精品解析：江苏苏州市苏州工业园区星汇学校2025-2026学年第二学期学科素养调研 九年级 数学

2025-2026学年第二学期学科素养调研 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 下列各数中，哪个选项是无理数（ ） A. B. C. D. 2. “破晓”是复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室科研团队研制的皮秒闪存器件，其擦写速度提升至400皮秒，实现了亚纳秒级操作，已知1皮秒等于秒，那么400皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 3. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小芸记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示．这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 8. 如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9. 因式分解：______． 10. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的正方形．一个小球在该正方形图形上自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为______． 11. 若满足，则代数式的值为______． 12. 一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若这个圆锥体的底面圆的半径为1，则这个圆锥体的高为______． 13. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 14. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 15. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为___________． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得，连接和．当面积最大时，的长等于_____． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 21. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、聪明、快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了___________名学生． （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数． （3）若该校有学生1000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数． （4）根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并提出一条合理化的建议． 22. 如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 23. 某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． （1）求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：_____； ②求该茶商每天的最大利润． 24. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． （1）求反比例函数表达式； （2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的倍，请求出点坐标； 25. 春天是踏青的好季节．小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向．景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米．（参考数据：，，，，） （1）求的长．（精确到个位） （2）小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是米／秒．小明在景点、处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为5米／秒．小华在景点、处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处．（数值精确到1） 26. 如图，点，，，都在上，是的直径，是的平分线，过点作，与的延长线交于点，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，求的值． 27. 如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，求旋转角度的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学科素养调研 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 下列各数中，哪个选项是无理数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：是有理数，选项不符合题意； 是有限小数，是有理数，选项不符合题意； 是有理数，选项不符合题意； 是无限不循环小数，是无理数，选项符合题意． 2. “破晓”是复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室科研团队研制的皮秒闪存器件，其擦写速度提升至400皮秒，实现了亚纳秒级操作，已知1皮秒等于秒，那么400皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 根据1皮秒秒，将400皮秒转换为秒，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒秒． 故选：A． 3. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据积的乘方运算可判断B，根据幂的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 4. 小芸记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示．这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：把6天体育锻炼的时间从小到大排列，排在中间的两个数分别是40，50，故中位数为（分钟）， 故选：B． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边乘以，把分式方程化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以方程的解为． 故选：A． 6. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 8. 如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由△AFG∽△CFB，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD可得AG＝AB＝BC，进而由△AFG∽△CFB确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由于∠ABC＝90°，得到CD是直径，根据垂径定理得到DF＝DB，故③正确；因为F为AC的三等分点，所以S△ABF＝S△ABC，又S△BDF＝S△ABF，所以S△ABC＝6S△BDF，由此确定结论④错误． 【详解】解：依题意可得BC∥AG， ∴△AFG∽△CFB， ∴， 又AB＝BC，∴． 故结论①正确； 如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°， ∴∠3＝∠4． 在△ABG与△BCD中， ， ∴△ABG≌△BCD（ASA）， ∴AG＝BD， 又∵BD＝AD， ∴AG＝AD； ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝AB； ∴AG＝AD＝AB＝BC； ∵△AFG∽△BFC， ∴＝， ∴FC＝2AF， ∴AF＝AC＝AB． 故结论②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时， ∵∠ABC＝90°， ∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径， ∵BG⊥CD， ∴， ∴DF＝DB，故③正确； ∵，AG＝BD，， ∴， ∴＝， ∴AF＝AC， ∴S△ABF＝S△ABC； ∴S△BDF＝S△ABF， ∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF． 故结论④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可. 【详解】解：原式. 10. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的正方形．一个小球在该正方形图形上自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率，七巧板，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值求解即可． 【详解】解：如图， 设总面积为16，则其中阴影部分面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 11. 若满足，则代数式的值为______． 【答案】或 【解析】 【详解】解：， ， 当时，； 当时，． 综上，代数式的值为或． 12. 一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若这个圆锥体的底面圆的半径为1，则这个圆锥体的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长求出圆锥的母线长，再利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥体的母线长为，则， 解得， 所以，圆锥的高为． 13. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 14. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作法得平分，垂直平分， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得，连接和．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，绝对值的化简，以及特殊角的正弦值求解即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集. 【详解】解： 解①得：； 解②得：； ∴不等式组的解集为：. 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 21. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、聪明、快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了___________名学生． （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数． （3）若该校有学生1000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数． （4）根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并提出一条合理化的建议． 【答案】（1） （2） ， 补全条形统计图如图： （3） （4）需要加强学生在家体育锻炼，努力提高身体素质（答案不唯一，合情合理即可） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率是正确解答的前提. （1）由两个统计图可知， “组”的频数为人，占调查总人数的，根据频率即可求出调查总人数； （2）求出样本中“组”的人数即可补全条形统计图，求出“组”人数所占调查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数； （3）求出样本中一周在家运动时长不足小时的人数所占的百分比，进而估计总体总体中一周在家运动时长不足小时的人数所占的百分比，再根据频率进行即可； （4）根据各个组所占的百分比，提出相应的建议即可. 【小问1详解】 (名), 故答案为: ； 【小问2详解】 样本中“组”的人数: (名)， 扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数为: ， 【小问3详解】 (人)， 答：该校名学生中一周在家运动时长不足小时的人数大约有人； 【小问4详解】 需要加强学生在家体育锻炼，努力提高身体素质． 22. 如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：D、分别是、边上的中点， 是的中位线， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 根据中位线的性质证得，结合，证得四边形是平行四边形，根据，从而得出结论； 在中，证得、，进而证得和，过点作于点，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 在中，， 、 点是的中点， 过点作于点 在中，， 在中，， 由勾股定理得，． 23. 某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． （1）求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：_____； ②求该茶商每天的最大利润． 【答案】（1） （2） ①；② 1250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）、二次函数的实际应用（利润最值），解题的关键是根据数量关系建立方程或函数模型． （1） 设平均增长率，根据2023和2025年游客人次列一元二次方程求解； （2） ①根据单价增加量与销量减少的关系，列出销量与的函数式；②根据利润公式建立二次函数，配方求最大值． 【小问1详解】 解∶设平均增长率为， 由题意得 解得， 即（舍去负根）， 故 平均增长率为． 【小问2详解】 ① 单价每增加元，销量减少斤， 故． 故答案为：． ② 设每天利润为元，每斤利润为元， 销量为， 则∶ 当时，取得最大值1250元． 24. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． （1）求反比例函数表达式； （2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的倍，请求出点坐标； 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（）用待定系数法即可求解； （）分点在下方和在点上方两种情况解答即可求解； 本题考查了反比例函数综合运用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入直线的表达式得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得，， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当点在下方时， 若的面积是面积的倍， 则， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴； 当在点上方时， 若的面积是面积的倍，则， ∴为的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴； ∴点的坐标为或． 25. 春天是踏青的好季节．小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向．景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米．（参考数据：，，，，） （1）求的长．（精确到个位） （2）小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是米／秒．小明在景点、处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为5米／秒．小华在景点、处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处．（数值精确到1） 【答案】（1）米 （2）小明先到达景点D处 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握方位角的知识，解直角三角形的计算是关键， （1）如图所示，过点作于点，结合方位角的计算得到是等腰直角三角形，，根据解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）如图所示，过点作于点，过点作于点，运用解直角三角形的计算，得到的长，根据行程问题的数量关系计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 根据题意，米， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴米，则米， 在中，， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：由（1）得到，米， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 根据题意，米，米，米，，， ∴米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴米，则米， 小明选择了游览路线①：， ∴米， 所用时间为：（秒）， 小华选择了游览路线②：， ∴米， 所用时间为：（秒）， ∵， ∴小明先到达景点D处． 26. 如图，点，，，都在上，是的直径，是的平分线，过点作，与的延长线交于点，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴． 由圆周角定理知， 即． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可； （3）在上找一点，使得，连接，通过四点共圆证明，根据弧相等圆周角相等的性质推出为等腰直角三角形，从而证明，推出为等腰直角三角形，再结合（2）所得的条件通过解直角三角形的出的值，最后证明，通过性质得出的值，再计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为； 【小问3详解】 如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，，都在上， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∵△ABC为等腰直角三角形，由（2）得， ∴， ∵在中，，由（2）得， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 27. 如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，求旋转角度的正切值． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 过点作，交轴于点，交抛物线于点， 则， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：存在点，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴同理（2）的方法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点， 则， ∴， ∴同理（2）的方法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $