精品解析：北京市延庆区第一中学2025-2026学年第二学期期末检测高一数学（1+3）

2025-2026学年第二学期期末检测 1+3高一数学 2026.07 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则在处的导数为（ ） A. B. C. D. 5. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. x＝－1 D. y＝－1 8. 已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 若过坐标原点的圆被直线平分，且被轴截得的弦的长度为4，则圆的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 12. 点到点的距离比它到直线： 的距离小，则点满足的方程是___________ 13. 函数的图象在点处的切线方程是_______． 14. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 15. 已知曲线. 给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； ③曲线上存在一点，使得到点的距离小于； ④曲线所围成区域的面积大于. 其中，所有正确结论的序号为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程； （2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程． 17. 已知点，圆. （1）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 18. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆过，两点，右焦点为． （1）求椭圆的方程及点坐标； （2）设点为椭圆上的一点，直线与直线交于点，与直线交于点，求证：． 20. 设函数，其中. （1）若曲线在点处的切线斜率为0，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围. 21. 已知椭圆：离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同两点，.当的面积为时，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末检测 1+3高一数学 2026.07 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程为求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以， 所以渐近线方程为. 故选：B. 4. 已知函数，则在处的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，将代入求即可. 【详解】由已知可得， 所以，所以 故选：A. 5. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，构造新函数，根据新函数的单调性即可求解. 【详解】函数的定义域为,且, 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 因为在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 6. 若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程求出的值，再根据可求结果. 【详解】因为渐近线方程为，所以， 所以. 故选：C. 7. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. x＝－1 D. y＝－1 【答案】D 【解析】 【分析】先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程． 【详解】由题得：， 所以，即 所以 故准线方程为：． 故选：D 8. 已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析抛物线结合条件求得垂直平分线方程，进而求得点的坐标，最后计算三角形面积. 【详解】抛物线，其焦点,准线方程为， 因点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等， 则有,即为等腰三角形，又点， 则点的横坐标为，将其代入，解得，即， 故的面积为. 故选：C. 9. 若过坐标原点的圆被直线平分，且被轴截得的弦的长度为4，则圆的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆关于对称设出圆心，再根据圆过原点设圆的方程，进而应用轴截得弦的长度为4得出参数得出方程即可. 【详解】因为圆被直线平分， 所以设圆心，又因为圆过坐标原点，所以设圆， 令，则，所以圆与轴交于两点， 因为圆被轴截得的弦的长度为4，所以，所以或， 所以圆的方程可以是或； 故选：C. 10. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率. 【详解】椭圆：中，且 则，椭圆长轴长为 则椭圆M的离心率 直线OP斜率为 又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线， 双曲线：的渐近线方程为 故，即， 则双曲线的实半轴长为 则双曲线N的离心率 则 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 12. 点到点的距离比它到直线： 的距离小，则点满足的方程是___________ 【答案】 【解析】 【详解】因为点到点的距离比它到直线： 的距离小，所以点到点的距离与它到直线： 的距离相等，由抛物线的定义可知点的轨迹是以点为焦点的抛物线，其中．点满足的方程是． 【点睛】知一动点到一定点和一定直线的距离关系，求动点的轨迹方程，应联系抛物线的定义．求动点的轨迹方程应注意特殊曲线的定义． 13. 函数的图象在点处的切线方程是_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， ， 所以切线方程为，即. 14. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解． 【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 15. 已知曲线. 给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； ③曲线上存在一点，使得到点的距离小于； ④曲线所围成区域的面积大于. 其中，所有正确结论的序号为_________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误. 【详解】由，则且，易知曲线为封闭曲线， 所以，易得，故， 时；时；时， 故曲线过点，显然不关于直线对称，①错； 对于曲线上任意点，其关于轴对称点为， 则，故曲线关于轴对称， 综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线上恰好有个整点，②对； 由圆过点，故圆上点均在曲线上或内， 所以曲线上不存在点，使得到点的距离小于，③错； 如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，④对. 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程； （2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据垂直关系可求得直线斜率，结合直线方程的点斜式即得解； （2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线：，用表示面积，求解即可 【小问1详解】 设直线的斜率为，直线的斜率为 因为，所以 又因为，所以 又因为直线过点 直线的方程为，即． 【小问2详解】 若直线斜率不存在，则直线： 此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题意． 若直线斜率存在，设直线的斜率为 设直线：，与轴交点为点 令，解得 所以点坐标为 直线与直线的交点为点 因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 即 即，可求得 则直线的方程为 综上：直线的方程为或． 17. 已知点，圆. （1）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】（1）或. （2）最短长度为，此时的方程为. 【解析】 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【小问1详解】 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 18. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数并代入得到切线斜率，再算出确定切点坐标，最后用直线的点斜式整理得到切线方程； （2）先对求导得到含参数的导数函数，通过分类讨论的不同取值范围，分析导函数的正负以确定在时的单调性，进而验证是否恒成立，最终筛选出符合条件的的取值范围. 【小问1详解】 函数 的定义域为 ， 因，即切点为 ， 又，则切线斜率 ， 则曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，对任意，恒成立，则在上单调递增， 又，则当时， ，符合题意； 当时，，分子是开口向下的二次函数， 则存在，使得当时，当时 ， 即函数在处先增后减，当足够大时，增长远慢于负项， 则必然存在 使得 ，不符合题意. 综上，的取值范围是. 19. 已知椭圆过，两点，右焦点为． （1）求椭圆的方程及点坐标； （2）设点为椭圆上的一点，直线与直线交于点，与直线交于点，求证：． 【答案】（1）， （2） 由题意可知，，且． 由得． 由得． 因为，， 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）由椭圆顶点得，即可写出椭圆方程；由求得，即可得点坐标； （2）由（1）知道，联立直线方程求得点坐标和点坐标，然后得到向量坐标，由向量的数量积即可得证. 【小问1详解】 由题意可知，所以椭圆方程为． 因为，所以． 【小问2详解】 略 20. 设函数，其中. （1）若曲线在点处的切线斜率为0，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用乘积求导法则求出函数的导函数，将切点横坐标代入导函数，结合切线斜率为0的条件建立关于的方程，求解方程并结合的限制得到的值； （2）对整理后的导函数因式分解，根据导函数的两个零点和的大小关系分类讨论，分析不同区间内导函数的正负性以判断的单调性，结合极小值的定义反推为极小值点时满足的条件，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，其中恒成立， 因此的符号完全由二次函数决定， 已知，对因式分解得，两个零点为和​， ①当时，，时，，所以，单调递增； 时，，所以，单调递减； 时，，所以，单调递增； 所以当时，取得极大值，不合题意； ②当时，，，恒成立（当且仅当时取等号），所以恒成立， 所以在上单调递增，无极值； ③当时，，时，，所以，单调递增； 时，，所以，单调递减； 时，，所以，单调递增； 所以当时，取得极小值，符合题意； 综上，的取值范围是. 21. 已知椭圆：离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同两点，.当的面积为时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和椭圆定义求得，进而得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【小问1详解】 椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，，即， 又椭圆：离心率为，，， 又，， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 当时，此时方程与椭圆只有一个交点，不符合题意， 设， 联立，得，即， ， 根据弦长公式，得， ， 又椭圆的右顶点为到直线 的距离为， 又的面积为时，， 即，，解得， 当时，直线的斜率为； 当时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $