专题1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象（高效培优讲义，7知识&10题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

本讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，以五点法作图为基础，系统梳理参数A、ω、φ对图象的影响，衔接函数性质应用及由图象确定解析式，构建从基础操作到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”与分层题型设计，结合平移伸缩变换路径对比等实例，培养学生几何直观（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），课中助力教师突破重难点，课后通过变式练习帮助学生巩固知识，提升用数学语言解决问题的能力。

专题1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 教学目标 1.结合具体实例，理解函数的实际意义，掌握振幅、初相、相位、频率等相关概念 2.能运用 “五点法” 画出函数的图象，理解并掌握其图象的平移与伸缩变换规律。 3.借助图象理解参数的意义，了解它们对函数图象形状的影响 4.掌握函数的性质，并能利用图象与性质解决简单问题 教学重难点 1.重点 （1）用 “五点法” 绘制的图象，掌握其图象的平移与伸缩变换规律。 （2）理解参数的意义及其对函数图象和性质的影响。 2.难点 （1）区分 “先平移后缩放” 与 “先缩放后平移” 两种变换路径中相位平移的单位差异。 （2）结合图象与性质，综合运用参数解决实际问题和图象解析式的确定。 知识点01 五点作图法作函数的图像 1. 换元简化：令，则原函数转化为。根据的五个关键点，确定的取值为。 2. 求解对应值：分别将代入，解出对应的值： 3. 计算对应值：将上述代入原函数，结合的取值，得到对应的值依次为： 4. 列表记录关键点：整理对应的五个关键点，形成如下表格： ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 5. 描点连线：在平面直角坐标系中，准确描出上述五个关键点，再用______将五个点顺次连接，即可得到函数在一个周期内的图像。若要得到整个定义域内的图像，可将该周期内的图像向左、右平移______个单位长度（周期长度）。 【即学即练】 1．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．(24-25高一上·广东广州番禺区·期末)时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点02 常数对函数图象的影响 （1）在函数中，决定了函数的周期，通常称周期的倒数为______。 （2）函数的图象是将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的______（当时）或伸长（当时）到原来的______倍（纵坐标不变）而得到的。 【即学即练】 3．画出下列函数在一个周期上的图象，并讨论其性质： (1)； (2)． 4．(20-21高一下·湖北荆州石首一中·月考)函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 知识点03 常数对函数图象的影响 （1）在函数中，决定了时的函数值，通常称为______，为______。 （2）函数的图象，是将的图象上所有的点______（当时）或______（当时）平移______个单位长度得到的。 【即学即练】 5．(24-25高一下·四川雅安中学·月考)为了得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 6．(24-25高一下·四川天府新区实外高级中学·月考)要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 知识点04 函数的性质 函数的性质如下： （1）定义域：______； （2）值域：______，当 时，取得最大值；当时，取得最小值。 （3）单调性：由，解得单调递增区间；由，解得单调递减区间。 （4）奇偶性：当时，函数为______；当时，函数为______。 （5）周期性：最小正周期：______； （6）对称性：对称轴：直线______；对称中心：点______。 【即学即练】 7．(25-26高一上·天津港保税区第一中学·调研)已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 8．(25-26高一上·广东茂名广东实验中学附属茂名学校·)函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 知识点05 函数中参数的物理意义 1. 本质： （1）：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为______。 （2）：，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为______ 。 （3）：，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为______。 （4）：称为______；：当时的相位，称为______。 2. 混淆点：周期的区别和联系，明确二者之间的倒数关系。 【即学即练】 9．(23-24高一下·四川绵阳三台县·期中)函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 10．(23-24高一下·广东佛山南海区桂城中学·)函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 知识点06 由的图象性质或部分图象确定解析式 解决此类问题的关键在于确定参数，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解。若设所求解析式为，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定：、 （1）：一般可由图象上的最大值、最小值来确定。 （2）：因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为。 （3）：从寻找“五点法”中的第一零点（也叫初始点）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定。 （4）三个量中，初相的确定是一个难点，除使用初始点外，还可利用五点法中其他点确定初相，即在五点中找两个特殊点列方程组解出，如：解出等。 【即学即练】 11．(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔第一中学·月考)函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 12．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点07 平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：先相位平移，再横坐标缩放，最后振幅缩放： （1）相位平移：将的图象向______平移______个单位，得到______； （2）横坐标缩放：保持纵坐标不变，将图象上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的______倍，得到______； （3）振幅缩放：保持横坐标不变，将图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的______倍，得到最终函数. 方法二：先横坐标缩放，再相位平移，最后振幅缩放： （1）横坐标缩放：保持纵坐标不变，将的图象上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的______倍，得到； （2）相位平移：将图象向______移______个单位，得到； （3）振幅缩放：保持横坐标不变，将图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍，得到最终函数 关键注意点：两种方法的核心差异在于相位平移的单位：先平移后缩放时，平移；先缩放后平移时，平移。振幅缩放的顺序不影响结果，放在最后一步最为清晰。 【即学即练】 13．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 14．(25-26高三上·山东青岛·调研)为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 15．(24-25高一下·北京房山区·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 题型01 正/余弦型三角函数的最小正周期 【典例1】(25-26高三上·黑龙江鸡西·期中)函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·海南海南师范大学附属中学·月考)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式4】(24-25高二下·云南普通高中·期末)函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 题型02 正/余弦型三角函数单调性 【典例1】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·甘肃定西临洮县·期末)下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高一上·江苏常州第一中学·调研)在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 题型03 利用正/余弦型三角函数的单调性求参数 【典例1】已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·福建级重点厦门大学附属科技中学·)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式3】(24-25高一下·安徽蚌埠固镇二中、怀远三中、五河二中·月考)若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一上·广东惠州第一中学·期末)已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用正/余弦型三角函数的单调性求函数值或值域 【典例1】(24-25高一下·湖北“新八校”协作体·月考)已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·)已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【变式3】已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式4】已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型05 判断正/余弦型三角函数的奇偶性 【典例1】(22-23高一下·河南济源英才学校·月考)函数的（    ） A．图象关于x轴对称 B．图象关于y轴对称 C．图象关于原点对称 D．以上都不对 【变式1】已知，则下列命题正确的是（    ） A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数 C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数 【变式2】(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)函数是（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【变式3】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【变式4】(23-24高二上·山西·)函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 题型06 由正/余弦型三角函数的奇偶性求参数 【典例1】已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高三下·广东深圳高级中学高中园·二模)奇函数的单调减区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式3】(24-25高一上·浙江杭州某校（实验班）·月考)“”是“函数为奇函数”的 （    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】(25-26高三上·重庆第一中学校·月考)已知函数，若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型07 正/余弦型三角函数的对称性 【典例1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第六中学·期末)已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高三上·河北邯郸旭日中学·月考)函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高三上·广东深圳实验学校高中园、惠东县惠东高级中学·)函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·四川眉山·期末)函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 题型08 正/余弦三角函数的平移伸缩变换 【典例1】要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式1】要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式2】(25-26高三上·河北邢台·月考)为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式3】(24-25高一下·山东威海·期末)已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【变式4】(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 题型09 利用图像求正/余弦型三角函数的 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 【变式1】函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】(23-24高三上·四川泸州泸州老窖天府中学·)某同学将函数的部分图象进行平移后，得到（其中）的部分图象如图所示，则这种平移可能是（    ）    A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【变式3】(22-23高一下·四川绵阳南山中学·月考)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称 D．将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象 【变式4】(21-22高三上·河南洛阳·一模)已知函数在上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 题型10 正/余弦型三角函数的性质综合运用 【典例1】已知函数，则下列结论 ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数的最小值为 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.则为奇函数 其中判断正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·天津实验中学滨海育华学校·)设函数的最小正周期是π，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（   ） ①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象； ②的图象过点； ③的图象的一个对称中心是； ④在上是减函数. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【变式3】(24-25高一下·内蒙古包头·期末)已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 【变式4】已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 1．函数的最小正周期是（    ）． A． B． C． D． 2．若函数的最小正周期为2，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 4．函数，在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递减 5．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高三上·上海黄浦区·调研)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·山西临汾部分学校·期末)已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．函数的最大值为（   ） A．4 B．7 C． D．15 10．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 11．(25-26高一上·天津武清区崔黄口中学·)已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 12．如果函数在区间上的最小值为，则a的值为（    ）． A． B． C． D． 13．若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 14．(25-26高三上·河南豫西北教研联盟·)将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．10 D．16 15．(25-26高三上·天津泰达中学·月考)已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 16．(25-26高三上·江苏镇江丹阳吕叔湘中学、马相伯高级中学·)若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 17．(25-26高三上·北京房山区良乡附中·月考)函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 18．(24-25高二下·江西宜春九师联盟·)已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 19．(24-25高一下·辽宁葫芦岛协作校·)已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 20．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 21．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 22．已知函数的图象为C，为得到函数的图象，只需把C上的所有点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 23．(24-25高一下·陕西咸阳·期末)为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 24．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 25．将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 教学目标 1.结合具体实例，理解函数的实际意义，掌握振幅、初相、相位、频率等相关概念 2.能运用 “五点法” 画出函数的图象，理解并掌握其图象的平移与伸缩变换规律。 3.借助图象理解参数的意义，了解它们对函数图象形状的影响 4.掌握函数的性质，并能利用图象与性质解决简单问题 教学重难点 1.重点 （1）用 “五点法” 绘制的图象，掌握其图象的平移与伸缩变换规律。 （2）理解参数的意义及其对函数图象和性质的影响。 2.难点 （1）区分 “先平移后缩放” 与 “先缩放后平移” 两种变换路径中相位平移的单位差异。 （2）结合图象与性质，综合运用参数解决实际问题和图象解析式的确定。 知识点01 五点作图法作函数的图像 1. 换元简化：令，则原函数转化为。根据的五个关键点，确定的取值为。 2. 求解对应值：分别将代入，解出对应的值： 3. 计算对应值：将上述代入原函数，结合的取值，得到对应的值依次为： 4. 列表记录关键点：整理对应的五个关键点，形成如下表格： 5. 描点连线：在平面直角坐标系中，准确描出上述五个关键点，再用 光滑的曲线 将五个点顺次连接，即可得到函数在一个周期内的图像。若要得到整个定义域内的图像，可将该周期内的图像向左、右平移 个单位长度（周期长度）。 【即学即练】 1．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：. 2．(24-25高一上·广东广州番禺区·期末)时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数图象即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B 知识点02 常数对函数图象的影响 （1）在函数中，决定了函数的周期，通常称周期的倒数为 频率 。 （2）函数的图象是将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的。 【即学即练】 3．画出下列函数在一个周期上的图象，并讨论其性质： (1)； (2)． 【答案】(1)定义域：，值域：，周期性：，奇偶性：奇函数， 单调性：单调增区间：，单调减区间： (2)定义域：，值域：，周期性：，奇偶性：奇函数， 单调性：单调增区间：，单调减区间： 【分析】（1）根据五点法作图规则作出图形，借助图象、周期公式、奇偶性定义等求解出性质； （2）根据五点法作图规则作出图形，借助图象、周期公式、奇偶性定义等求解出性质. 【详解】（1）    定义域：； 值域：； 周期性：； 奇偶性：因为， 所以函数为奇函数； 单调性：当，解得，， 故函数的单调增区间：， 当，解得，， 故函数的单调减区间：， 所以单调性：单调增区间：，单调减区间：. （2）    定义域：； 值域：； 周期性：； 奇偶性：因为， 所以函数为奇函数； 单调性：当，解得，， 故函数的单调增区间：， 当，解得，， 故函数的单调减区间：， 单调性：单调增区间：，单调减区间：. 4．(20-21高一下·湖北荆州石首一中·月考)函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】直接由函数图象的伸缩变化求得表达式即得ω的值 【详解】把函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 所得图象对应的函数解析式为，故ω的值为． 故选：B． 知识点03 常数对函数图象的影响 （1）在函数中，决定了时的函数值，通常称为 初相 ，为 相位 。 （2）函数的图象，是将的图象上所有的点 向左平移 （当时）或 向右平移 （当时）平移 个单位长度得到的。 【即学即练】 5．(24-25高一下·四川雅安中学·月考)为了得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】将向左平移个单位长度可得， 故选：D 6．(24-25高一下·四川天府新区实外高级中学·月考)要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】D 【分析】利用函数图像左右方向平移遵循的“左加右减”原则，即可得到结论. 【详解】将函数的图象向左平移，可得到， 即函数的图象. 所以，只需要将函数的图象向右平移，可得到函数的图象. 故选：D. 知识点04 函数的性质 函数的性质如下： （1）定义域： ； （2）值域： ，当 时，取得最大值；当时，取得最小值。 （3）单调性：由，解得单调递增区间；由，解得单调递减区间。 （4）奇偶性：当时，函数为 奇函数 ；当时，函数为 偶函数 。 （5）周期性：最小正周期： ； （6）对称性：对称轴：直线 ；对称中心：点 。 【即学即练】 7．(25-26高一上·天津港保税区第一中学·调研)已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质，利用代入验证的方法，可判断A、B；求出函数的单调区间，即可判断C、D. 【详解】A：，所以的图象关于点对称，正确； B：是函数的最大值，故直线是图象的一条对称轴，正确； C、D：由，解得， 所以的单调递增区间为， 当时，在上单调递增，而，故C正确，D错误. 故选：D 8．(25-26高一上·广东茂名广东实验中学附属茂名学校·)函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】B 【分析】由诱导公式得，然后根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为， 所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B 知识点05 函数中参数的物理意义 1. 本质： （1）：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为 振幅 。 （2）：，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为 周期 。 （3）：，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为 频率 。 （4）：称为 相位 ；：当时的相位，称为 初相 。 2. 混淆点：周期的区别和联系，明确二者之间的倒数关系。 【即学即练】 9．(23-24高一下·四川绵阳三台县·期中)函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 【答案】B 【分析】求出振幅，周期，初相. 【详解】根据函数解析式知，振幅为，周期为，初相为. 故选：B. 10．(23-24高一下·广东佛山南海区桂城中学·)函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【分析】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可. 【详解】函数， 振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是， 故选：D． 知识点06 由的图象性质或部分图象确定解析式 解决此类问题的关键在于确定参数，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解。若设所求解析式为，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定：、 （1）：一般可由图象上的最大值、最小值来确定。 （2）：因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为。 （3）：从寻找“五点法”中的第一零点（也叫初始点）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定。 （4）三个量中，初相的确定是一个难点，除使用初始点外，还可利用五点法中其他点确定初相，即在五点中找两个特殊点列方程组解出，如：解出等。 【即学即练】 11．(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔第一中学·月考)函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 12．(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：， ， 由 ，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由， ，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误． 故选：B． 知识点07 平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：先相位平移，再横坐标缩放，最后振幅缩放： （1）相位平移：将的图象向 左 平移 个单位，得到 ； （2）横坐标缩放：保持纵坐标不变，将图象上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的 倍，得到 ； （3）振幅缩放：保持横坐标不变，将图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的 倍，得到最终函数. 方法二：先横坐标缩放，再相位平移，最后振幅缩放： （1）横坐标缩放：保持纵坐标不变，将的图象上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的 倍，得到； （2）相位平移：将图象向 左 平移 个单位，得到； （3）振幅缩放：保持横坐标不变，将图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍，得到最终函数 关键注意点：两种方法的核心差异在于相位平移的单位：先平移后缩放时，平移；先缩放后平移时，平移。振幅缩放的顺序不影响结果，放在最后一步最为清晰。 【即学即练】 13．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 14．(25-26高三上·山东青岛·调研)为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的变换直接可得. 【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到函数的图象， 再将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. 故选：C 15．(24-25高一下·北京房山区·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 【答案】A 【分析】根据三角函数图象的变化规律即可求解. 【详解】对于A，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故A正确； 对于B，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故B错误； 对于C，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故C错误； 对于D，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故D错误. 故选：A 题型01 正/余弦型三角函数的最小正周期 【典例1】(25-26高三上·黑龙江鸡西·期中)函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 【变式1】(25-26高二上·海南海南师范大学附属中学·月考)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用余弦函数的周期公式求解即可． 【详解】函数的最小正周期是. 故选：C 【变式2】下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【详解】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 【变式3】函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为 . 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 【变式4】(24-25高二下·云南普通高中·期末)函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】因，则最小正周期为：. 故选：C 题型02 正/余弦型三角函数单调性 【典例1】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将原函数变形为，将原函数的单调增区间转化为的单调减区间，再结合正弦函数的单调减区间列不等式求解，得到原函数的单调增区间. 【详解】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B 【变式1】(24-25高一下·甘肃定西临洮县·期末)下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代入法可得函数单调区间. 【详解】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 【变式2】下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质分别求出的递增区间和递减区间，再判断各项对应区间是否单调，即可得. 【详解】由，，得，， 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 由，，得，， 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为， 所以在区间不单调. 故选：B 【变式3】(25-26高一上·江苏常州第一中学·调研)在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 【变式4】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【详解】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 题型03 利用正/余弦型三角函数的单调性求参数 【典例1】已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称轴得出，结合单调性得出，代入数值可得答案. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即， 因为在上，即上单调递增， 显然，则，可得，故 综上，，则，故. 故选：D 【变式1】(25-26高三上·福建级重点厦门大学附属科技中学·)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的单调递增区间，根据是函数增区间的子集，可求的取值范围. 【详解】由于，则, 由， ，. 由， ，. 所以得：. 故选：B 【变式2】已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 【变式3】(24-25高一下·安徽蚌埠固镇二中、怀远三中、五河二中·月考)若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意函数在区间上单调递减，结合余弦函数的单调性，根据三角函数的性质列式求解. 【详解】因为，则，由函数在区间上单调递减，可知，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D 【变式4】(24-25高一上·广东惠州第一中学·期末)已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性，结合零点情况求出的范围即可得解. 【详解】函数，当时，， 而余弦函数在上单调递减，又， 因此，解得， 由，得，当时，， 而函数在上有且仅有1个零点，则，解得， 因此，ABD不满足，C满足. 故选：C 题型04 利用正/余弦型三角函数的单调性求函数值或值域 【典例1】(24-25高一下·湖北“新八校”协作体·月考)已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 【变式1】(25-26高三上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·)已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 【变式2】已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据周期公式求出，得到函数，由求出，结合正弦函数的图像得到最小值. 【详解】 ，由，得， 即，当时， ， 画出图象，如图，由图可知，在上单调递减， 所以，当时，． 故选： 【变式3】已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【详解】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 【变式4】已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值. 【详解】由题意，解得，所以， 当时，， 所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：C. 题型05 判断正/余弦型三角函数的奇偶性 【典例1】(22-23高一下·河南济源英才学校·月考)函数的（    ） A．图象关于x轴对称 B．图象关于y轴对称 C．图象关于原点对称 D．以上都不对 【答案】C 【分析】先用三角函数诱导公式化简得，然后再根据正弦函数性质从而可求解. 【详解】由题意：，， 设，， 所以为奇函数，由奇函数性质得其图象关于原点对称，故C项正确. 故选：C. 【变式1】已知，则下列命题正确的是（    ） A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数 C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数 【答案】D 【分析】由正弦型函数的周期公式以及诱导公式判断即可. 【详解】因为，所以最小正周期为， ，为非奇非偶函数. 故选：D. 【变式2】(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)函数是（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【分析】由诱导公式化简，利用奇函数的定义判断即可． 【详解】，定义域为 ，是奇函数， 故选：B 【变式3】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】A 【分析】根据余弦函数的周期性和奇偶性即可得解. 【详解】定义域是，关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数， 又， 所以是最小正周期为的偶函数. 故选：A. 【变式4】(23-24高二上·山西·)函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【分析】计算周期和奇偶性得到答案. 【详解】，函数定义域为，，， 为偶函数， 故选：A 题型06 由正/余弦型三角函数的奇偶性求参数 【典例1】已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可. 【详解】由是偶函数， 则，，即，， 则时，，时，，时，， 则的最小值是. 故选：A. 【变式1】(24-25高三下·广东深圳高级中学高中园·二模)奇函数的单调减区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】奇函数条件确定φ的值,化简后利用正弦函数的单调性求得. 【详解】由题 为奇函数，需满足 . 代入得：, 利用余弦函数的性质，当且仅当 时等式对所有 成立. . 令. 解得：. 当 时，减区间为 ， 故选: A. 【变式2】已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式易得． 【详解】因为函数为偶函数，所以.又，所以，解得，代入检验，得到，显然符合题意. 故选：B. 【变式3】(24-25高一上·浙江杭州某校（实验班）·月考)“”是“函数为奇函数”的 （    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质、充分条件和必要条件即可得解. 【详解】当“”时，是奇函数； 当“函数为奇函数”时，不一定为， 如时，是奇函数， 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：B 【变式4】(25-26高三上·重庆第一中学校·月考)已知函数，若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，根据函数的奇偶性得到关于的等式，结合的范围即可判断选项.. 【详解】由可得， 为偶函数，故，即， 又，故当时，满足要求，C正确；其他选项均不正确. 故选：C 题型07 正/余弦型三角函数的对称性 【典例1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第六中学·期末)已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知正弦函数关于对称，得出，求出表达式，再利用的范围确定的值． 【详解】 ，图象关于对称， ， ，解得， ， ，故A正确． 故选：A． 【变式1】已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心计算求解. 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得， 当时，得到对称中心. 故选:B. 【变式2】(25-26高三上·河北邯郸旭日中学·月考)函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出对称轴方程. 【详解】由，解得. 当时，，即一条对称轴为. 故选：B. 【变式3】(25-26高三上·广东深圳实验学校高中园、惠东县惠东高级中学·)函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质求出函数的对称轴方程，即可判断. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的对称轴为， 当时，故B符合题意，、、均不符合题意. 故选：B 【变式4】(24-25高一下·四川眉山·期末)函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 题型08 正/余弦三角函数的平移伸缩变换 【典例1】要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据平移变换“左加右减”的原则即可得解. 【详解】根据平移变换“左加右减”的原则， 要得到函数的图像，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：A. 【变式1】要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【详解】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 【变式2】(25-26高三上·河北邢台·月考)为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解. 【详解】， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象， 故选：D 【变式3】(24-25高一下·山东威海·期末)已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A 【变式4】(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】按照各选项中给定的变换，逐项判断即得. 【详解】对于A，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得的图象，再向左平行移动个单位长度， 得，A正确； 对于B，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得的图象，再向右平行移动个单位长度， 得，B错误； 对于C，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得的图象，再向左平行移动个单位长度， 得，C错误； 对于D，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得的图象，再向右平行移动个单位长度， 得，D错误. 故选：A 题型09 利用图像求正/余弦型三角函数的 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题设得到，，再将代入，即可求解. 【详解】由图知，点在的增区间内，点在的减区间内，又，， 设的最小正周期为，则，解得，所以， 因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称， 又，所以， 则，又，所以， 故，将代入可得，所以． 故选：D. 【点睛】方法点睛：有关三角函数奇偶性问题的解题思路： 1.要使为奇函数，则． 2.要使为偶函数，则． 3.要使为奇函数，则． 4.要使为偶函数，则． 【变式1】函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象最大值得到，由向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得过，结合图象过得到，故，，从而，由得到的值. 【详解】由图象得，从而， 的图象上的所有点向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以结合图象知，所以，故， 又，则，结合，得， 所以，， 故选：A． 【变式2】(23-24高三上·四川泸州泸州老窖天府中学·)某同学将函数的部分图象进行平移后，得到（其中）的部分图象如图所示，则这种平移可能是（    ）    A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【答案】D 【分析】根据图象的特点及三角函数图象变换计算验证即可. 【详解】若向左平移个长度单位得， 显然当时，，与图象不符，即A错误； 若向右平移个长度单位得， 显然当时，，与图象不符，即B错误； 若向左平移个长度单位得， 显然当时，，与图象不符，即C错误； 若向右平移个长度单位得， 显然当时，，当时，， 与图象相符，即D错误； 故选：D 【变式3】(22-23高一下·四川绵阳南山中学·月考)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称 D．将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象 【答案】C 【分析】根据图象得最小正周期，得，利用五点作图法求出，根据求出，可得B不正确；A不正确；再根据图象变换规律可得C正确；D不正确. 【详解】由图可知，则，则，， 由五点作图法可知，，即，故B不正确； 由，得，得，故A不正确； 由以上得，将的图象向左平移个单位后得到的函数 是偶函数，其图象关于轴对称，故C正确； 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象，故D不正确. 故选：C 【变式4】(21-22高三上·河南洛阳·一模)已知函数在上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据变换可得，对选项进行一一判断，即可得到答案； 【详解】根据变换可得， 对A，，故A符合； 对B，，故B不符合； 对C，，故C不符合； 对D，，故D不符合. 故只有A正确； 故选：A. 题型10 正/余弦型三角函数的性质综合运用 【典例1】已知函数，则下列结论 ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数的最小值为 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.则为奇函数 其中判断正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数图象的单调性判断①,对称性判断②,由图像变换的性质判断③. 【详解】①当时，， 当时，，且，， 所以函数在上单调递增，正确； ②若，则函数关于直线对称， 即，，解得，， 又，所以，即，所以正整数的最小值为，正确； ③由，得，则函数的图象向右平移个单位长度得到 ，则，不满足奇函数性质，错误； 综上所述，正确结论的个数为， 故选：C. 【变式1】(25-26高三上·天津实验中学滨海育华学校·)设函数的最小正周期是π，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（   ） ①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象； ②的图象过点； ③的图象的一个对称中心是； ④在上是减函数. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角函数的性质得出，再根据正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】由最小正周期为，得； 由为对称轴，得，， 故取1，，所以； ①的图象向右平移个单位长度后，得，则①错误； ②，的图象过点，正确； ③，的图象的一个对称中心是，正确； ④因为当时，则，且在内不单调， 所以在不单调，错误. 故选：B 【变式2】(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 【变式3】(24-25高一下·内蒙古包头·期末)已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 【答案】D 【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以图象关于对称，故B正确； 对于C，，，故在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项B，可知D错误. 故选：D. 【变式4】已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【分析】选项A，由，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，得到，根据最小正周期公式得到，由一条对称轴方程为，得到，又，求得的值；选项B，令和解出的值，即可得解；选项C，由，求出的范围，结合余弦函数的图像得到在区间上单调递减；选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，利用诱导公式得解. 【详解】选项A，， 其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为， 则函数的周期满足，，，， 一条对称轴方程为，， ，，故A正确； 选项B，，，， ，由，可得或， 的图象在区间内有个对称中心，故B正确； 选项C，，， 在区间上单调递减，故C错误； 选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数，故D正确. 故选：C. 1．函数的最小正周期是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三角函数的最小正周期公式直接计算即可. 【详解】在三角函数中，，因此最小正周期. 故选：C. 2．若函数的最小正周期为2，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式建立方程，求解参数即可. 【详解】由正弦函数的最小正周期公式得函数的最小正周期， 解得，故C正确. 故选：C． 3．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式直接求解即可. 【详解】因为：， 故选：B 4．函数，在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递减 【答案】B 【分析】首先根据三角函数诱导公式，得到，再根据余弦函数的单调性即可判断出正确选项. 【详解】因为， 根据余弦函数的单调性得：原函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故选：. 5．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得， 即， 解得 . 故选：A. 6．(25-26高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可求出的大致范围，再由的范围求出的范围，再确定左端点的范围，从而得到，解得即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以，即，又，所以，解得， 由，则， 又，所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 7．(24-25高三上·上海黄浦区·调研)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整体代入法表示出函数的单调区间，结合已知列不等式组求解可得. 【详解】由，， 得， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，结合得. 故选：A 8．(24-25高一下·山西临汾部分学校·期末)已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 9．函数的最大值为（   ） A．4 B．7 C． D．15 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质求出最大值. 【详解】函数中，，所以当时，. 故选：B 10．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意可得是函数的最小值，是函数的最大值，可知的最小值就是函数的半周期长． 【详解】若对于任意的，都有， 则是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值即为函数的半周期长， 而函数的最小正周期，因此． 故选：B 11．(25-26高一上·天津武清区崔黄口中学·)已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 12．如果函数在区间上的最小值为，则a的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】时应用正弦函数的值域得出当时，有最小值，最后结合最小值即可求参． 【详解】因为当时，， 所以，当时，有最小值． 可得的最小值为，解得. 故选：A. 13．若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】因为是奇函数， 故，，检验符合，所以. 故选：D. 14．(25-26高三上·河南豫西北教研联盟·)将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．10 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可. 【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 则， 又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数， 所以，解得， 当时，. 故选：B 15．(25-26高三上·天津泰达中学·月考)已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，再由函数为偶函数可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由函数的最小正周期为可得， 即，则， 即， 又函数为偶函数，即， 解得，且， 当时，. 故选：B 16．(25-26高三上·江苏镇江丹阳吕叔湘中学、马相伯高级中学·)若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而 、、均不可能. 故选：C 17．(25-26高三上·北京房山区良乡附中·月考)函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法可求得的对称中心坐标为，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确. 故选：D. 18．(24-25高二下·江西宜春九师联盟·)已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【答案】D 【分析】求的最小正周期可判断A；由的对称中心的性质可判断B；求出的单调递减区间可判断C；求出的对称轴方程可判断D． 【详解】的最小正周期为，A错误； 由，B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，C错误； 由的图象关于直线对称， 得的最小值为，D正确． 故选：D． 19．(24-25高一下·辽宁葫芦岛协作校·)已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数最小正周期公式，求出参数，再根据余弦函数解析式，求出对称轴方程即可. 【详解】已知,则，可得， 根据余弦函数对称轴方程得，解得得． 故选：B. 20．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【答案】B 【分析】根据平移变换可得.将代入的解析式得，即可判断选项A；当时，，因为余弦函数在上的单调性，即可判断选项B；当时，，根据余弦函数的图象，即可判断选项C；将代入的解析式得，即可判断选项D. 【详解】由题意得. 将代入中，得，故函数的图象关于点中心对称，故选项A错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确； 当时，，根据余弦函数的图象可知，当，即时，即在区间有一个零点，故选项C错误； 将代入中，得，故函数的图象关于直线对称，故选项D错误. 故选：B. 21．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移即可得解. 【详解】因为， 所以只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位， 即可得到函数的图象. 故选：A 22．已知函数的图象为C，为得到函数的图象，只需把C上的所有点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论． 【详解】， 为得到函数的图象， 只需把C上的所有点向左平移个单位长度， 故选：A． 23．(24-25高一下·陕西咸阳·期末)为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】应用三角函数伸缩的规则判断即可. 【详解】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象； 故选：A. 24．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 25．将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图像变换得到的解析式，再根据在单调递增求出的范围. 【详解】因函数的图像向左平移个单位，所得函数为，再将所得函数图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像. 所以，令，， 解得，，又在单调递增， 所以，且，解得且，又， 解得，. 故选：C. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $