精品解析：2022年河南省商丘市柘城县实验中学中招考试第三次模拟数学试题

2022年河南省中招考试模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上的注意事项直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数就是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：0 ,，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数． 2. 国家统计局数据显示，2022年1~2月份，我国社会消费品零售总额74426亿元，同比增长，消费市场回升向好．数据“74426亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定． 【详解】解：74426亿用科学记数法表示为． 3. 如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的11种展开图，进行判断即可. 【详解】解：如图，去掉1，2，3，三个小正方形的任意一个，都可以拼成一个正方体盒子； 故共有3种方法. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 5. 下列关于四边形的说法正确的是（　　） A. 菱形对角线相等 B. 矩形对角线互相垂直 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 正方形具有矩形和菱形的一切性质 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】A.菱形对角线互相垂直，故不符合题意； B.矩形对角线相等，故不符合题意； C.平行四边形是中心对称图形，故不符合题意； D.正方形具有矩形和菱形的一切性质，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题重点考查矩形、菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握矩形、菱形与正方形的性质定理是解题的关键． 6. 如图所示，一副直角三角板（，）按如图所示位置摆放，其中，两条斜边，相交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到，根据即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式性质求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式大于等于0，解不等式即可得到k的取值范围. 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即，得. ∵原方程有实数根， ∴根的判别式， 即， 化简得， 整理得， 解得. 综上，的取值范围是且． 8. 小明抛掷两枚图钉，想知道针尖朝上的概率大概是多少，以下做法可行的是（ ） A. 因为图钉是一样的，故只需抛掷一枚图钉计算朝上的概率即可 B. 同时向上抛掷10次，发现6次针尖朝上，则针尖朝上的概率是 C. 同时向上抛掷2000次，多次计算针尖朝上的频率，再根据频率估计概率 D. 用树状图或表格求概率 【答案】C 【解析】 【详解】解：A，B选项的实验次数太少，具有偶然性，不符合题意； C选项做法可行，符合题意； D．由于是通过实验估计概率，不能画出树状图或表格，不符合题意． 9. 某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，当点恰好在轴正半轴上时停止，此时点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，含直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，由含直角三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵将菱形绕原点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果单项式与是同类项，那么___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同类项的定义得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 12. 已知关于x的不等式组，其中实数a在数轴上对应的点是如图所示的点A，则不等式组的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式，然后根据数轴上点的位置可知，最后得出答案． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， 根据题意，可知， ∴不等式组的解集为：． 13. 某公司招聘品牌讲解员，需对应聘人员进行笔试和面试（满分均为100分），规定笔试成绩占，面试成绩占，已知小丽的笔试和面试成绩分别为90分和80分，请你判断小丽的最终得分是___________分． 【答案】83 【解析】 【分析】计算笔试成绩和面试成绩的加权分数的总和，即为最终得分． 【详解】解：分， 因此，小丽的最终得分是83分． 14. 如图，是边长为6的等边三角形，是它的外接圆，以点B为圆心，长为半径作弧，与围成一个漂亮的“月亮”，则图中阴影部分“月亮”的面积是___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，并延长交于点，连接，先求出，，再在中，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点，连接， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵是等边的外接圆， ∴垂直平分，，， ∴， ∴在中，，， ∴， 同理可得：， 又∵， ∴图中阴影部分“月亮”的面积是． 15. 如图，在正方形中，，点E是射线上一点，将沿折叠，点A落在处，当到边的距离等于1时，线段的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，当点在上方时，过点作交于点G，交于点F， ∵到边的距离等于1 ∴， ∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 如图，当点在下方时， 同理可得，， 同理可得， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，线段的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，零指数幂，分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算以及零指数幂进行计算即可； （2）根据分式的化简运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 随着智能手机和互联网的普及，手机 (手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了分迅速发展．某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示： 乙款手机具体评分情况（单位：分）如下： 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 9 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 7.25 7.5 8 c 乙 7.25 a b 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计这两款手机的受益人数； （3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 【答案】（1） （2）甲款手机的受益人数为人，乙款手机的受益人数为人 （3） 乙款手机实用性的满意度更高，理由如下： 甲款手机的受益人数的百分比为：， 乙款手机的受益人数的百分比为：， ， ∴乙款手机实用性的满意度更高． 【解析】 【分析】（1）将数据排序后，求出第10个和第11个数据的平均数即为中位数，得到的值，找到出现次数最多的数据，得到的值，利用总数乘以7分以上的百分比求出的值； （2）利用总人数乘以样本中受益人数所占的比例，进行计算即可得出结果； （3）结合表格数据进行分析即可． 【小问1详解】 解：； 乙款手机具体评分中的数据出现次数最多的是， ∴； ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：甲款手机的受益人数为（人）； 乙款手机的受益人数为（人）； 答：甲款手机的受益人数为人，乙款手机的受益人数为人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查统计图表，中位数，众数以及利用样本估计总量．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． 18. 如图所示，过点的一次函数图象交反比例函数图象于A，B两点，连接，，与x轴负半轴夹角为，且，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出：一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题关键是利用三角函数和勾股定理求出点的坐标，再结合函数性质求解解析式、面积和不等式解集． （1）先根据和，利用勾股定理求出点的坐标；再将点代入反比例函数解析式求出的值；最后将点和点代入一次函数解析式，求出结果； （2）先联立一次函数与反比例函数解析式，求出交点的坐标；再利用的面积等于与的面积之和，以为公共底，、两点横坐标的绝对值之和为高，代入面积公式计算； （3）通过观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的的取值范围，即为一次函数值小于反比例函数值时的解集． 【小问1详解】 解：如图，过点A作轴于点D， ． ∴设，． 则在中， ． ． 点坐标为． 设反比例函数解析式为，把代入并解得，． 设一次函数解析式为， 代入A，C两点坐标并解得，，． ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 【小问2详解】 令并解得，或3． ∴点B的坐标为． ． 【小问3详解】 联立一次函数与反比例函数解析式，可得： ， 解得，，即两函数图像的交点横坐标为和； 结合函数图像可知： 当或时，一次函数图像位于反比例函数图像的下方，此时一次函数值小于反比例函数值． 故答案为： 或． 19. 电动自行车是最具有中国特色的原始性创新产品之一，随着城市的发展，电动自行车已成为中国居民短程出行的重要交通工具．如图所示，在电动车装卸过程中，工人师傅需要将木板搭在货车上，方便将电动自行车从汽车上推下来，此时木板与水平地面的夹角为，为了增加安全性，工人师傅决定更换合适长度的新木板，使新木板与水平地面夹角调整为，已知原来木板长度约为，请计算出所需新木板的长度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】所需新木板的长度大约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，关键是利用公共高建立等量关系．在中，利用角的三角函数求出的长度；再在调整后的直角三角形中，利用角的正弦函数求出新木板的长度． 【详解】解：如图，在射线上取一点D，使， 在中，， ， 在中，． ． ∴所需新木板的长度大约为． 20. 春夏季，人们对水果的需求增加．某水果批发商抓住时机以22000元购进A、B两种时令水果共6t，其中A种水果进价为5000元/t，B种水果进价为3000元/t． （1）水果商购进A、B两种水果各多少吨？ （2）由于水果销量非常好，该批发商决定再次购进A、B两种水果共9t，已知A种水果售价为8000元/t，B种水果售价为4000元/t，考虑到天气变热，水果储存期变短，要求A种水果的数量不得超过种水果数量的2倍，请你帮助批发商设计出利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1）水果商购进A种水果2吨，种水果4吨 （2）利润最大的购进方案为：购进A种水果，种水果，最大利润为21000元 【解析】 【分析】（1）设水果商购进A种水果吨，种水果吨，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可； （2）设购进A种水果mt，则购进种水果，由题意可列出关于m的不等式，从而可确定购进A种水果的范围．再设再次购进的两种水果全部售出后的总利润为元，则可得出w与m的函数关系式，最后根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 设水果商购进A种水果吨，种水果吨， 根据题意得：， 解得：． 答：水果商购进A种水果2吨，种水果4吨； 【小问2详解】 设购进A种水果mt，则购进种水果， ∵A种水果的数量不得超过种水果数量的2倍， ∴， 解得：． 设再次购进的两种水果全部售出后的总利润为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值，此时， 利润最大的购进方案为：购进A种水果，种水果，最大利润为21000元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．理解题意，正确设出未知数，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 21. 某数学兴趣小组在探究过直线外一点作这条直线的垂线这一问题时，小明提出了如下作法： （1）以A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于B，C两点； （2）连接，作的垂直平分线交于点M； （3）以M为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点N； （4）作直线，则直线即为直线l的垂线．小明的理由 如下： 由作法可知：，． ，（①）． （②）， ． ，即． ． （1）在小明的说理过程中，用到的数学依据有： ①_____________________，②_____________________； （2）小华认为在第（3）步还可以这样理解： 以M为圆心，的长为半径画圆，交直线l于点N，这样，线段就是的___________，利用___________________________________，可以直接得出； （3）上述问题解决后，请你与小组成员一起探讨以下问题： 已知在中，，过点A作直线，点D在上运动，连接，过点D作，交直线l于点E，连接，点F在延长线上运动，当时，判断与的外接圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）①等边对等角；②三角形内角和定理 （2）直径；直径所对的圆周角是直角 （3）是的外接圆的切线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由，，根据等边对等角得，；推导角度和时，依据三角形内角和定理（）进行计算； （2）是中点，故是的直径；依据直径所对的圆周角是直角，直接得出； （3）由得，的外接圆以为直径，由，结合，得，即，进而即可判断． 【小问1详解】 解：①由题意得，此处的数学依据为：等腰三角形等边对等角； ②由题意得，此处的数学依据为：三角形内角和定理； 【小问2详解】 解：由题意得，线段是的直径， ∴利用直径所对的圆周角是直角，可以得出； 【小问3详解】 解：位置关系：与的外接圆相切，理由如下： ∵，， ∴，即是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆以斜边为直径， ∴的外接圆以为直径， 设的中点为，则是外接圆的圆心，、为外接圆的半径， ∵， ∴， ∴点C、D、A、E都在以为直径的圆上，即的外接圆， ∴， ∵， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是外接圆的直径，是外接圆的半径，， ∴是的外接圆的切线． 【点睛】本题结合作图探究与圆的几何证明，考查等腰三角形性质、三角形内角和、直径所对圆周角及切线判定，融合了作图原理与几何推理，体现了逻辑论证与转化化归的核心数学思想． 22. 在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上． （1）若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）已知点在该抛物线上，且． ①比较的大小，并说明理由； ②将线段AB沿水平方向平移得到线段，若线段与抛物线有交点，直接写出点的横坐标x的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）①时，，当时，， ∵， ∴ 或． 当时， ∵抛物线的开口方向向下，经过， ∴抛物线的对称轴为， ∴为抛物线的顶点， ∴y1为函数的最大值且大于0， ∵点在x轴上， ∴点在x轴的下方， ∴， ∴的大小关系为：； 当时， ∵抛物线的开口方向向下，经过， ∴抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， 由抛物线的对称性可知：在抛物线上， ∵， ∴． 综上，当时，，当时，； ②当时，，当时， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用分类讨论的方法分和两种情形讨论解答：分别求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质，数形结合的思想方法解答即可； ②结合函数的图象利用平移的性质分别求得A'的横坐标x的最小值与最大值即可得出结论． 【小问1详解】 ∵， ∴点和点在抛物线上． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 ①略 ②的横坐标x的取值范围为：当时，，当时，．理由： 由①知：当时，抛物线的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点的坐标分别为， ∵将线段沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了6个单位， ∴A'的横坐标x的最小值为，而最大值为1， ∴A'的横坐标x的取值范围为：； 由①知：当时，抛物线的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点的坐标分别为， ∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了2个单位， ∴A'的横坐标x的最小值为， ∵将线段AB沿水平方向向右平移至A与A′重合时，线段与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由A平移到A′平移了4个单位， ∴A'的横坐标x的最大值为， ∴A'的横坐标x的取值范围为：． 综上，A'的横坐标x的取值范围为：当时，，当时，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点的坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键． 23. 相似三角形的判定与应用 （1）如图1，已知，在上截取一点C，作的垂直平分线交于点D，作的垂直平分线交的延长线于点E，连接，则___________（用含的式子表示）； （2）如图2，在等腰中，，点P是射线上一点，当恰好为的平分线时，，，求的长； （3）如图3，在等腰中，，若点P为的垂直平分线与延长线的交点，，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而得出相等的角，再利用三角形外角的性质求出； （2）先求出的长度，再根据角平分线和等腰三角形的性质得到相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求出； （3）通过作辅助线，作交于，作于，于，于，再利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式以及相似三角形的性质求出． 【小问1详解】 的垂直平分线交于点， ， ， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， ， 【小问2详解】 ，， ， ， ，， 恰好为的平分线， ， ， ， ， ， ， ，， 的长是； 【小问3详解】 作交于，作于，于，于， 点为的垂直平分线与延长线的交点， ， ， ， ， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省中招考试模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上的注意事项直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 国家统计局数据显示，2022年1~2月份，我国社会消费品零售总额74426亿元，同比增长，消费市场回升向好．数据“74426亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于四边形的说法正确的是（　　） A. 菱形对角线相等 B. 矩形对角线互相垂直 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 正方形具有矩形和菱形的一切性质 6. 如图所示，一副直角三角板（，）按如图所示位置摆放，其中，两条斜边，相交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 小明抛掷两枚图钉，想知道针尖朝上的概率大概是多少，以下做法可行的是（ ） A. 因为图钉是一样的，故只需抛掷一枚图钉计算朝上的概率即可 B. 同时向上抛掷10次，发现6次针尖朝上，则针尖朝上的概率是 C. 同时向上抛掷2000次，多次计算针尖朝上的频率，再根据频率估计概率 D. 用树状图或表格求概率 9. 某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，当点恰好在轴正半轴上时停止，此时点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果单项式与是同类项，那么___________． 12. 已知关于x的不等式组，其中实数a在数轴上对应的点是如图所示的点A，则不等式组的解集为___________． 13. 某公司招聘品牌讲解员，需对应聘人员进行笔试和面试（满分均为100分），规定笔试成绩占，面试成绩占，已知小丽的笔试和面试成绩分别为90分和80分，请你判断小丽的最终得分是___________分． 14. 如图，是边长为6的等边三角形，是它的外接圆，以点B为圆心，长为半径作弧，与围成一个漂亮的“月亮”，则图中阴影部分“月亮”的面积是___________（结果保留）． 15. 如图，在正方形中，，点E是射线上一点，将沿折叠，点A落在处，当到边的距离等于1时，线段的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着智能手机和互联网的普及，手机 (手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了分迅速发展．某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示： 乙款手机具体评分情况（单位：分）如下： 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 9 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 7.25 7.5 8 c 乙 7.25 a b 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计这两款手机的受益人数； （3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 18. 如图所示，过点的一次函数图象交反比例函数图象于A，B两点，连接，，与x轴负半轴夹角为，且，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出：一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围． 19. 电动自行车是最具有中国特色的原始性创新产品之一，随着城市的发展，电动自行车已成为中国居民短程出行的重要交通工具．如图所示，在电动车装卸过程中，工人师傅需要将木板搭在货车上，方便将电动自行车从汽车上推下来，此时木板与水平地面的夹角为，为了增加安全性，工人师傅决定更换合适长度的新木板，使新木板与水平地面夹角调整为，已知原来木板长度约为，请计算出所需新木板的长度（结果精确到．参考数据：，，，）． 20. 春夏季，人们对水果的需求增加．某水果批发商抓住时机以22000元购进A、B两种时令水果共6t，其中A种水果进价为5000元/t，B种水果进价为3000元/t． （1）水果商购进A、B两种水果各多少吨？ （2）由于水果销量非常好，该批发商决定再次购进A、B两种水果共9t，已知A种水果售价为8000元/t，B种水果售价为4000元/t，考虑到天气变热，水果储存期变短，要求A种水果的数量不得超过种水果数量的2倍，请你帮助批发商设计出利润最大的购进方案，并求出最大利润． 21. 某数学兴趣小组在探究过直线外一点作这条直线的垂线这一问题时，小明提出了如下作法： （1）以A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于B，C两点； （2）连接，作的垂直平分线交于点M； （3）以M为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点N； （4）作直线，则直线即为直线l的垂线．小明的理由 如下： 由作法可知：，． ，（①）． （②）， ． ，即． ． （1）在小明的说理过程中，用到的数学依据有： ①_____________________，②_____________________； （2）小华认为在第（3）步还可以这样理解： 以M为圆心，的长为半径画圆，交直线l于点N，这样，线段就是的___________，利用___________________________________，可以直接得出； （3）上述问题解决后，请你与小组成员一起探讨以下问题： 已知在中，，过点A作直线，点D在上运动，连接，过点D作，交直线l于点E，连接，点F在延长线上运动，当时，判断与的外接圆的位置关系，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上． （1）若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）已知点在该抛物线上，且． ①比较的大小，并说明理由； ②将线段AB沿水平方向平移得到线段，若线段与抛物线有交点，直接写出点的横坐标x的取值范围． 23. 相似三角形的判定与应用 （1）如图1，已知，在上截取一点C，作的垂直平分线交于点D，作的垂直平分线交的延长线于点E，连接，则___________（用含的式子表示）； （2）如图2，在等腰中，，点P是射线上一点，当恰好为的平分线时，，，求的长； （3）如图3，在等腰中，，若点P为的垂直平分线与延长线的交点，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $