函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质学习指导 讲义-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

专题 函数的图像与性质学习指导 【专题导航】 情景目标:在物理学、工程技术学等许多问题中,都要遇到形如的函数(其中均是常数)；例如,物体做简谐振动时位移与时间的关系,交流电中电流强度与时间的关系等,都可用这类函数来表示.其实在自然界、日常生活及娱乐中有些现象或问题也符合这样的变化规律，如潮起潮落时海港水位的深度与时间的关系,广场或公园里的摩天转轮其边沿某一点处与地面的高度与旋转角度(或时间)的关系等等,这些问题都符合或近似满足这类函数关系.因此,研究这类函数的图像与性质是非常必要的，同时应用这类函数的图像和性质去解决实际问题就显得更为重要. 精细考点:会用五点法作出函数的图像，理解和掌握由的图像变换得到的图像,掌握由的图像求其解析式,理解和掌握函数的图像与性质,并能应用它的图像与性质解决函数的奇偶性、单调性、周期性及最值问题等,能利用模型去解决实际问题. 【核心任务】 任务点--素养目标 1.了解函数的物理意义,当表示一个振动量时,叫做振幅,叫做周期,叫做频率,叫做相位,叫做初相； 2.能用五点法作出函数在一个周期上的图像,理解参数对函数图像变化的影响； 3.掌握由的图像经过两种变换途径得到的图像. 4.掌握由的图像求其解析式； 5.理解和掌握函数的图像与性质,并能应用它的图像与性质解决函数的奇偶性、单调性、周期性及最值问题等； 6.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题； 7.体会数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想在解题中的应用,提高学生的逻辑推理、数学建模、直观想象及数学运算能力. 任务点--考点突破 考点:函数的图像变换 例1.(1)要得到函数的图像,只需将的图像作如下变换 ( ) (A)向左平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度 (C)向左平移个单位长度 (D)向右平移个单位长度 (2)将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,有,则 (A) (B) (C) (D) 【名师点拨】对于(1)可先设将函数的图像向右平移个单位,再根据平移变换法则列出方程,求出的值；对于(2)结合函数图像知,问题等价于取得最大(小)值与函数取得最小(大)值的自变量之差绝对值的最小值为,据此列出关于的方程,解之可得. 【解析】(1)设将的图像向右平移个单位.得到 ,由,即.故选B. (2) 由已知得,又,且,所以当取最小值时,恰好是取两个函数相邻的最大值与最小值点.由周期性,不妨令,,则且,解得.故选D. 【素养点评】(1)由函数的图像得函数()的图像时,平移的单位长度是,平移的方向是由的符号确定(正则左移,负则右移).(2)若图像变换中平移变换和伸缩变换的先后顺序不同,则得到的结果也不同,有时在解题中要注意逆向思维,用结果来倒推所需条件；要熟练掌握函数的图像和性质,并能在解题中灵活运用它们. 考点:由的图像求解析式 例2.已知定义域为的函数(其中)的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,且图像上一个最低点为.(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数的最值. 【名师点拨】一般是根据函数的图像特征及题中条件,按先后顺序依次求出的值,特别要注意应先求出的值,再来求的值；要求在闭区间上的最值(值域),先应确定相位的取值范围,然后再根据正弦函数的图像与性质求出的取值范围,并最终求出函数的最值(值域). 【解析】(1)依题意，由最低点为,得.又由轴上的相邻两个交点之间的距离为,得半个周期,即,解得.又在的图像上,有,得,则,即又,所以.故. (2)当时,则，从而得.故当,即时,；当,即时, 【素养点评】对于由的图像,求其解析式的题型,主要从以下四个方面考虑问题:(1)的确定,根据图像最高点的纵坐标(最大值)和最低点的纵坐标(最小值),得；(2)的确定,根据图像最高点的纵坐标(最大值)和最低点的纵坐标(最小值),得；(3)的确定,结合函数图像,先求出周期,然后由()来确定的值；(4)的确定，由函数通过特殊点确定的值,也可以利用该函数“五点作图”原理来确定的值；且应先求出的值,后求出的值. 考点:函数的图像与性质 例3.已知函数的部分图像如下图所示,其中.(1)求函数的解析式；(2)求函数图像的所有对称中心；(3)求函数的单调递减区间. 【名师点拨】先根据图像中的数据求出函数的解析式,再依据正弦型函数的固有性质来求解函数的对称中心和单调递减区间；解题过程中,操作要方便简洁,逻辑推理要严密，数学运算要准确. 【解析】(1)根据函数的图像,易得,,且,解得；由五点法作图原理得,(),且,解得.故所求函数解析式为. (2)由于,令即得().故函数图像的所有对称中心坐标为(). (3)因,由即 ,()；故函数的单调递减区间是(). 【素养点评】函数的性质如下. ①奇偶性:当()时,函数是奇函数；当()时,函数是偶函数.②周期性:函数的最小正周期为.③单调性:由()得单调递增区间；由()得单调递减区间.④对称性:令(),可求其对称中心坐标；令(),可求其对称轴方程. 考点:函数模型在实际问题中应用 例4.如图,某港口一天从时到时的水深变化曲线近似满足函数,其中.(1)试确定的值；(2)请估计在上午点钟时,港口水深是多少米？并求出一天中港口水深的最大值是多少？ 【名师点拨】先根据图像中的数据及函数模型的性质确定的值；然后，在知道函数解析式的条件下，可求出一天中任何时间点处港口水深大约是多少米. 【解析】(1)根据函数在上的图像,可知,且得,解得；由五点法作图原理得,(),且,解得；又,解得.综合可知. (2)由(1)知，函数；则当时,，即在上午点钟时,港口水深大约是米.易得,即一天中港口水深的最大值是米. 【素养点评】利用三角函数模型解决实际应用问题,最关键是要根据题中已知条件,可通过待定系数法求出相关常量而得出解析式,有时也可利用几何作图及三角函数知识求出解析式；一旦所求变量之间的解析式确定了,其它问题都能迎刃而解. 任务点——拓展提升 拓展活动1:利用“五点法”画图及图像变换 【情景1】刘晓红同学在做达标训练的课外作业时,遇到了用五点法作出正弦型函数在长度为一个周期的闭区间上的图像及图像之间如何进行变换的问题,她犯愁了. 题:设函数的周期为,且图像过点.(1)求与的值；(2)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像；(3)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 由于刘晓红对上述这些问题还没有掌握解决方法及操作要领和步骤,简直无从下手,于是她请教了班上的学习委员张倩同学. 张倩同学给她做了如下点拨:用五点法作出在一个周期的闭区间上的图像,首先要列表并分别令相位；再解出对应的值,得坐标；然后描点，最后画出图像.而由函数的图像变到函数的图像主要有两种:①按物理量初相、周期、振幅的顺序变换；②按物理量周期、初相、振幅的顺序变换；要注意两者操作的不同与区别,防止出错. 通过张倩耐心而细致地解释,刘晓红才茅塞顿开、豁然开朗,对该题解答如下: 【解析】(1)由函数的周期为,且,知,解得；将点的坐标代入中,有,且,解得.故,. (2)由(1)知,作出函数在一个周期上的图像. 用五点法列出四者的关系如下,先描点,再作出 在一个周期上的图像如图所示. (3)法1,把的图像上所有的点向左平移个单位,得到的图像；再把的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的倍,得的图像. 法2,将的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得的图像；再将的图像上所有的点向左平移个单位,得到 的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得的图像. 【收获】由函数的图像变换到函数的图像,主要有两种思路:①先作初相变换,即进行向左或向右平移个单位,再作周期变换，即进行轴方向的伸缩变换,然后作振幅变换,即进行轴方向的伸缩变换，最后作变换,即进行向上或向下平移个单位；②先作周期变换，即进行轴方向的伸缩变换,再作初相变换,即进行向左或向右平移个单位,然后作振幅变换,即进行轴方向的伸缩变换，最后作变换,即进行向上或向下平移个单位. 拓展活动2:据方程解的个数求参数的取值范围 【情景2】王军在课外学习中，遇到了一道有关根据三角函数方程解的个数来求参数的取值范围及方程实数根之和问题的难题，然后询问了数学老师，在数学老师的帮助下，顺利解决了问题.该问题如下： 题:已知函数,关于的方程为.(1)若方程在上有两个不同实根,求实数的取值范围及的值；(2)若方程在上恰好有一个实根,求实数的取值范围. 【解析】(1)因,由方程,可得，因为,所以.作出函数的图象或利用单位圆辅助解题，由对称性知：当且时，方程有两个不同实根,此时，即,解得；故所求实数的取值范围为.在单位圆中,由对称性得，且，解得. (2)由(1)的分析与思路可知：当或时，方程恰好有一个实根,此时，或,即,或,解得,或；故所求实数的取值范围为. 【收获】要解决此类问题,需熟悉三角函数的图象与性质，以及熟练利用单位圆中的正弦函数线解题，这些知识、技能和方法应铭记于心. 任务点——素养清单 学科网（北京）股份有限公司 $