习覆盖不同难度，助力学生自主复习，教师可精准实施分层教学。

第7章 幂的运算 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.同底数幂的乘法 1.同底数幂乘法法则的正用与逆用； 2.含符号的同底数幂乘法计算； 3.结合方程求指数中字母的值 1.混淆同底数幂乘法与合并同类项（如误算为）； 2.忽略底数符号的一致性（如误算为）； 3.逆用法则时漏拆指数（如仅拆为，忽略多种拆分形式） 2.幂的乘方与积的乘方 1.幂的乘方、积的乘方法则的正用与逆用； 2.幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算； 3.积的乘方中含系数、多个因式的计算 1.混淆幂的乘方与同底数幂乘法（如误算为）； 2.积的乘方漏乘系数的方（如误算为）； 3.含负号的幂的乘方判断符号错误（如误算为） 3.同底数幂的除法 1.同底数幂除法法则的正用与逆用； 2.零指数幂、负整数指数幂的计算； 3.乘除混合运算的顺序应用 1.零指数幂忽略底数不为0的前提（如误算为1）； 2.负整数指数幂转化错误（如误算为）； 3.除法运算中底数为分数时处理不当（如误算为） 4.科学记数法 1.用科学记数法表示绝对值小于1的数； 2.科学记数法的逆用（还原小数）； 3.含科学记数法的简单乘除运算 1.确定负指数时数错0的个数（如0.00001误表示为）； 2.混淆科学记数法的形式（如未化为）； 3.还原时小数点移动方向错误 5.幂的混合运算 1.含乘方、乘除、零/负指数的混合运算； 2.利用幂的运算进行简便计算； 3.整体代入法求幂的代数式的值 1.混合运算运算顺序错误（先乘除后乘方）； 2.简便计算时未逆用积的乘方（如直接硬算）； 3.整体代入时未将幂化为同底数 【易错题型】 【题型1】幂的运算法则的混淆与符号错误 1.易错点总结 -法则混淆：将同底数幂乘法（指数加）、幂的乘方（指数乘）、积的乘方（因式分别乘方）互相混淆，核心是对运算本质理解不清； -符号失误：含负号的幂运算中，未判断指数奇偶性对符号的影响，尤其积的乘方和幂的乘方的符号判断； -前提忽略：零指数幂、负整数指数幂计算时，漏看底数≠0的关键前提，导致无意义的计算。 2.纠错技巧 -法则口诀记忆：同底相乘指数加，幂的乘方指数乘，积的乘方各乘方，同底相除指数减，明确各法则的核心差异； -符号三步判断：①先定底数符号；②再看指数奇偶；③最后确定结果符号（如）； -前提标注习惯：计算零/负指数幂时，先标注底数≠0，再进行运算，避免前提错误。 【例题1】.（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 【变式题1-1】.（25-26七年级下·重庆长寿·月考）计算 (1)； (2)． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·江苏无锡·月考）化简 (1)． (2)． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）计算： (1) (2) 【基础题型】 【题型2】同底数幂的乘法基础运算 1.考点总结 -核心法则：（，为整数）的正用； -含符号的同底数幂乘法（如、）； -简单逆用：已知幂的乘积，拆分指数求未知幂（如由求）。 2.解题技巧 -底数统一：先将不同底数化为相同底数（如），再用法则； -符号先行：含负号的同底数幂相乘，先根据指数和的奇偶定符号，再算指数； -逆用关键：拆指数时遵循指数相加原则，按需拆分（如）。 【例题2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）计算的结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）______． 【变式题2-2】.（2026·江西南昌·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·安徽·模拟预测）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】幂的乘方与积的乘方基础计算 1.考点总结 -核心法则：、（，为整数）的正用； -单一法则的简单应用，含系数、单字母的幂的乘方/积的乘方； -法则的简单逆用（如由求）。 2.解题技巧 -幂的乘方：底数不变，指数严格相乘，避免与同底数幂乘法混淆； -积的乘方：系数、每个因式分别乘方，再将结果相乘，切勿漏乘系数； -逆用技巧：积的乘方逆用核心是凑相同指数（如），幂的乘方逆用是拆指数为乘积（如）。 【例题3】.（2026·陕西西安·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）计算：_____ ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1) (2) 【题型4】同底数幂的除法基础运算 1.考点总结 -核心法则：（，为整数）的正用； -零指数幂：（）、负整数指数幂：（，为正整数）的直接计算； -简单的乘除混合运算。 2.解题技巧 -底数一致：除法运算前先统一底数，确保与法则要求一致； -负指数转化：负指数变倒数，指数变正（如），分数底数直接颠倒（如）； -混合顺序：从左到右依次计算，先算乘方，再算乘除。 【例题4】.（25-26九年级下·上海杨浦·月考）计算：______． 【变式题4-1】.（2026·安徽蚌埠·二模）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026六年级下·全国·专题练习）计算： ___________． 【变式题4-3】.（21-22六年级下·山东泰安·月考）计算： (1) (2) 【题型5】科学记数法表示绝对值小于1的数 1.考点总结 -核心形式：（，为正整数）； -确定的值：为原数左起第一个非0数字前所有0的个数（含小数点前的0）； -科学记数法的简单还原（将还原为小数）。 2.解题技巧 -定：取原数中第一个非0数字及其后一位数字，保证； -数：从小数点后开始数，直到第一个非0数字，数出的0的个数即为； -还原技巧：将的小数点向左移动位，不足的位补0（如）。 【例题5】.（2026·青海西宁·一模）虎台中学某实验室使用的超薄芯片厚度为0.000086米，用科学记数法表示为______米． 【变式题5-1】.（甘肃省2023年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试九年级数学试题（黑白卷））钾-氩定年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26九年级下·北京·月考）科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）最近气温骤降，正值感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们需注意防寒保暖．有一种感冒病毒的直径约为米，数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【提升题型】 【题型6】幂的混合运算（含零/负指数） 1.考点总结 -含乘方、乘除、零指数、负整数指数的混合运算； -混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减； -含括号的幂的混合运算，先算括号内的。 2.解题技巧 -分步运算：将混合运算拆分为乘方运算、零/负指数运算、乘除运算三步，分步计算； -符号优先：每一步运算先确定结果的符号，再计算数值； -化简原则：计算过程中及时将负指数化为正指数、分数化为最简，简化后续计算。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (3) (4)，（） 【变式题6-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题6-2】.（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）计算题： (1)； (2)； 【变式题6-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型7】利用幂的运算进行简便计算 1.考点总结 -逆用积的乘方：进行凑整计算（如）； -逆用同底数幂乘/除法：凑相同底数进行简便运算； -含指数差的简便计算（如）。 2.解题技巧 -凑整核心：寻找乘积为1或10的整数倍的底数，逆用积的乘方凑整（如）； -同底凑数：将不同指数的同底数幂，根据运算法则凑成易计算的数； -指数拆分：按需拆分指数，凑出相同指数或凑整的形式。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·单元测试）简便计算：． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·上海·月考）用简便方法进行计算： 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式题7-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型8】整体代入法求幂的代数式的值 1.考点总结 -已知若干个幂的值，利用幂的运算法则将所求代数式化为已知幂的组合； -核心是同底数化和指数变形，将未知幂转化为已知幂； -含方程的整体代入（如已知，求）。 2.解题技巧 -目标变形：先将所求代数式根据幂的运算法则变形（如乘方变乘积、除法变减法）； -同底统一：将变形后的代数式化为与已知幂同底数的形式； -代入计算：将已知条件整体代入变形后的式子，计算结果。 【例题8】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若，，则________． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，①求的值；②求的值． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏镇江·月考）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【培优题型】 【题型9】利用幂的运算比较数的大小 1.考点总结 -核心方法：同指数法和同底数法，将不同幂化为同指数或同底数再比较； -含大数的幂的大小比较（如、、）； -结合积的乘方的大小比较（如与）。 2.解题技巧 -同指数法：将不同幂化为相同指数，比较底数大小（底数>1时，底数大的幂大）； -同底数法：将不同幂化为相同底数，比较指数大小（底数>1时，指数大的幂大）； -乘积凑整：含乘积的幂比较，逆用积的乘方凑出相同部分，比较不同部分（如）。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）（1）比较、、的大小； （2）比较、、的大小； （3）已知正数a和b满足，，比较a、b的大小． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·吉林白城·月考）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【变式题9-3】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【题型10】幂的运算的规律探究问题 1.考点总结 -探究幂的个位数字规律（如的个位数字循环规律）； -探究幂的运算中的数值变化规律，根据规律求解未知项； -结合阅读材料的规律探究，模仿材料方法解决问题。 2.解题技巧 -个位规律：通过计算前几个幂的个位数字，找出循环周期，利用周期求解； -数值规律：计算前3-4个式子的结果，分析指数与结果的关系，总结规律； -模仿解题：阅读材料类规律题，严格模仿材料的方法（如错位相减法），步骤一致求解。 【例题10】.（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【变式题10-1】.（23-24七年级下·安徽安庆·月考）如图是一块正方形纸板，边长为1，面积记为，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，图④，…， (1)第5个图形的面积______； (2)记第n块纸板的面积为，则______．（用含n的代数式表示） (3)若，求n的值． 【变式题10-2】.（23-24七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【变式题10-3】.（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 同步练习 一、单选题 1．截止到2025年2月15日，电影《哪吒之魔童闹海》的累计票房达到112.2亿，112.2亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．化简：___________． 6．已知，，，请用“”把a、b、c连起来________． 7．已知，则__________． 8．计算：____________． 三、解答题 9．已知，，求： (1)的值． (2)的值． 10．计算： (1)； (2) 11．将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 12．按要求完成下列计算： (1)已知，则______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.同底数幂的乘法 1.同底数幂乘法法则的正用与逆用； 2.含符号的同底数幂乘法计算； 3.结合方程求指数中字母的值 1.混淆同底数幂乘法与合并同类项（如误算为）； 2.忽略底数符号的一致性（如误算为）； 3.逆用法则时漏拆指数（如仅拆为，忽略多种拆分形式） 2.幂的乘方与积的乘方 1.幂的乘方、积的乘方法则的正用与逆用； 2.幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算； 3.积的乘方中含系数、多个因式的计算 1.混淆幂的乘方与同底数幂乘法（如误算为）； 2.积的乘方漏乘系数的方（如误算为）； 3.含负号的幂的乘方判断符号错误（如误算为） 3.同底数幂的除法 1.同底数幂除法法则的正用与逆用； 2.零指数幂、负整数指数幂的计算； 3.乘除混合运算的顺序应用 1.零指数幂忽略底数不为0的前提（如误算为1）； 2.负整数指数幂转化错误（如误算为）； 3.除法运算中底数为分数时处理不当（如误算为） 4.科学记数法 1.用科学记数法表示绝对值小于1的数； 2.科学记数法的逆用（还原小数）； 3.含科学记数法的简单乘除运算 1.确定负指数时数错0的个数（如0.00001误表示为）； 2.混淆科学记数法的形式（如未化为）； 3.还原时小数点移动方向错误 5.幂的混合运算 1.含乘方、乘除、零/负指数的混合运算； 2.利用幂的运算进行简便计算； 3.整体代入法求幂的代数式的值 1.混合运算运算顺序错误（先乘除后乘方）； 2.简便计算时未逆用积的乘方（如直接硬算）； 3.整体代入时未将幂化为同底数 【易错题型】 【题型1】幂的运算法则的混淆与符号错误 1.易错点总结 -法则混淆：将同底数幂乘法（指数加）、幂的乘方（指数乘）、积的乘方（因式分别乘方）互相混淆，核心是对运算本质理解不清； -符号失误：含负号的幂运算中，未判断指数奇偶性对符号的影响，尤其积的乘方和幂的乘方的符号判断； -前提忽略：零指数幂、负整数指数幂计算时，漏看底数≠0的关键前提，导致无意义的计算。 2.纠错技巧 -法则口诀记忆：同底相乘指数加，幂的乘方指数乘，积的乘方各乘方，同底相除指数减，明确各法则的核心差异； -符号三步判断：①先定底数符号；②再看指数奇偶；③最后确定结果符号（如）； -前提标注习惯：计算零/负指数幂时，先标注底数≠0，再进行运算，避免前提错误。 【例题1】.（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 【答案】7 【详解】 【变式题1-1】.（25-26七年级下·重庆长寿·月考）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关于幂的运算法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项； （2）根据关于幂的运算法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·江苏无锡·月考）化简 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的运算法则进行计算，再合并同类项即可； （2）利用同底数幂的乘法和除法公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先变形，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 【基础题型】 【题型2】同底数幂的乘法基础运算 1.考点总结 -核心法则：（，为整数）的正用； -含符号的同底数幂乘法（如、）； -简单逆用：已知幂的乘积，拆分指数求未知幂（如由求）。 2.解题技巧 -底数统一：先将不同底数化为相同底数（如），再用法则； -符号先行：含负号的同底数幂相乘，先根据指数和的奇偶定符号，再算指数； -逆用关键：拆指数时遵循指数相加原则，按需拆分（如）。 【例题2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）计算的结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接运用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法解决此题． 【详解】解：． 【变式题2-2】.（2026·江西南昌·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵，∴A错误； B．∵，∴B错误； C．∵，∴C正确； D．∵，∴D错误． 【变式题2-3】.（2026·安徽·模拟预测）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项与同底数幂的乘法运算，利用同底数幂相等则指数相等的性质化简等式，即可得到与的关系. 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 【题型3】幂的乘方与积的乘方基础计算 1.考点总结 -核心法则：、（，为整数）的正用； -单一法则的简单应用，含系数、单字母的幂的乘方/积的乘方； -法则的简单逆用（如由求）。 2.解题技巧 -幂的乘方：底数不变，指数严格相乘，避免与同底数幂乘法混淆； -积的乘方：系数、每个因式分别乘方，再将结果相乘，切勿漏乘系数； -逆用技巧：积的乘方逆用核心是凑相同指数（如），幂的乘方逆用是拆指数为乘积（如）。 【例题3】.（2026·陕西西安·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式题3-1】.（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）计算：_____ ． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，把原式变形为，进一步根据积的乘方的逆运算得到，据此求解即可． 【详解】解： ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，故本选项计算错误，不符合题意； 、，故本选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，故本选项计算错误，不符合题意； 、，故本选项计算正确，符合题意． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1)102 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】同底数幂的除法基础运算 1.考点总结 -核心法则：（，为整数）的正用； -零指数幂：（）、负整数指数幂：（，为正整数）的直接计算； -简单的乘除混合运算。 2.解题技巧 -底数一致：除法运算前先统一底数，确保与法则要求一致； -负指数转化：负指数变倒数，指数变正（如），分数底数直接颠倒（如）； -混合顺序：从左到右依次计算，先算乘方，再算乘除。 【例题4】.（25-26九年级下·上海杨浦·月考）计算：______． 【答案】 y 【分析】按照运算法则先计算乘方，再计算除法即可得到结果. 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（2026·安徽蚌埠·二模）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据积的乘方法则化简，再根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算. 【详解】解：  ． 故选：D． 【变式题4-2】.（2026六年级下·全国·专题练习）计算： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 【变式题4-3】.（21-22六年级下·山东泰安·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型5】科学记数法表示绝对值小于1的数 1.考点总结 -核心形式：（，为正整数）； -确定的值：为原数左起第一个非0数字前所有0的个数（含小数点前的0）； -科学记数法的简单还原（将还原为小数）。 2.解题技巧 -定：取原数中第一个非0数字及其后一位数字，保证； -数：从小数点后开始数，直到第一个非0数字，数出的0的个数即为； -还原技巧：将的小数点向左移动位，不足的位补0（如）。 【例题5】.（2026·青海西宁·一模）虎台中学某实验室使用的超薄芯片厚度为0.000086米，用科学记数法表示为______米． 【答案】 【详解】解：0.000086米，用科学记数法表示为． 【变式题5-1】.（甘肃省2023年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试九年级数学试题（黑白卷））钾-氩定年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 【变式题5-2】.（25-26九年级下·北京·月考）科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：75纳米米； 故. 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）最近气温骤降，正值感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们需注意防寒保暖．有一种感冒病毒的直径约为米，数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示应为． 【提升题型】 【题型6】幂的混合运算（含零/负指数） 1.考点总结 -含乘方、乘除、零指数、负整数指数的混合运算； -混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减； -含括号的幂的混合运算，先算括号内的。 2.解题技巧 -分步运算：将混合运算拆分为乘方运算、零/负指数运算、乘除运算三步，分步计算； -符号优先：每一步运算先确定结果的符号，再计算数值； -化简原则：计算过程中及时将负指数化为正指数、分数化为最简，简化后续计算。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (3) (4)，（） 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式题6-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算同底数幂的除法，再进行积的乘方运算即可得到答案； （2）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （3）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （4）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题6-2】.（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）计算题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方、零次幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式相乘，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式题6-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，熟练掌握相关运算的法则是关键． （1）先将零指数幂化简，再按照有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）先将零指数幂化简，再按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型7】利用幂的运算进行简便计算 1.考点总结 -逆用积的乘方：进行凑整计算（如）； -逆用同底数幂乘/除法：凑相同底数进行简便运算； -含指数差的简便计算（如）。 2.解题技巧 -凑整核心：寻找乘积为1或10的整数倍的底数，逆用积的乘方凑整（如）； -同底凑数：将不同指数的同底数幂，根据运算法则凑成易计算的数； -指数拆分：按需拆分指数，凑出相同指数或凑整的形式。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·单元测试）简便计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了积的乘方逆用，根据积的乘方法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·上海·月考）用简便方法进行计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．把拆分为，再利用积的乘方的逆运算，将与结合起来进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用积的乘方运算法则将原式化成符合逆用幂的乘方运算法则的形式，然后再计算即可； （2）先逆用积的乘方运算法则将原式化成符合逆用幂的乘方运算法则的形式，然后再计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式题7-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆应用简化运算即可； （2）根据积的乘方的逆应用和幂的乘方简化运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型8】整体代入法求幂的代数式的值 1.考点总结 -已知若干个幂的值，利用幂的运算法则将所求代数式化为已知幂的组合； -核心是同底数化和指数变形，将未知幂转化为已知幂； -含方程的整体代入（如已知，求）。 2.解题技巧 -目标变形：先将所求代数式根据幂的运算法则变形（如乘方变乘积、除法变减法）； -同底统一：将变形后的代数式化为与已知幂同底数的形式； -代入计算：将已知条件整体代入变形后的式子，计算结果。 【例题8】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若，，则________． 【答案】 【详解】解：． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)81 (2)32 【分析】（）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，①求的值；②求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，解题关键是熟练运用幂的运算性质，将所求式子转化为已知条件的形式进行计算． （1）直接利用同底数幂的乘法法则：，将式子转化为已知的和的乘积形式，再代入数值计算； （2）①直接利用幂的乘方法则：，将式子转化为已知的的三次方形式，再代入数值计算． ②先利用同底数幂的乘法法则将其拆分为，再利用幂的乘方法则将转化为，最后代入已知的和的值计算． 【详解】（1）解：，， ； （2）①， ； ②，且， 又，， ，， ． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏镇江·月考）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)；②； (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法的计算方法将转化为，将转化为，然后代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法将原式化为，进而得到，求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ； ②， ； （2）解：， ， 解得 【培优题型】 【题型9】利用幂的运算比较数的大小 1.考点总结 -核心方法：同指数法和同底数法，将不同幂化为同指数或同底数再比较； -含大数的幂的大小比较（如、、）； -结合积的乘方的大小比较（如与）。 2.解题技巧 -同指数法：将不同幂化为相同指数，比较底数大小（底数>1时，底数大的幂大）； -同底数法：将不同幂化为相同底数，比较指数大小（底数>1时，指数大的幂大）； -乘积凑整：含乘积的幂比较，逆用积的乘方凑出相同部分，比较不同部分（如）。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）（1）比较、、的大小； （2）比较、、的大小； （3）已知正数a和b满足，，比较a、b的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查幂的乘法逆运算，同底数幂的逆运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）逆用幂的乘方进行变形，然后根据指数相同的幂的值，底数越大，结果越大可得答案． （2）将，，化为同底数幂，再根据底数为，指数越大，幂越大，进行比较，即可解题． （3）由，，可以得到，，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，即， （2），，． 因为， 所以，即． （3）∵，， ∴，， ∴， 又∵a、b都是正数 ∴． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方的逆用．把原式变为同指数的幂，比较底数的大小即可． 【详解】解：因为，， 而， 所以． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·吉林白城·月考）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 【题型10】幂的运算的规律探究问题 1.考点总结 -探究幂的个位数字规律（如的个位数字循环规律）； -探究幂的运算中的数值变化规律，根据规律求解未知项； -结合阅读材料的规律探究，模仿材料方法解决问题。 2.解题技巧 -个位规律：通过计算前几个幂的个位数字，找出循环周期，利用周期求解； -数值规律：计算前3-4个式子的结果，分析指数与结果的关系，总结规律； -模仿解题：阅读材料类规律题，严格模仿材料的方法（如错位相减法），步骤一致求解。 【例题10】.（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 【变式题10-1】.（23-24七年级下·安徽安庆·月考）如图是一块正方形纸板，边长为1，面积记为，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，图④，…， (1)第5个图形的面积______； (2)记第n块纸板的面积为，则______．（用含n的代数式表示） (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的规律探究，幂的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，整理作答即可； （3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， 故答案为： ； （3）解：由题意知，， 解得，， ∴的值为5． 【变式题10-2】.（23-24七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是找出规律，进行简便计算． （1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案； （2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案； （3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故答案为：； （3）解：             ． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 同步练习 一、单选题 1．截止到2025年2月15日，电影《哪吒之魔童闹海》的累计票房达到112.2亿，112.2亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据定义确定和的值即可； 【详解】 亿，且， ． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】个a相乘可表示为，再根据幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：． 3．下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可求解． 【详解】解：对选项A：∵ ，∴ 结果符合要求， 对选项B：∵ ，∴ 结果不符合要求， 对选项C：∵ ，∴ 结果不符合要求， 对选项D：∵ ，∴ 结果不符合要求， 4．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，负整数指数幂进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 二、填空题 5．化简：___________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，最终将结果化为正整数指数形式即可． 【详解】解：． 6．已知，，，请用“”把a、b、c连起来________． 【答案】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的性质求得，，的值，再从小到大排列即可． 【详解】解：，，， ． 7．已知，则__________． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方法则把原式变为，得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得． 8．计算：____________． 【答案】 【分析】把原式变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ． 三、解答题 9．已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ，， ． 10．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）逆用同底数幂的除法及幂的乘方即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ，， ； （2）解：， ， ． 12．按要求完成下列计算： (1)已知，则______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)8 (3) 【分析】（1）根据乘方，同底数幂的乘法求解即可； （2）化成以3为底数的幂的乘法求解即可； （3）应用幂的乘方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：根据题意，得， 由，， 得． 学科网（北京）股份有限公司 $