4.2 等差数列 同步练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专项训练 等差数列同步练习题 一、单选题 1．已知等差数列满足，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（   ） A． B． C．9 D．5 4．在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 5．等差数列的前项和为，若，则使得的最小的为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．成等差数列 C． D． 二、多选题 9．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 10．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．成立的最大正整数的值为15 11．已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 三、填空题 12．某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨（为加注次数），则第次加注的剂量为 吨. 13．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 14．设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前n项和，求数列的前n项和． 16．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 17．记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 18．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 19．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)设，且，，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $专项训练 等差数列同步练习题 一、单选题 1．已知等差数列满足，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为为等差数列，所以， 由得，解得. 故选：C. 2．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：设等差数列的公差为， 由，，得， 所以，； 方法二：因为数列是等差数列，所以， 即，解得. 故选：B 3．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（   ） A． B． C．9 D．5 【答案】B 【详解】由数列为等差数列，可得， 因为，所以，所以. 故选：B. 4．在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】B 【详解】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B 5．等差数列的前项和为，若，则使得的最小的为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】在等差数列中，∵， 所以使得的最小的为15. 故选：C. 6．若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为2是与的等差中项，所以， 又，，所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 7．设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等差数列中，由等差数列的性质可得：， 又因为，所以， 由等差数列的前项和可得：， 由等差数列的性质可得：， 所以， 又因为，所以，即， 所以，即， 所以等差数列是单调递增数列， 当时，，所以会越来越小， 当时，，所以会越来越大， 所以当，最小. 故选：B. 8．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．成等差数列 C． D． 【答案】D 【详解】由，依据等差数列前项和性质，得； 又，利用通项公式展开得，结合，联立得； 故； 选项A：，选项A错误； 选项B：，但，不构成等差数列，选项B错误； 选项C：，选项C错误； 选项D：，拆分前两项，对后续项放缩； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立； 当时，前两项和；对的项用放缩，利用不等式，而， 因此，从到的和可以裂项为：， 合并放缩得，因为，所以， 综上，成立，选项D正确. 故选：D 二、多选题 9．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 【答案】BCD 【详解】由，可得，即， 又由，，即， 得，且，则， 所以，所以的最大值为，无最小值. 且数列中最小， 故B，C，D均正确，A错误. 故选：BCD. 10．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．成立的最大正整数的值为15 【答案】AD 【详解】在等差数列中，由，得， 则，即，因此， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，等差数列是首项为正，公差为负的递减等差数列， 且是开口向下的二次函数，无最小值，C错误； 对于D，由选项C知，，当时，，当时，， 因此成立的最大正整数的值为15，D正确. 故选：AD 11．已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 【答案】BC 【详解】数列、为等差数列，则是等差数列. 选项A： ，，因2、5、8成等差数列， 故是与的等差中项，得，A错误. 选项B： 等差数列前项和满足， 故，，则. 代入，得，B正确. 选项C： 设数列的公差为，由， 得，解得， 所以，C正确. 选项D： 由，，得. 令，解得，故的最大值为，D错误. 故选：BC 三、填空题 12．某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨（为加注次数），则第次加注的剂量为 吨. 【答案】 【详解】设第次加注的剂量为， 因为从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 【答案】 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 14．设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为为有穷正项等差数列的前n项和，， 所以均为正数，且，解得. 由等差数列的性质知. 所以， 当且仅当，即，亦即时等号成立， 故答案为： 四、解答题 15．已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前n项和，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，当时，根据，则，所以， 则由题意可得：， 即．所以是公差为2的等差数列． （2）由（1）知，所以． 由于， 所以． 16．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 17．记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即； 当时，，两式相减得， 累乘得：， 所以通项公式为：. （2）由，代入得：，用错位相减法求： ， ， 两式相减得：， 整理后得：. 18．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，，解得， 又，则，解得，， 则数列的通项公式为. （2）因为， 所以，① ② ①②得， 整理可得， 所以数列的前项和. 19．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)设，且，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)9 【详解】（1）因为， 所以， 所以是公差为2，首项为1的等差数列 （2）由（1）可知，， 则 则 （3）由（2）可知， 令， 则， 所以数列为递增数列 所以，所以 又因为， 所以的最大值为9. 2 学科网（北京）股份有限公司 $