精品解析：甘肃兰州市贺阳教育集团兰州校区高中部2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题

贺阳教育集团兰州校区高中部高一3月月考 高 一 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项: 1.答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上； 第I卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 一组数据的平均数为7，则其方差为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或2 D. 2 3. 设向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 5. 如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A. B. C. D. 6. 设内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2或4 B. 3 C. 5 D. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 现有一组样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为6 B. 平均数为7.6 C. 中位数为6.5 D. 第72百分位数为10 10. 若向量，，下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 时， C. 与垂直的单位向量有两个 D. 时，在上的投影向量为 11. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上.） 12 化简______． 13. 已知向量满足，且，则___________ 14. 已知向量，，若向量在向量上的数量投影为，则_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 16. 兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，年建立，年批准为国家级自然保护区，总面积公顷．是国家“”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这名游客对景区满意度评分分位数和平均数（得数保留两位小数）． 17. 设是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值. 18. 已知，，. （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值. 19. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为，在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东． 求： （1）A处与D处之间的距离； （2）灯塔C与D处之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺阳教育集团兰州校区高中部高一3月月考 高 一 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项: 1.答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上； 第I卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 一组数据的平均数为7，则其方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数及方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意知，，解得. 故方差为： . 故选：B. 2. 已知向量，，且，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，解得：或. 故选：C 3. 设向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量夹角的坐标运算来计算即可． 【详解】． 故选：D． 4. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 5. 如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将用、表示，然后利用平面向量减法可得出关于、的表达式. 【详解】因为为线段的中点，则， 因为点是线段上靠近的三等分点， 则， 因此，. 6. 设内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2或4 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 8. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 现有一组样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为6 B. 平均数为7.6 C. 中位数为6.5 D. 第72百分位数为10 【答案】AD 【解析】 【分析】根据相关概念逐项判断可得结果. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为，出现次数最多的数为6，故A正确； 平均数为，故B错误； 中位数为，故C错误； ∵，∴第72百分位数为从小到大排列的第8个数，即为10，故D正确. 故选：AD. 10. 若向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 时， C. 与垂直的单位向量有两个 D. 时，在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量模的坐标运算即可判断A，根据向量共线的坐标表示即可判断B，根据向量垂直的坐标表示和单位向量的定义即可判断C，根据投影向量的求法即可判断D. 【详解】对A，，解得，故A错误； 对B，当时，，显然，故B错误； 对C，设与垂直的单位向量为，则有， 解得或，则，则C正确； 对D，，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：CD. 11. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可． 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加减法法则运算即可. 【详解】， 故答案为： 13. 已知向量满足，且，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式计算即可得解. 【详解】因为，所以.又因为， 所以. 所以. 故答案为： 14. 已知向量，，若向量在向量上的数量投影为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影的计算公式，以及向量的坐标运算，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】因为，，故，； 由题可知：，则，解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 【答案】点的坐标为. 【解析】 【分析】由条件结合平行四边形的性质可得，设点的坐标为，列方程求可得结论. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以，设点的坐标为， 又， 所以， 所以，， 所以，， 故点的坐标为. 16. 兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，年建立，年批准为国家级自然保护区，总面积公顷．是国家“”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这名游客对景区满意度评分的分位数和平均数（得数保留两位小数）． 【答案】（1） （2）分位数约为，平均数为 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数约为. 由频率分布直方图可知，平均数为. 17. 设是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）±4. 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 小问1详解】 由，，， 得， ， 因此，且有公共点B， 所以A，B，C三点共线. 【小问2详解】 由于与共线，则存在实数，使得， 即，而不共线， 因此，解得或， 所以实数k的值是. 18. 已知，，. （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出； （2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值. 【小问1详解】 已知，， ， ， ； 【小问2详解】 设向量与的夹角的夹角为， 则， 向量与的夹角的余弦值为. 19. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为，在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东． 求： （1）A处与D处之间的距离； （2）灯塔C与D处之间的距离． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，通过已知的角和边直接求出的长度； （2）在中，利用余弦定理，根据已知的两边和夹角求出的长度. 【小问1详解】 在中，，，由正弦定理得． 即A处与D处之间的距离为． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 ， 解得． 即C处与D处的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $