精品解析：青海省西宁市大通县第一中学2024届高三第二次月考数学文科试题

大通县第一中学2024届高三第二次月考 数学（文科） 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，解三角形，向量，数列. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】因为， 由，即，解得， 所以， 所以. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可； 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将和分别带入对应函数解析式中求出函数值，即可求出结果. 【详解】因为 所以，，所以， 故选：D. 4. 已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，根据题意可得，即可求得R和l的值，根据圆心角公式，即可求得答案. 【详解】设扇形半径为R，弧长为l，有， 解得：，或， 故扇形的圆心角或， 即扇形的圆心角的弧度为4或1． 故选：C 5. 设是两个互相垂直的单位向量，则 A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】是两个互相垂直的单位向量，则，. . 故选A. 6. 在等比数列中，，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据下标和性质求出，设公比为，即可求出，最后根据通项公式计算可得. 【详解】因为，，又， 所以，设公比为，则，所以， 则. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性结合中间值“”和“1”比较大小即可. 【详解】∵ ， 又∵，，， ∴，，， ∴ 故选：B 8. 函数的零点所在区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且： ， 利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为. 本题选择C选项. 点睛：三个防范　一是严格把握零点存在性定理的条件，； 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件； 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点. 9. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，再用分离参数法求出的取值范围. 【详解】，若函数单调递增，必有恒成立，可得. 故选：D 10. 已知等比数列的前n项和为，且，，则=. A. 90 B. 125 C. 155 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质，成等比数列，即可求得，再得出答案. 【详解】因为等比数列的前项和为，根据性质所以成等比数列，因为，所以，故 故选C 【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列的前项和为，则也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题. 11. 若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的单调递增区间为， D. 函数是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项，从而得出结论. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得， 时，，为的最大值，所以选项A正确； 时，，所以选项B正确； 令，则 ，所以选项C错误； 为奇函数，所以选项D正确. 故选：C. 12. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的符号排除错误选项即可求得最终结果. 【详解】因为，且定义域为， 所以是奇函数,排除AD. 当时, ，所以； 当时, ，，所以，排除B选项. 故选：C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 14. 如图，为测量某山峰的高度（即的长），选择与在同一水平面上的，为观测点.在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为.若米，，则山峰的高为_________米. 【答案】 【解析】 【分析】设出OP，分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得山峰的高度． 【详解】设OP＝h，在等腰直角△AOP中，得OA＝OP=． 在直角△BOP中，得OP＝OBtan60°得OB＝h 在△AOB中，由余弦定理得 ， 得h＝（米）．则山峰的高为m． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力． 15. 在正项等比数列中，，是的两个根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理和等比数列的性质得到，，进而化简求出答案. 【详解】由韦达定理得， 由于正项数列， 故， . 故答案为： 16. 某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为______元. 【答案】 【解析】 【分析】设水池池底的一边长为，则另一边长为，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时的取值是否存在. 【详解】因为水池的容积为，深为，所以底面积为， 设水池池底的一边长为，则另一边长为， 则总造价 （元）. 当且仅当，即时，取最小值为. 所以水池最低造价为元. 故答案：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，化简集合，根据补集和并集的概念，即可求出结果； （2）根据两集合的包含关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）当时，， 又， 所以或， 因此或； （2）因为，， 由可得，解得， 即实数的取值范围为. 18. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式. （2）记数列的前项和为，证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式； （2）求出，可求得，利用裂项求和法可证得结论成立. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 由可得，解得， . 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以，， 因此，. 19. 已知向量，，且. （1）求函数的解析式； （2）当，的最大值是，求此时函数的最小值，并求出相应的的值. 【答案】（1） （2）时， 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简即可； （2）由的范围求出的范围，再由函数的最大值求出，即可求出的解析式，从而求出函数的最小值. 【小问1详解】 因为，，且， 所以 ， 即； 【小问2详解】 当时， 所以， 又当，的最大值是，所以，则， 所以， 则当，即时取得最小值，即. 20. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. （1）求A； （2）若的面积为，，求c. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理进行边角互化，即得； （2）由三角形面积公式及正弦定理可得，再利用正弦定理即可得出答案. 【详解】（1）由正弦定理有，，得 由余弦定理有 又由，可得； （2）由题意有 由正弦定理有， 由，有 由，有，可得 由正弦定理得. 21. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数． （1）求的解析式，并判断的单调性； （2）已知，，且，求的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性求得，再利用指数函数的单调性与单调性和差的性质即可得解； （2）利用的奇偶性与单调性，分类讨论的取值范围，结合指对数的运算法则即可得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 令，则， 故，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 综上，，在上单调递增. 【小问2详解】 因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增， ，且， ，即，则， 当时，，则，即，故； 当时，，则，即，则； 综上，的取值范围为. 22. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【详解】试题分析： (1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是； (2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为. 试题解析： （1）由得， 在上单调递增，， 的取值范围是. （2）存在，使不等式成立， 存在，使不等式成立. 令，从而， ， ， 在上单调递增， . 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大通县第一中学2024届高三第二次月考 数学（文科） 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，解三角形，向量，数列. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设是两个互相垂直的单位向量，则 A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 6. 在等比数列中，，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在区间为 A. B. C. D. 9. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的前n项和为，且，，则=. A. 90 B. 125 C. 155 D. 180 11. 若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数图象关于点对称 C. 函数的单调递增区间为， D. 函数是奇函数 12. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，则______ 14. 如图，为测量某山峰高度（即的长），选择与在同一水平面上的，为观测点.在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为.若米，，则山峰的高为_________米. 15. 在正项等比数列中，，是的两个根，则______. 16. 某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为______元. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式. （2）记数列的前项和为，证明. 19 已知向量，，且. （1）求函数解析式； （2）当，的最大值是，求此时函数的最小值，并求出相应的的值. 20. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. （1）求A； （2）若的面积为，，求c. 21. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数． （1）求的解析式，并判断的单调性； （2）已知，，且，求的取值范围． 22. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$