精品解析：广西崇左市宁明飞鸿学校2025-2026学年下学期3月阶段检测九年级数学

2026年飞鸿学校九年级数学3月阶段检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分．） 1. 下列各组图形不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中国，鼓是精神象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ 　　 ）． A. B. C. D. 6. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点中不在这个函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 平行于x轴的直线1分别与反比例函数和上的图象交于A、B两点，已知这两函数图象关于y轴对称，A、B两点和坐标原点O形成的△AOB的面积等于6．则ab的值为（　　　） A. 6 B. -6 C. 36 D. -36 8. 如图，A，B分别是反比例函数与的图像上的点，且轴，过点B作的垂线交x轴于点C，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 9. 已知点，，在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，，对角线与相交于点O，点H为射线延长线上一点，连接交于点E，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图像上一个动点，以为顶点，原点对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是（ ） A. 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 一直不变 D. 一直减小 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是___． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则______cm． 15. 教学楼前有一棵大树，小强用一块含有的直角三角尺测量这棵树的高度，示意图如图所示，已知，小强的眼睛与地面之间的垂直高度为，小强与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为______．（结果精确到，参考数据：） 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. （1）计算； （2）解方程：． 18. 如图，在和中，是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E． （1）求证：△BDE∽△CAD． （2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长． 20. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A．B两点，已知． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出的取值范围； （3）连接，求面积． 23. 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）分别求出函数与的函数表达式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年飞鸿学校九年级数学3月阶段检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分．） 1. 下列各组图形不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：选项A、C、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义； 选项B形状不相同，不符合相似形的定义； 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形． 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 3. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，求角的正切值，勾股定理．根据正弦定义求出对边，再利用勾股定理求出邻边，最后根据正切定义求解，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ， ∴， ∵， ∴， 则根据勾股定理，， ∴， 故选：A 4. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 5. 如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ 　　 ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式的应用． 过点作于点D，先解直角三角形求出，即可求解等边三角形的面积，然后由扇形面积减去等边三角形的面积求出一个阴影部分的面积，再乘以3即可求解阴影部分总面积． 【详解】解：过点作于点D， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 6. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点中不在这个函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知点求出函数表达式，再代入验证即可. 【详解】解：（-3，-4）代入反比例函数得：k=12， ∴反比例函数为， ∵点（3，4）、（-6，-2）、（-4，-3）满足函数解析式， ∴在函数图象上， ∵点（2，-6）不满足函数解析式， ∴不在函数图象上； 故选： C． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，掌握函数图象上的点满足函数解析式是解题关键． 7. 平行于x轴的直线1分别与反比例函数和上的图象交于A、B两点，已知这两函数图象关于y轴对称，A、B两点和坐标原点O形成的△AOB的面积等于6．则ab的值为（　　　） A. 6 B. -6 C. 36 D. -36 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，再由反比例函数系数k的几何意义得到，即可求出a，b，从而求解即可． 【详解】∵反比例函数和的图象关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k几何意义，关于y轴对称的点的坐标特征，准确求出各比例系数是解题关键． 8. 如图，A，B分别是反比例函数与的图像上的点，且轴，过点B作的垂线交x轴于点C，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，记AB交y轴于点E，利用反比例函数比例系数k的几何意义求出矩形ABCD的面积，利用矩形的性质求出△ABC的面积． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，记AB交y轴于点E， ∵BC∥y轴，AB⊥BC， ∴四边形BEOC和四边形AEOD都是矩形， ∴S矩形BEOC=|2|=2，S矩形AEOD=|-6|=6， ∴S矩形ABCD=S矩形BEOC+S矩形AEOD=2+6=8， ∴S△ABC=S矩形ABCD=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，解题的关键是过点A作AD⊥x轴于点D构造矩形． 9. 已知点，，在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象分布在第一、三象限， ∴在每一象限内随的增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴，， ∴ 故选：B． 10. 如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，根据四边形是平行四边形，可知，，因为点是的中点，可知，根据可知，根据相似三角形对应边成比例可知，根据三角形的面积公式可知． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 11. 如图，在矩形中，，，对角线与相交于点O，点H为射线延长线上一点，连接交于点E，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，取的中点，连接，则可得，则可求得，再利用勾股定理，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图像上的一个动点，以为顶点，原点对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是（ ） A. 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 一直不变 D. 一直减小 【答案】C 【解析】 【分析】连接、先证四边形是矩形，再利用反比例函数的性质得，进而得，矩形的面积为，即可推出矩形的面积是定值． 详解】解：连接、 ∵四边形是以原点对称中心作矩形， ∴，，， ∵轴轴⟂轴， ∴ ∴ ∴轴，轴， ∴四边形是矩形， 同理可证：四边形，四边形，四边形都是矩形， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积的大小不变， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、中心对称图形的性质、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律．掌握以原点为位似中心时，若相似比为，则原图形上点的对应点坐标为或这一规律，计算对应点的坐标，是解题的关键． 根据，以原点为位似中心，根据位似变换的性质，通过将点的坐标乘以相似比得到对应点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，把放大，点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或， 即的坐标为或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故的长为． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键． 15. 教学楼前有一棵大树，小强用一块含有的直角三角尺测量这棵树的高度，示意图如图所示，已知，小强的眼睛与地面之间的垂直高度为，小强与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为______．（结果精确到，参考数据：） 【答案】8.6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，在中，利用三角函数求出的长，再利用进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：8.6． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__． 【答案】或 【解析】 【分析】把代入与求得函数的解析式，联立方程组求得，设，根据面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：把代入得， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 一次函数解析式为， 一次函数解析式为与轴的交点为， 解得，， ， 设， 的面积为20， ， 或， 或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. （1）计算； （2）解方程：． 【答案】（1）12；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根、乘方、化简绝对值以及特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可； （2）方程运用公式法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ∵，，， ， ∴， ∴，； 18. 如图，在和中，是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据得出，进而根据两边成比例夹角相等，证明即可； （2）根据（1）的结论，得出，代入已知条件即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， ∵，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得 ． 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E． （1）求证：△BDE∽△CAD． （2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠B=∠C，再证∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题； （2）先求出AD的长，由•AD•BD＝•AB•DE ，即可求解DE的长． 【小问1详解】 ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠ADC， ∴△BDE∽△CAD． 【小问2详解】 ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADB中，AD＝ = ＝12， ∵•AD•BD＝•AB•DE， ∴DE＝ ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 20. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）处到灯塔的距离为海里 （2）若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握方位角的转化及直角三角形中角的性质是解题的关键． （1）先根据方位角求出三角形内角，再结合船行驶的路程，利用等角对等边求出处到灯塔的距离； （2）过作垂线，利用直角三角形的性质求出灯塔到航线的距离，与海里比较判断是否有触礁危险． 【小问1详解】 解：由已知条件可得：， ，， ， ， 海里， 答：处到灯塔的距离为海里． 【小问2详解】 解：有触礁的危险，理由如下： 过作于点， 中，，， ， ． 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】（1）， （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A．B两点，已知． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出的取值范围； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：；一次函数的解析式： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）观察图象，即可求解； （3）求得直线与y轴的交点，利用，代入数据计算即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式：； 【小问2详解】 解：当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，的取值范围为：； 【小问3详解】 解：设直线与x轴，y轴交于C，D点， 令，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出． 23. 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）分别求出函数与的函数表达式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点坐标，函数图象与几何图形面积问题，正确掌握一次函数与反比例函数的综合知识点是解题的关键． （1）将点A的坐标代入，求出m，再将点A的坐标代入，把代入，进而求得的解析式； （2）根据函数图象的交点坐标即可解答； （3）求出点B、点B关于y轴对称点，待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，可得， ∴， 把代入双曲线，可得， ∴与x之间的函数关系式为：． 把代入，可得， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，不等式的解集为：． 【小问3详解】 解：，令，则， ∴点B的坐标为，则点B关于y轴对称点， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴，当最小，即时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $