精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明县2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题

2026年春季学期九年级阶段性检测 数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效； 2．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 某班10名学生数学成绩为：75，80，85，90，90，95，95，95，100，100．这组数据的众数是（ ） A. 90 B. 95 C. 90和95 D. 95和100 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数定义，统计每个数据的出现次数，找出次数最多的数据即可得到答案． 【详解】解：先统计各数据的出现次数． ∵75出现1次，80出现1次，85出现1次，90出现2次，95出现3次，100出现2次． ∴95是这组数据中出现次数最多的数据． 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 可得这组数据的众数为95． 2. 以下是反比例函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式，也可以转化为的形式．由题意直接根据反比例函数的定义，对各选项进行判定即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B. 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； C. 是反比例函数，故该选项正确，符合题意； D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 方程的根的情况是（ ） A. 无实根 B. 有一实根 C. 有两不等实根 D. 有两相等实根 【答案】C 【解析】 【分析】式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．不中心对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 5. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A． 6. 抛掷一枚均匀的硬币两次，两次都正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依先画出树状图法即可解答． 【详解】解：随机抛掷一枚均匀的硬币两次，所有出现的情况如下： 共有4种等可能出现的结果，有且只有两次正面朝上的情况有１种，则概率为． 故答案为C． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图法不重复不遗漏是解答本题的关键． 7. 若关于的方程有两个相等的实根，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，根据“一元二次方程有两个相等实根时，根的判别式等于”，列出等式计算即可． 【详解】因为方程有两个相等的实根，可得 解得： 8. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9. 为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为万元，若设5月、6月每月的增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 200（1+x）2＝500， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题． 10. 如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（ ） A. 120° B. 125° C. 130° D. 145° 【答案】A 【解析】 【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E， ∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O， ∴OD=OE， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴OD∥BC， ∵OA=OB， ∴OD=BC， ∴BC=OE=OB=OC， 是等边三角形， ∴∠COB=60°， ∴∠AOC=120°， 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 11. 在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； B、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； C、∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； D、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围相同，故本选项正确； 故选：D． 12. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 若方程 的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∵， ∴， ∴， ∴另一个根为， 故答案为：． 15. 如图，在中，是直径，连接，若，于点，，则的长是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理列式求出，根据三角形中位线定理求出结果即可． 【详解】解：，为的半径，， ， 在中，， ，即， ， ， ， ． 16. 如图，在边长为4等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 【详解】解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果； （2）根据特殊角三角函数值，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； 【小问2详解】 解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 19. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）CD的长为2． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得． 【详解】解：（1）证明∵AE平分， ∴， 在与中， ∵， ， ∴； （2）∵D为AE中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CD的长为2． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 20. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率以及根据概率公式求概率． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个袋子中摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种， ∴从甲袋子中摸出的球是白球的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种， ∴从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为． 21. “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，） 【答案】该建筑物的高度约为米 【解析】 【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 米， 在中，米， 米， 答：该建筑物BC的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键． 22. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，E为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，可知，得，进而可证得，再根据垂直可知，则，即可得，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，根据，得出，进而即可得证； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，，进而根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 又∵点在上， ∴是切线； 【小问2详解】 证明：点C是的切点， ， ， ． 又， ，， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：， ，， ，由（1）得， 在中，由勾股定理得． 点为的中点， ， ． ，， ， ， ， ，， ， ， ． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）由图象写出满足的自变量的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）或， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【小问1详解】 解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； 【小问2详解】 解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； 小问3详解】 解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期九年级阶段性检测 数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效； 2．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 某班10名学生数学成绩为：75，80，85，90，90，95，95，95，100，100．这组数据的众数是（ ） A. 90 B. 95 C. 90和95 D. 95和100 2. 以下是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（ ） A. 无实根 B. 有一实根 C. 有两不等实根 D. 有两相等实根 4. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某公园人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A B. C. D. 6. 抛掷一枚均匀的硬币两次，两次都正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有两个相等的实根，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A B. C. D. 9. 为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为万元，若设5月、6月每月的增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（ ） A. 120° B. 125° C. 130° D. 145° 11. 在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 14. 若方程 的一个根为，则另一个根为______． 15. 如图，在中，是直径，连接，若，于点，，则的长是_____________． 16. 如图，在边长为4等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 19. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 20. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 21. “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，） 22. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是切线； （2）求证：； （3）若，E为的中点，求的长． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）由图象写出满足的自变量的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $