精品解析：青海西宁市大通县朔山中学2025-2026学年度第二学期第一次阶段检测高三数学

大通县朔山中学2025～2026学年度第二学期第一次阶段检测 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：三角函数与平面向量，立体几何，统计与概率. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知420°角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则420°是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以420°是第一象限角. 2. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 3. 数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位的定义求解即可． 【详解】因为， 所以这组数据的75%分位数为． 故选：B． 4. 若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的 A. 倍 B. 3倍 C. 2倍 D. 5倍 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出圆锥的侧面积和底面积即可求解. 【详解】由题意可知，如下图所示，设，则 所以圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为 即圆锥的侧面积是底面积的倍 故答案选C 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积以及底面积，求侧面积时将侧面展开为扇形，利用扇形面积公式求解即可. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量垂直求得，再计算向量的模. 【详解】因为，， 所以，即， 所以，. 6. 一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（ ） A. 66 B. 68 C. 70 D. 72 【答案】C 【解析】 【详解】由长方形的面积之和为1，得： ， 所以， 所以水果质量在区间（单位：g）内的个数为个. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式化简原式，结合所在象限计算，进而求得，再使用正弦和差公式进行求解即可. 【详解】由得， 又，所以，， 所以 8. 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果一定为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量加法运算法则和运算律逐项判断即可. 【详解】，故A正确； ，不一定为，故B错误； ，不一定为，故C错误； ，故D正确. 10. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解法一：利用正三棱柱性质及线面垂直、平行相关定理判断线线、线面、面面关系，对每个选项逐一分析；解法二：建立空间直角坐标系得出各点坐标，进而得到相关向量，利用向量点积判断垂直，用向量与法向量关系判断线面位置，根据向量关系判断线性是否平行，从而得出正确选项. 【详解】解法一：如图，对于A选项，在正三棱柱中， 平面，又平面， 则，即， 因为是正三角形，为中点， 则，即， 又， 所以， 所以不成立，故A选项错误， 对于B选项，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又，，平面， 所以平面，故B选项正确， 对于C选项，因为在正三棱柱中，， 又平面，平面， 所以平面，故C选项正确， 对于D选项，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故D选项错误. 解法二：如图，建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的底面边长为2，高为h， 则，因为是正三角形，为中点， 所以，在直角三角形中，， 即，，，，，， 对于A选项，，， 则，即不成立，故A选项错误； 对于B选项和C选项，，，，， 设平面的法向量为，则， 得，令，则，所以，，平面， 则平面，平面，故B选项和C选项正确； 对于D选项，，，则，显然不成立，故D选项错误. 11. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ） A. 老师不排在两端的概率为 B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为 C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为 D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型即可判断A；利用插空法结合古典概型即可判断B；利用捆绑法结合古典概型即可判断C；利用排除法结合古典概型即可判断D. 【详解】对于A，老师不排在两端的概率为，故A正确； 对于B，先排甲、乙、丙之外的3人，有种，形成了4个空， 在这4个空中排甲、乙、丙，方法有种， 所以甲、乙、丙互不相邻的排法有种， 所以所求概率为，故B错误； 对于C，甲、乙、丙连排在一起有种， 把甲、乙、丙看作一个整体，再和其他三人一起排，有种， 所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为，故C正确； 对于D，从学生甲、乙、丙中任选出2人看作一个“整体”，方法有种， 先排教师和余下的两人，有种，形成了4个空， 将整体和另一个人插在4个空之间，有种， 所以满足条件的排法有种， 若老师排在两端，与其他两人先排，有种，形成了3个空， 将整体和另一个人插在3个空中，有种， 满足此条件的排法有种， 所以满足条件的排法有种， 所以所求概率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】由样本数据的平均数的计算方法即可求解. 【详解】. 13. 袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 【答案】95.45% 【解析】 【详解】由题意可知，故合格率约为95.45%. 14. 如图，平行四边形ABCD中，，，E是边AB的中点，将沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】易得当平面平面BCDE时，四棱锥的体积最大，再根据棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意，当平面平面BCDE时，四棱锥的体积最大， 因为，，所以为等边三角形， 所以等边三角形的高为， 所以四棱锥的高最长为，体积的最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 已知向量，设函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的最值和单调区间. 【答案】（1） （2）的最小值为，最大值为的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积得出函数关系式，再利用二倍角正弦与余弦公式化简前者得正弦型函数，故可求周期； （2）根据正弦函数的性质可求的最值和单调区间. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为. 小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 令，即时，故在递增； 令，即时，故在递减. 综上，的最小值为，最大值为， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求AD的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角互化及和角的正弦化简即得. （2）由（1）的结论，利用向量的线性运算及数量积的运算律列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，因此， 所以. 【小问2详解】 由，得，则， 即，两边平方得， 由（1）知，又，则，又， 因此，解得， 所以AD的长为. 18. 已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，2个蓝球，这些球除了颜色外完全相同. （1）现从甲盒中任取2个球放入乙盒中，再从乙盒中任取2个球，求从乙盒中取出是2个红球的概率； （2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 4 P . 【解析】 【分析】（1）分别记为“从甲盒中取出2个红球”，事件为“从甲盒中取出1个红球1个蓝球”，事件为“从甲盒中取出2个蓝球”，事件B为“从乙盒中取出的是2个红球”，由求解即可； （2）确定X的每一个取值，求得对应概率，即可求解. 【小问1详解】 记事件为“从甲盒中取出2个红球”，事件为“从甲盒中取出1个红球1个蓝球”，事件为“从甲盒中取出2个蓝球”，事件B为“从乙盒中取出的是2个红球”， 所以，，， ， ，， 所以 ， 即从乙盒中取出的是2个红球的概率为. 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，． （1）证明：平面； （2）点为线段上一点（与不重合）． （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线即可证明，即证明. （2）（i）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后利用坐标求出平面的法向量坐标，根据二面角的余弦值求出结果即可；（ii）利用坐标法列出球表面积的表达式，利用二次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，所以． 在平面中，，所以，又，所以四边形为梯形． 取的中点，连接，易知为矩形， ，所以，则， 又，所以，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 解：（i）由（1）可知平面平面，所以，又， 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则， 由（1）得平面，所以为平面的一个法向量，记， 由题意得， 整理得，解得或（舍），故． （ii）由（i）知，即． 设球球心坐标为，半径为，则， 即， ， 所以． 因为， 所以当时，取得最小值，所以球表面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县朔山中学2025～2026学年度第二学期第一次阶段检测 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：三角函数与平面向量，立体几何，统计与概率. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知420°角顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则420°是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 4. 若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的 A. 倍 B. 3倍 C. 2倍 D. 5倍 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（ ） A. 66 B. 68 C. 70 D. 72 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果一定为零向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 11. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ） A. 老师不排在两端概率为 B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为 C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为 D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为__________. 13. 袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 14. 如图，平行四边形ABCD中，，，E是边AB的中点，将沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0001 3841 6.635 10.828 16. 已知向量，设函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的最值和单调区间. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求AD的长． 18. 已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，2个蓝球，这些球除了颜色外完全相同. （1）现从甲盒中任取2个球放入乙盒中，再从乙盒中任取2个球，求从乙盒中取出的是2个红球的概率； （2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望. 19. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，． （1）证明：平面； （2）点线段上一点（与不重合）． （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $