4.2 等差数列 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2 等差数列 同步练习 一、选择题 1．在等差数列 中， ，则 （　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．在等差数列中，，则（　　） A． B． C． D． 3．若a是与1的等差中项，则（　　） A．1 B．0或1 C．或1 D．或1 4．记为等差数列的前项和，若，，则（　　） A．40 B．60 C．76 D．88 5． 已知等差数列的前n项和为，（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 6．在等差数列中，，，则其公差等于　 　． 7．2，4，6，8，10，，第项为　 　. 8．在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是　 　. 一、选择题 9．已知正项数列 中， ， ， ，则 等于（　　） A． B．4 C．8 D．16 10．已知数列满足，，，则（　　） A． B． C． D． 11．设为等差数列的前项和，若，公差，，则（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 12．设是等差数列的前项和，若，则（　　） A． B． C． D． 13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 14．（多选）已知等差数列的前项和为，则下列一定是等差数列的是（　　） A．数列 B．数列 C．数列 D．数列 15．（多选）等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，下列选项正确的是（　　） A． B． C．当 时 最小 D． 时 的最小值为 16．（多选）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（　　） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 二、填空题 17．已知数列 满足 ，且 ，若 ，则正整数k=　 　. 18．设{an}是等差数列，前n项和为Sn，对任意m，k∈N*，都有 = ，则 =　 　． 19．《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂……若32个人的年龄（都为整数）依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为　 　岁. 三、解答题 20．记为等差数列的前项和，已知. （1）求的公差； （2）求的最大值. 21．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1=1，a2是a1与a5的等比中项． （1）求{an}的通项公式； （2）求{an}的前n项和Sn． 22．已知等差数列 中， 是数列 的前 项和，且 （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，求 . 参考答案 1．B 【解析】 ，故 ， 2．A 【解析】解：设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 3．A 【解析】解：若a是与1的等差中项，则，解得． 4．D 【解析】解：设首项为，公差为， 由，， 可得， 解得， 所以. 5．B 【解析】解：因为数列为等差数列，所以， 又因为，则，即， 所以. 6．2 【解析】设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得：. 7． 【解析】解：由数列2，4，6，8，10，，得， 所以. 8．10 【解析】解：设这9个数构成的等差数列为，公差为， 则， 因此，解得， 所以该数列的第5项是. 9．B 【解析】根据题意 可知数列 为等差数列，且 ， 所以公差为 ， 所以 因为 是正项数列 所以 10．C 【解析】解：，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 11．D 【解析】解：因为是等差数列，且，公差 由 代入等差数列前n项和公式得： ， 即， 解得， 12．D 【解析】解：因为是等差数列的前项和，又因为， 所以，，所以，， 则. 13．B 【解析】解：由题意可得，且为正整数， 所以，所以令， 所以，， 所以，又，故． 14．A,D 【解析】设等差数列的首项为，公差为. 则；. 对于数列： 当时：； 当时：=定值常数. 所以数列为以为首项，为公差的等差数列.A符合题意. 对于数列： 当时：； 当时：. 当时定值常数.B不符合题意 对于数列： 当时：； 当时：. 当（或）不恒成立时. 定值常数.C不符合题意. 对于数列： 当时：； 当时：=定值常数. 所以数列为以为首项，为公差的等差数列.D符合题意 15．B,D 【解析】由于等差数列 是递增数列，则 ，A选项错误； ，则 ，可得 ，B选项正确； ， 当 或 n= 时， 最小，C选项错误； 令 ，可得 ，解得 或 ， ，所以，满足 时 的最小值为 ，D选项正确. 16．A,B,D 【解析】解：对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B和选项C：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则， 令，解得， 所以是数列中的项，故C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则， 所以，所以若是数列中的项， 则k 的值可能为6，故D正确. 17．23 【解析】解：数列{an}满足a1＝15，且3an+1＝3an﹣2，整理得 （常数）， 所以数列{an}是以a1＝15为首项， 为公差的等差数列， 则 ， 由于akak+1＜0，则 0， 解得 ， 所以正整数k＝23。 18． 【解析】解：∵{an}是等差数列，前n项和为Sn，对任意m，k∈N*，都有 = ， ∴ = = = • = • = • = 19．94 【解析】解：根据题意可知这32个人年龄之和为， 设 32个人的年龄 由小到大 构成数列，公差为d，则， 则，解得， 即，则， 又因为，当时，不合题意； 当时，不合题意； 当时，符合题意； 当时，不合题意； 综上所述：， 所以 20．（1）解：由已知得， 解得； （2）解：由（1）得， 令，得， 的最大值为. 21．（1）等差数列{an}中，公差d≠0，且a1=1， a2是a1与a5的等比中项， ∴=a1•a5， 即=a1（a1+4d）， ∴（1+d）2=1+4d， 解得d=2或d=0（舍去）； ∴数列{an}的通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）数列{an}的前n项和为 Sn==n2． 22．（1）解：设等差数列的首项为 ，公差为 ，因为 所以 ，得 ， 数列 的通项公式是 （2）解： ， = ， = ， = = 1 学科网（北京）股份有限公司 $