7.3.2正弦型函数的性质与图像 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的性质与图像，涵盖基本形式、性质及图像变换，通过弹簧小球运动、交流电流等物理情境导入，从y=2sinx、y=sin(x+π/3)到复合函数分步探究，构建参数A、ω、φ对图像影响的知识支架。 其亮点在于以情境问题驱动，用数学眼光抽象现实问题，通过换元法、五点法作图培养数学思维，明确图像变换两种途径及“针对自变量x”的微提醒强化数学语言表达。实例如由图像求解析式、性质应用等，帮助学生深化理解，教师可借助清晰结构提升教学效率，学生通过探究发展创新意识和理性精神。

第七章 三角函数 7.3.2正弦型函数的性质与图像 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1.基本形式 正弦型函数y=Asin(ωx+φ),(A≠0 ω≠0） |A|：振幅； φ：初相； T=:周期； f==：频率. 2.重要性质 定义域：R；值域：[−A,A]； 奇偶性：当 时为奇函数/当 时为偶函数； 对称性：对称轴：ωx+φ=​+kπ/对称中心：ωx+φ=kπ，对应点 (​,0)； 单调性：增区间：≤ωx+φ≤/减区间：≤ωx+φ≤； 3.常考题型 1.求解析式 2.三角函数性质的综合应用 3.图像平移与伸缩变换 情境与问题 如图7-3-7所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧 的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之 间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置.将小球拉离平衡位 置之后释放，则小球将左右运动.从某一时刻开始，如果记ts后小球的位移为xcm，则由物理学知识可知x与t 的关系可以写成x=Asin(ωt+φ)的形式，其中A，ω，φ都是常数. 日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i=Imsin(ωt+φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数. 显然，上述x与i都是t的函数.那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？ 探究新知 一般地，形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数，在物理、工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0 ω≠0.下面我们通过实例来研究这类函数的性质和图象. 探究函数y=2sin x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象. 例1 解 可以看出，函数y=2sinx的定义域为R  因为-1≤sinx≤1，所以 -2≤2sinx≤2 又因为sinx=1时， y=2sinx=2;sinx=-1时， y=2sinx=-2，所以y=2sinx 的值域为[-2,2]     函数y=2sinx是周期函数，周期是2π．(f(x+2π)=f(x)) 下面我们用五点法作出y=2sinx在[0,2π]上的图象.取点列表如下. 描点作图，如图7-3-8所示． 由图7-3-8可以看出， y=2sinx的图象可由y=sinx的图象上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到. 函数的图象,可以看作是把 的图象上所有点的 纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的 倍（横坐标不变）而 得到的. 一般地，函数y=Asinx (A≠0)的定义域为R，值域为［-|A|，|A|]，周期是2π． 探究新知 例2  探究函数y=sin(x+​)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象. 解 令u=x+，则y=sin(x+​)可以化成y=sinu.由y=sinu的定义域为R，值域为[-1,1]可以看出y=sin(x+​)的定义域为R，值域为［-1,1]． 由y=sinu的周期为2π可知y=sin(x+​)的周期也为2π． 当u∈[0,2π]时，即0≤u≤2π时，我们有0≤x+≤2π，即-≤x≤,所以下面我们用五点法作出y=sin(x+​)在[-,]上的图象.取点列表如下.(换元法，u的五点对应求x的五点） 探究新知 例2  探究函数y=sin(x+​)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象. 描点作图，如图7-3-9所示． 由图7-3-9可以看出，y=sin(x+​) 的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到. 函数的图象，可以看作是把 的图象上所有的点向左(当时)或向右(当时)平移 个单位长度而得到的（可简记为“左加右减”）． 一般地，函数y=sin(x+φ)的定义域为R，值域为[-1 1],，周期是2π． 探究新知 例3 解 探究函数y=sin2x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象. 令u=2x，则y=sin2x可以化成y=sinu.由y=sinu的定义域为R，值域为[-1 1]，可以看出y=sin2x的定义域为R，值域为［-1,1]． 由y=sinu的周期为2π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u+2π时，对应的函数值才重复出现.因为u+2π=2x+2π=2(x+π),这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x+π时，y=sin2x的函数值才重复出现，这就说明y=sin2x的周期为π． 当u∈[0，2π]时，即0≤u≤2π时，我们有0≤2x≤2π，即0≤x≤π, 所以下面我们用五点法(换元法，u的五点对应求x的五点）作出y=sin2x在［0，π］上的图象.取点列表如下. 例3 探究函数y=sin2x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象. 描点作图，如图7-3-10所示． 由图7-3-10可以看出， y=sin2x的图象可由y=sinx的图象上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的得到. 函数的图象，可以看作是把 的图象上所有点 的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变） 而得到的. 一般地，函数y=sinωx (ω≠0)的定义域为R，值域为［-1，1]，周期是 探究新知 例4 解 探究函数y=3sin(2x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象. 令u=2x+则y=3sin(2x+)可以化成y=3sinu.由y=3sinu的定义域为R，值域为[-3,3] 可以看出y=3sin(2x+)的定义域为R，值域为［-3,3]． 由y=3sinu的周期为2π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u+2π时，对应的函数值才重复出现，因为u+2π=2x++2π=2(x+π)+这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x+π时，y=3sin(2x+)的函数值才重复出现，y=3sin(2x+)的周期为π. 当u∈[0,,2π]时，即0≤u≤2π时，我们有0≤2x+≤2π，即-≤x≤所以下面我们用五点法作出y=3sin(2x+)在[-，]上的图象.取点列表如下. 描点作图，如图7-3-11所示 在图7-3-11中，我们还作出了y=sinx,y=sin2x,y=3sin2x的部分图象，把它们与函数y=3sin(2x+)的图象进行比较，就可以看出这些图象之间的关系：把函数y=sinx图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的就可得到y=sin2x的图象；把y=sin2x图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，就可得到y=3sin2x的图象；把y=3sin 2x图象上的所有点，向左平移个单位，就可得到y=3sin(2x+)的图象. 事实上，把函数y=sinx图象上的所有点,向左平移个单位,就可得到y=sin(x+​)的图象；把y=sin(x+​)图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可得到y=sin(2x+​)的图象；把y=sin(2x+​)图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，就可得到y=3sin(2x+)的图象. 函数的图象经过变换得到 的图象的两种途径 微提醒：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看“角 ωx+φ”的变化. 探究新知 回顾：一般地,正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的定义域为R ,值域为[-|A|,|A|], 周期是,而且函数的图象可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到. 正弦型函数中的常数A，ω，φ都具有一定的实际意义. 事实上，在前述情境与问题的小球运动过程中，如果从t=0时刻开始，每隔一小段时间（比如0.01s）给弹簧和小球拍一张照片，并将这些照片按时间顺序排成一列（顶端对齐），就可得到如图7-3-12所示的图形.可以认为，图中小球的中心在正弦型函数x=Asin(ωt+φ)的图象上，而且 图7-3-12 (1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)φ在决定t=0时小球的位置(即Asinφ)中起关键作用，称为初相； (3)周期T=表示小球完成一次运动所需要的时间.（小球的位置和速度首次都得到重复时称完成了一次运动.） 此时，f==表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率.  练习A ① 求下列函数的周期.(正弦型函数性质的应用） (1) （2）y=sin3x (3)y=3sin (4)y=2sin(-2x-) 所以 (1)T=2π (2)T= (3)T=8π (4)T=π 2π 8π π ②如图是函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，其中A>0ω>0, |φ|<，试确定这个函数的解析式.(由图像求解析式） A= (A>0) 观察图像T=-（-）==（ω>0），解得 ω=2 将A，ω，点（-，0）代入函数，解的φ=k+,又因为|φ|<，所以φ= 满足 ∴解析式为 y=sin(2x+) 练习A ③求y=-5sin(x+)的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值.(性质的应用） 解析：因为sin(x+)的取值范围是[−1,1] 所以−5sin(x+)的取值范围是[−5,5] 最大值：当sin(x+)=−1时，ymax​=5，此时 x+​=2kπ−​,k∈Z，解得x=2kπ−​​,k∈Z 最小值：当sin(x+​)=1时，ymin​=−5，此时 x+​=2kπ+​,k∈Z，解得x=2kπ+​,k∈Z。 练习A ④说明由函数y=sinx的图象怎样才能得到函数y=2sin3x的图象.(图像平移与伸缩变换) 方法 1：先伸缩横坐标，再伸缩纵坐标 将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin3x的图象; 将y=sin3x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sin3x的图象. 方法 2：先伸缩纵坐标，再伸缩横坐标 将y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sinx的图象; 将y=2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=2sin3x的图象. 练习A ⑤求y=3sin(4x+)的振幅、初相、周期和频率.(性质的应用) 振幅：A=3 初相：φ= 周期：T=​==​ 频率：f=​​=2 巩固提升 1.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)（x∈R）图像 作出函数 在长度为一个周期的闭区间上的简图. 解析：令X=，在x=3X+,按五个关键点列表如下： 0 0 0 0 巩固提升 2.三角函数的图形变换 已知函数f(x)=sin(ωx+​)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只需将y=f(x)的图象上所有的点（ ） A. 向左平移​个单位长度 B. 向右平移​个单位长度 C. 向左平移​个单位长度 D. 向右平移​个单位长度 解析： （注：函数名称不同，应先用诱导公式cosx=sin(x+)化为同名） A 巩固提升 3.由图像求三角函数的解析式 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0,0<φ<​​）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为​，且图象上的一个最低点为M(​,−2)，则f(x)的解析式为_ __ ___。 解析：由图象上最低点得A=2；由图象上与x轴的相邻两个交点之间的距离为​​，得​=​，即T=π，所以ω=​=2；由点M(​,−2)在图象上，得2sin(2×​+φ)=−2，即sin(​+φ)=−1，故​+φ=2kπ−​,k∈Z，所以φ=2kπ−​(k∈Z)。 又φ∈(0,​)，所以φ=​，所以f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+​​) f(x)=2sin(2x+​​) 巩固提升 4.三角函数性质的综合应用 函数f(x)=cos(2x+φ)(∣φ∣<​)的图象向右平移​个单位长度后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的解析式为___ _____。 解析：将函数f(x)=cos(2x+φ)(∣φ∣<​)的图象向右平移6π​个单位长度后，得到y=cos(2x−​+φ)的图象，根据得到的函数是奇函数，可得−​​+φ=kπ+​,k∈Z，又∣φ∣<​，所以φ=−，所以f(x)=cos(2x−)。 f(x)=cos(2x−) 正弦型奇偶性：当 时为奇函数/当 时为偶函数； 余弦型奇偶性：当 时为奇函数/当时为偶函数； 奇函数：x=0时y=0；偶函数：x=0时，y=最值 巩固提升 5.三角函数的应用 已知电流I(A)与时间t(s)的关系式为I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<​） (1) 如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式； (2) 如果t在任意一段​s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值， 那么ω的最小值是多少？ 解析：(1) 由题图知A=300，周期T=2(​+​)=​，所以ω=​=150π。 又当t=​时，I=0，即300sin(150π×​+φ)=0，由图知150π×+φ=π+2kπ，k∈Z， 又∣φ∣<​，所以φ=​，故该函数的解析式为：I=300sin(150πt+​). 微提醒：由图知150π×+φ=π+2kπ，是取的下降的零点，这样能快速找到φ,减少验证的次数. (2) 依题意，周期T≤​，即​≤​，所以ω≥300π，故ω的最小值为300π。 $