精品解析：河南省郑州市回民初级中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题

2021—2022学年上期期末考试 八年级数学 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间90分钟，请用黑色水笔直接答在答题卡上． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 49的算术平方根是（　　） A. 7 B. C. D. 2. 如图，若，，且，则度数为（ ） A. B. C. D. 3. 以下长度的线段可以构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 一个等腰三角形的两边长分别为8和4，则它的周长等于20或16 C. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间的情况，随机调查了30名学生，调查结果如表所示，则这30名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为， 锻炼时间 5 6 7 8 人数 7 10 7 6 D. 有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 5. 下列函数中，图象不经过第三象限，且y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. “十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（　　） A. 43.5元 B. 26元 C. 18元 D. 43元 8. 《九章算术》中：“今有三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9人需要步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 10. 将6个形状、大小完全相同的小长方形（每个小长方形如图①）放置在右侧的大长方形（如图②）中，已知尺寸如图所示（单位：），则图中阴影部分的总面积为（ ） A. 43 B. 24 C. 144 D. 45 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 一个无理数x满足条件，请任意写出一个x________． 12. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 s2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__． 13. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____． 14. 如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 15. 在平面直角坐标系中，有两点，，是轴上一点，若将沿折叠，当点恰好落在轴上时，则点的坐标为________． 三、解答题（共7小题，满分75分） 16. 平面直角坐标系中，点P的横坐标为x，纵坐标为y，我们定义：叫做点的美好值，记为，即，例如点的美好值． 请分别求出点，的美好值，． 17. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是________小时． 如果你平均每天睡眠时间不足8小时，请回答第2个问题 2．影响你睡眠时间的主要原因是________（单选）． A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他 平均每天睡眠时间x（时）分为5组： ①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第________（填序号）组，睡眠不足8小时的学生人数占被调查人数的百分比为________； （2）若该校共有学生1800人，请你估算该校学生因为校内课业负担重和校外学习任务重造成睡眠不足8小时的学生大约有多少人？ （3）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 18. 小明有一个储蓄罐，在未投入硬币前空储蓄罐的质量约为360克，假设储蓄罐每次只能投入1枚1元硬币（每枚1元硬币的质量约为6克），不倒出硬币． （1）现储蓄罐中有若干枚1元硬币，请你利用所学的函数知识来估算储蓄罐中1元硬币的枚数；（要求列出所用的函数关系式） （2）小明准备买一条价格为88元的围巾送给妈妈作生日礼物，若称得储蓄罐的总质量为900克，请你通过计算判断小明仅用储蓄罐里的钱是否够买这条围巾？ 19. 如图，在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，，两点在此图形上且互为对称点，若此图形上另有一个点． （1）求点C的对称点的坐标； （2）求面积； （3）在y轴上找一点G，使最短，直接写出G点的坐标为________． 20. 【问题情境】 学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点C，A．他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画出的边长________，的面积为________； 【初步探究】 （2）在图2所示的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出（顶点都在格点上），使，，，请判断的形状，并说明理由； 【继续探究】 （3）若中有两边的长分别为，，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出两种符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长，填写在横线上________． 21. 某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，老师决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品．请你根据图中所给的信息，解答下列问题： （1）每个颜料盒，每支水笔各多少元？ （2）恰逢商店举行优惠促销活动，具体办法如下：颜料盒按七折优惠，水笔10支以上超出部分按八折优惠，若买m个颜料盒需要元，买m支水笔需要元，求，关于m的函数关系式； （3）若学校需购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你帮助分析，如何购买奖品比较合算． 22. 如图1，已知直线与直线，分别交于，两点，和的角平分线交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，和的角平分线交于点，请求出的度数； （3）如图3，若，延长线段得射线，延长线段得射线，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转后停止．设它们同时旋转秒，问为多少时，射线．（请直接写出所有符合条件的t值） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年上期期末考试 八年级数学 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间90分钟，请用黑色水笔直接答在答题卡上． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 49的算术平方根是（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念即可得出答案. 【详解】解：因为49的算术平方根是7，所以A选项正确； 故答案选：A. 【点睛】本题考查算术平方根的计算，注意一个是只有非负数才有平方根和算术平方根，另一个要区分算术平方根的结果是是非负的，而正数的平方根有一正一负两个. 2. 如图，若，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得，再根据，可得． 【详解】如图， ， ， ， ， ． 3. 以下长度的线段可以构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：A、，，故不能构成三角形； B、，故不能构成直角三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故能构成直角三角形. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 一个等腰三角形的两边长分别为8和4，则它的周长等于20或16 C. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间的情况，随机调查了30名学生，调查结果如表所示，则这30名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为， 锻炼时间 5 6 7 8 人数 7 10 7 6 D. 有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的运算性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系、中位数和众数的概念，全等三角形的判定方法等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、若腰长为，则三边长分别为、、，，满足三角形三边关系，故该等腰三角形的周长为； 若腰长为，则三边长分别为、、，，不满足三角形三边关系，故此情况不存在， 故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、这组数据的中位数为第和个数据的平均数，即中位数为；出现次数最多，众数为； 故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、如图，，，第三边上高，根据勾股定理可得：，，所以，即可得到第三边，故可得到，即有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等， 故原命题正确，是真命题，符合题意． 5. 下列函数中，图象不经过第三象限，且y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，先由y随x的增大而减小判断k的符号，排除不符合的选项，再根据图象不经过第三象限判断图象位置，得到正确答案． 【详解】解：对于一次函数 ∵y随x的增大而减小， ∴， 选项A中，选项B中，均不符合要求，排除A、B． C：，，满足y随x的增大而减小， 而，图象经过第二、四象限和原点，不经过第三象限，符合要求． D：，，满足y随x的增大而减小， 而，图象经过第二、三、四象限，经过第三象限，不符合要求． 6. 如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据轴上点的纵坐标为求出的值，再确定点的坐标，最后根据对称规律求出对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得， 将代入点的坐标，得，， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 7. “十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（　　） A. 43.5元 B. 26元 C. 18元 D. 43元 【答案】B 【解析】 【分析】根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购物券金额的平均数. 【详解】解：根据题意得：每转动一次转盘获得购物券的平均数＝100×10%+50×20%+20×30%+0×40%＝26元． 故选：B． 【点睛】本题主要考查数据分析中加权平均数的知识点和扇形统计图的知识点. 8. 《九章算术》中：“今有三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9人需要步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 10. 将6个形状、大小完全相同的小长方形（每个小长方形如图①）放置在右侧的大长方形（如图②）中，已知尺寸如图所示（单位：），则图中阴影部分的总面积为（ ） A. 43 B. 24 C. 144 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用图中含有阴影部分的总面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 根据题意得， 解得， 图中含有阴影部分的总面积为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 一个无理数x满足条件，请任意写出一个x为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 详解】解：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 s2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__． 【答案】甲 【解析】 【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定． 【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定， 即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数． 13. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____． 【答案】20cm 【解析】 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】如图1， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16， ∴MN==20； 如图2， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴PM=18﹣6+6=18，NP=10， ∴MN==2． ∵20＜2 ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20． 故答案20cm 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 14. 如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当时，函数，②当时，函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：①当时，函数， ， 随的增大而减小， 当时，；当时，； 当时，； ②当时，函数， ， 随的增大而增大， 当时，；当时，； 当时，； 综上可知，当时，则函数值y的取值范围是． 15. 在平面直角坐标系中，有两点，，是轴上一点，若将沿折叠，当点恰好落在轴上时，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得的长，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ． 三、解答题（共7小题，满分75分） 16. 平面直角坐标系中，点P的横坐标为x，纵坐标为y，我们定义：叫做点的美好值，记为，即，例如点的美好值． 请分别求出点，的美好值，． 【答案】； 【解析】 【分析】根据题干给出的美好值定义，将点的横纵坐标代入对应公式，按照实数的运算法则计算即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，点的美好值为， ∴ ； ． 17. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是________小时． 如果你平均每天睡眠时间不足8小时，请回答第2个问题 2．影响你睡眠时间的主要原因是________（单选）． A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他 平均每天睡眠时间x（时）分为5组： ①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第________（填序号）组，睡眠不足8小时的学生人数占被调查人数的百分比为________； （2）若该校共有学生1800人，请你估算该校学生因为校内课业负担重和校外学习任务重造成睡眠不足8小时的学生大约有多少人？ （3）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）③， （2）891 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义解答，再结合条形统计图用睡眠不足8小时的人数除以总人数得出答案； （2）先求出睡眠不足的学生数，再乘以A和B选项所占的百分比之和，即可得出答案； （3）合理即可答案不唯一． 【小问1详解】 解：， 第250，251人的睡眠时间是小时，即第③组； ， 所以睡眠时间不足8小时的学生人数占被调查人数的； 【小问2详解】 解：（人）， 所以该校学生因为校内课业负担重和校外学习任务重造成睡眠不足8小时的有891人； 【小问3详解】 解：减轻校内课业负担；提高学习效率；保证每天体育活动2小时．（任选两条，答案不唯一） 18. 小明有一个储蓄罐，在未投入硬币前空储蓄罐的质量约为360克，假设储蓄罐每次只能投入1枚1元硬币（每枚1元硬币的质量约为6克），不倒出硬币． （1）现储蓄罐中有若干枚1元硬币，请你利用所学的函数知识来估算储蓄罐中1元硬币的枚数；（要求列出所用的函数关系式） （2）小明准备买一条价格为88元的围巾送给妈妈作生日礼物，若称得储蓄罐的总质量为900克，请你通过计算判断小明仅用储蓄罐里的钱是否够买这条围巾？ 【答案】（1） （2）小明仅用储蓄罐里的钱够买这条围巾 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，列出函数关系式是解决问题的关键． （1）根据每枚1元硬币的质量为6克，得出总质量克与罐内1元硬币的枚数个之间的函数关系式； （2）根据，得出的个数，即可得出总钱数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设储蓄罐中1元硬币的枚数为x个，总质量为y克， 根据题意，空罐质量360克，每枚硬币6克，可得函数关系式； 【小问2详解】 当时，得， 解得：， 因为， 所以，小明仅用储蓄罐里的钱够买这条围巾． 19. 如图，在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，，两点在此图形上且互为对称点，若此图形上另有一个点． （1）求点C的对称点的坐标； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点G，使最短，直接写出G点的坐标为________． 【答案】（1） （2）10 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据A、B的坐标，求出对称轴方程，即可据此求出C点对称点坐标． （2）根据三角形面积公式可得结论； （3）连接与y轴交于点G即为所求；求出，所在直线表达式，然后将代入求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线 ∴点C的对称点的坐标为，即； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：如图，点G即为所求； 设，所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴，所在直线表达式为 当时，． ∴G点的坐标为． 20. 【问题情境】 学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点C，A．他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画出的的边长________，的面积为________； 【初步探究】 （2）在图2所示的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出（顶点都在格点上），使，，，请判断的形状，并说明理由； 【继续探究】 （3）若中有两边的长分别为，，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出两种符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长，填写在横线上________． 【答案】（1）5， （2）作图见解析，是直角三角形，理由见解析 （3）或，见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积； （2）根据三边数据，结合勾股定理即可作图，再由勾股定理逆定理证明为直角三角形即可； （3）先画出符合条件的图形，再根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：， 的面积； 【小问2详解】 解：如图2，即为所求， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 【小问3详解】 解：如图所示，，，，此时； 如图所示，，，， 此时， 第三边的长为或． 21. 某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，老师决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品．请你根据图中所给的信息，解答下列问题： （1）每个颜料盒，每支水笔各多少元？ （2）恰逢商店举行优惠促销活动，具体办法如下：颜料盒按七折优惠，水笔10支以上超出部分按八折优惠，若买m个颜料盒需要元，买m支水笔需要元，求，关于m的函数关系式； （3）若学校需购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你帮助分析，如何购买奖品比较合算． 【答案】（1）每个颜料盒为18元，每支水笔为15元 （2）；当购买个数小于10个时，，当购买个数大于10个时， （3）当购买奖品超过10件但少于50件时，买颜料盒合算．当购买奖品等于50件时，买水笔和颜料盒钱数相同．当购买奖品超过50件时，买水笔合算 【解析】 【分析】（1）设每个颜料盒为x元，每支水笔为y元，然后列出方程组求解即可． （2）根据颜料盒七折优惠表示出与x的关系式；分和两种情况，根据水笔八折优惠列式表示出y2与x的关系式即可． （3）分三种情况列式求出购买奖品件数，然后写出购买方法即可． 【小问1详解】 解：设每个颜料盒为x元，每支水笔为y元， 根据题意得，， 解得． 答：每个颜料盒为18元，每支水笔为15元． 【小问2详解】 由题意知，y1关于m的函数关系式是， 即； 由题意知，买笔10支以下（含10支）没有优惠， 所以此时的函数关系式为：； 当买10支以上时，超出部分有优惠， 所以此时的函数关系式为：， 即． 【小问3详解】 当时，即时，解得， 当时，即时，解得， 当时，即时，解得， 综上所述，当购买奖品超过10件但少于50件时，买颜料盒合算． 当购买奖品等于50件时，买水笔和颜料盒钱数相同． 当购买奖品超过50件时，买水笔合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，比较简单，读懂题目信息，理清优惠的方法是解题的关键，（3）分情况列出不等式是解题的关键． 22. 如图1，已知直线与直线，分别交于，两点，和角平分线交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，和的角平分线交于点，请求出的度数； （3）如图3，若，延长线段得射线，延长线段得射线，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转后停止．设它们同时旋转秒，问为多少时，射线．（请直接写出所有符合条件的t值） 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）当为或或时，射线． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，则，，根据，平行线的判定，即可； （2）设，则，根据平分，则，根据，求出，根据三角形的外角和，即可； （3）根据题意，求出，，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转后停止，或，；射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转后停止，或，，求出的取值；分类讨论根据，根据平行线的性质，求出，即可． 【小问1详解】 解：证明如下： ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∵射线绕点以每秒的速度逆时针旋转后停止， ∴或，； ∵射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转后停止， ∴或，， ∴； ∵，如下图 ∴， ∴， 解得：； 当，如下图 ∴， ∵ ∴， 解得：； 当，如下图，此时点与点不重合； ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当为或或时，射线． 【点睛】本题考查平行线，一元一次方程，三角形的外角等知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，解一元一次方程，三角形的外角，进行解答，即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $