精品解析：江西九江市第十一中学2025-2026学年九年级下学期中考数学一模试卷

九江市十一中2025~2026学年下学期一模测试卷 初三数学 满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 如图是北京大学的校徽图案，关于这个校徽图案，下列说法正确的是（ ）． A. 这个图案是轴对称图形但不是中心对称图形 B. 这个图案是中心对称图形但不是轴对称图形 C. 这个图案既是中心对称图形也是轴对称图形 D. 这个图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【详解】解：这个校徽图案是轴对称图形，但不是中心对称图形． 2. 已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 3. 下左图是由若干个小立方块组成的几何体的主视图与俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图和俯视图将决定组合几何体的层数，列数及行数，由此即可判断． 【详解】解：由主视图可得此组合几何体有两列，左边第一列出现三层，所以左视图应该有一列是三层的，综上所述可得选项中只有B的不符合． 故选：B． 【点睛】本题考查由视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；易错点是应理解组成组合几何体的正方体的个数． 4. 已知一列数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，的分母和分子找到相应的规律，确定出的分母和分子，从而确定的表示形式即可求解． 【详解】解：∵，，的分母分别为8，11，14，规律为两数之间都是增加3， ∴可猜想的分母为5， ∵，，的分子分别为7，9，11，规律为两数之间都是增加2， ∴可猜想的分子为5， ∴，符合题意， ∴由分子的5，7，9，11，可得的分子为， 由分母的5，8，11，14，可得的分母为， ∴， ∴． 5. 如图，在中，，，，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，则与的面积之和为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理和等腰直角三角形的定义可得，则可推出；由勾股定理可得，则可推出，再根据可得答案． 【详解】解：∵都是等腰直角三角形，且斜边分别为， ∴， ∴， 同理可得，， 同理可得； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，再根据可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得，从而求得旋转角度． 【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为， ∵，轴于B点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将绕O点顺时针方向旋转，该三角形的A与抛物线的顶点C重合， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐标，从而确定旋转角度是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 的绝对值是 _________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是2023， 故答案为：2023． 8. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】解：． 9. 已知一个菱形的周长与面积均为20，则这个菱形较短对角线长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题通过菱形的性质，先由周长求边长，再用面积求高，最后在两个直角三角形中用勾股定理逐步求出较短对角线的长度． 【详解】解：∵ 菱形的四条边相等，周长为20， ∴ 边长， ∵ 面积为20，， ∴，解得：， 在中，，，由勾股定理： ， ∵，， ∴， 在中，，，由勾股定理： ， 则另一条对角线的长度为， 故这个菱形较短对角线长为． 10. 某个人学习小组在一次数学测验中，平均分为分，其中有人分，人分，则这次测验中，这人成绩的中位数是___________； 【答案】 【解析】 【分析】求出这五个人的分数，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：（分）， 这人的成绩分别为，，，，， 这人成绩的中位数是， 故答案为：． 11. 如图，与是两个全等的直角三角形，三点在同一直线上，，分别是与的中点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，利用勾股定理先求得，由与是两个全等的直角三角形，可得，再证明，，可得，，可得，则可求得，，再由分别是与的中点，可得，则可得，，再由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：设与相交于点， ∵与是两个全等的直角三角形，，， ∴， ∵与是两个全等的直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵分别是与的中点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴． 12. 如图，在四边形中，，在四边形的内部有一点，使得与均为直角三角形，则的长为___________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】如图1所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，连接，可证明四边形是矩形，得到；解直角三角形求出的长，进而求出的长，则可证明，进而推出；再分图2，图3，图4三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，连接， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，，， ∴，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 如图2所示，当点P在上，且时，则与均为直角三角形， ∵， ∴； 如图3所示，当点P在上，且时，则与均为直角三角形， 在中，， ∴； 如图4所示，当时，则与均为直角三角形， 同理可得， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或或． 三、（每小题6分，共30分） 13. 按要求计算下列各题： （1）计算：； （2）已知一个非正整数的两倍与的和不大于这个非正整数与的和的倍，求这个非正整数． 【答案】（1） （2）这个非正整数是或 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式展开，再按照整式的混合运算的法则进行计算即可； （2）设这个非正整数为，根据题意可知，解出的取值范围，并判断其中的非正整数即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：设这个非正整数为， 根据题意，可列不等式：， 解得， ∵是非正整数， ∴或． 14. 在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 在一电视节目抽题答题环节中，甲、乙、丙三名选手轮流从三题中随机抽取一题进行回答，抽取题目后无论是否回答，之后都作废．若甲擅长回答A题，乙擅长回答B题，丙擅长回答C题． （1）甲抽到A题的概率是___________； （2）请用列表法或画树状图法求甲、乙、丙都抽到自己擅长的试题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式即可求解； （2）用树状图列出所有等可能的结果，再找出甲、乙、丙都抽到自己擅长的试题的结果，最后根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵甲从三题中随机抽取一题进行回答，一共有3种等可能的结果，抽到A题只有1种， ∴甲抽到A题的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有6种等可能的结果，其中甲、乙、丙都抽到自己擅长的试题只有1种， ∴甲、乙、丙都抽到自己擅长的试题的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图（1）中作出函数的图像； （2）在图（2）中，将（1）中所作图像向上平移个单位长度． 【答案】（1） 直线即为所求: （2） 直线即为所求: 【解析】 【分析】（1）先说明点A、点C函数的图像上，连接即可完成作图； （2）先说明过点，进而确定平移后的图像经过，然后结合图形和矩形的性质确定点F、G，然后连线即可解答． 【小问1详解】 解：∵函数， ∴当时，；当时，， ∴点，点在函数的图像上， ∴如图(1), 【小问2详解】 解：∵函数， ∴， ∴将（1）中所作图像向上平移个单位长度后的函数图像过， ∵如图(2)：， ∴，即， 如图(2)：连接， 由矩形的性质可得， ∵， ∴，即， ∴如图(2)， 17. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）最多能购买种材料20件． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； 【小问2详解】 解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 四、（每小题8分，共24分） 18. 已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为轴，且是轴上的一点； （1）求的函数关系式； （2）的面积是___________； （3）将线段所在的直线向下平移，它与双曲线交于点，与双曲线交于点，当时，求两点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入中求出点A的坐标，进而可得点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合列式求解即可； （3）设，可推出，则，再根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵是双曲线上的一点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 将点B的坐标代入得，解得， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵轴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， 由平移的性质可得， 又∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 19. 如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄，是底座，与所成的夹角为36.8°，点是把柄转轴所在的位咒，且点到底座的距离．与一根套管相连，可绕点转动，此时，，套管内含打孔针，打孔针的顶端触及，但与不相连，始终与垂直，且，． （1）打孔针的针尖离底座的距离是多少厘米? （2）压下把柄，直到点与点重合，如图3，此时，．两点重合，把柄将压下打孔针并将它锲入放在底座上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针锲入底座有多少厘米？ （参考数据：，，） 【答案】（1）打孔针的针尖离底座的距离是0.6厘米 （2）打孔针锲入底座有0.32厘米 【解析】 【分析】（1）如答图1，连接，先说明四边形是平行四边形可得，再解直角三角形可得即可解答； （2）如答图1，由题意可得四边形是平行四边形可得．如图3中，设与的交点为，则，．又可得即，进而求得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如答图1，连接， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 又∵与所成的夹角为， ∴． 在中，．． ∴打孔针的针尖离底座的距离是厘米． 【小问2详解】 解：如答图1， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴ 如图3中，设与的交点为，则，． ∵， ∴ ∴， ∴，解得． ∴． ∴打孔针锲入底座有0．32厘米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确做出辅助线是解答本题的关键． 20. 某班图书角共有四类图书：人物传记类，名著小说类，百科知识类，历史类．图书管理员经过对近一个月的借阅记录进行统计后画出如图1的扇形统计图和如图2的条形统计图． （1）根据这两个统计图提供的数据计算，这一个月该图书角的图书共被借阅___________次； （2）在扇形统计图中历史类所占的圆心角是___________； （3）在扇形统计图中，名著小说类，百科知识类，历史类所占的百分比分别是___________，___________．（结果精确到） （4）补全条形统计图． 【答案】（1）360 （2）45 （3）， ， （4） 根据（3）的数据补全条形统计图如下： 【解析】 【分析】（1）用人物传记类的次数除以其所占的百分比即可解答； （2）用历史类占该图书角的图书共被借阅的次数的比例乘以即可解答； （3）先分别求出名著小说类，百科知识类的次数，再分别用名著小说类，百科知识类，历史类的次数除以该图书角的图书共被借阅的次数，再乘以即可解答； （4）根据（3）得到的相关数据补全条形统计图即可； 【小问1详解】 解：次． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：名著小说类的次数为次， 百科知识类借阅次数为：次； 名著小说类所占的百分比是； 百科知识类所占的百分比是； 历史类所占的百分比是． 【小问4详解】 略 五、（每小题9分，共18分） 21. 已知是的直径，是垂直于的一条弦，且交于点，的延长线交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若为的中点，， ①求的面积； ②探讨与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，易得，再根据切线的性质以及同角的余角相等可得，再结合对顶角相等以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）①根据切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半易得是等边三角形，即；再根据圆的基本性质以及解直角三角形可得，然后利用三角形的面积公式求解即可；②先说明，，，如图：连接，则，再根据含30度直角三角形的性质可得、，易得；再证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵是的切线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∴的面积为． ②∵是的直径，， ∴， 由（1）得：，， ∴， 如图：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴，即． 22. 定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； （1）点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． （2）当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． （3）直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； 【小问3详解】 解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 六、（每小题12分，共12分） 23. 猜想证明： （1）如图（1），分别是的边与边上的中点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 拓展应用： （2）如图（2），在矩形中，E、F、G、H分别是的中点，与相交于点与相交于点． ①判断四边形的形状，并证明： ②若，判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图（3），，，，分别是的中点，与相交于点M，与相交于点N，且，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：，证明如下： 如图，连接， ∵分别是的边与边上的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴ ∴ ∴； （2） 解：①四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是矩形 ∴， ∵E、G分别是的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 同理可得，四边形是平行四边形 ∴ ∴四边形是平行四边形； ②，理由如下： 如图，连接， 设，则 ∵分别是与边上的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，首先得到是的中位线，推出，，证明出，利用相似三角形的性质即可； （2）①证明出四边形是平行四边形，得到，同理可得，，即可得到四边形是平行四边形； ②如图，连接，，设，则，同理得到，得到，求出，得到，然后利用勾股定理求解即可； （3）如图，连接，，求出，同理可得，，求出，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式和轴对称性质得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，点H是的中点，点G是的中点， ∴ ∴ ∵点E是的中点 同理可得，，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 同理，由对称可得， ∴四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市十一中2025~2026学年下学期一模测试卷 初三数学 满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 如图是北京大学的校徽图案，关于这个校徽图案，下列说法正确的是（ ）． A. 这个图案是轴对称图形但不是中心对称图形 B. 这个图案是中心对称图形但不是轴对称图形 C. 这个图案既是中心对称图形也是轴对称图形 D. 这个图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2. 已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 3. 下左图是由若干个小立方块组成的几何体的主视图与俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一列数，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，则与的面积之和为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 的绝对值是 _________． 8. 化简：___________． 9. 已知一个菱形的周长与面积均为20，则这个菱形较短对角线长为___________. 10. 某个人学习小组在一次数学测验中，平均分为分，其中有人分，人分，则这次测验中，这人成绩的中位数是___________； 11. 如图，与是两个全等的直角三角形，三点在同一直线上，，分别是与的中点，则的长为___________． 12. 如图，在四边形中，，在四边形的内部有一点，使得与均为直角三角形，则的长为___________． 三、（每小题6分，共30分） 13. 按要求计算下列各题： （1）计算：； （2）已知一个非正整数的两倍与的和不大于这个非正整数与的和的倍，求这个非正整数． 14. 在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证： 15. 在一电视节目抽题答题环节中，甲、乙、丙三名选手轮流从三题中随机抽取一题进行回答，抽取题目后无论是否回答，之后都作废．若甲擅长回答A题，乙擅长回答B题，丙擅长回答C题． （1）甲抽到A题的概率是___________； （2）请用列表法或画树状图法求甲、乙、丙都抽到自己擅长的试题的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图（1）中作出函数的图像； （2）在图（2）中，将（1）中所作图像向上平移个单位长度． 17. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 四、（每小题8分，共24分） 18. 已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为轴，且是轴上的一点； （1）求的函数关系式； （2）的面积是___________； （3）将线段所在的直线向下平移，它与双曲线交于点，与双曲线交于点，当时，求两点的坐标． 19. 如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄，是底座，与所成的夹角为36.8°，点是把柄转轴所在的位咒，且点到底座的距离．与一根套管相连，可绕点转动，此时，，套管内含打孔针，打孔针的顶端触及，但与不相连，始终与垂直，且，． （1）打孔针的针尖离底座的距离是多少厘米? （2）压下把柄，直到点与点重合，如图3，此时，．两点重合，把柄将压下打孔针并将它锲入放在底座上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针锲入底座有多少厘米？ （参考数据：，，） 20. 某班图书角共有四类图书：人物传记类，名著小说类，百科知识类，历史类．图书管理员经过对近一个月的借阅记录进行统计后画出如图1的扇形统计图和如图2的条形统计图． （1）根据这两个统计图提供的数据计算，这一个月该图书角的图书共被借阅___________次； （2）在扇形统计图中历史类所占的圆心角是___________； （3）在扇形统计图中，名著小说类，百科知识类，历史类所占的百分比分别是___________，___________．（结果精确到） （4）补全条形统计图． 五、（每小题9分，共18分） 21. 已知是的直径，是垂直于的一条弦，且交于点，的延长线交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若为的中点，， ①求的面积； ②探讨与之间的数量关系． 22. 定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； （1）点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． （2）当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． （3）直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 六、（每小题12分，共12分） 23. 猜想证明： （1）如图（1），分别是的边与边上的中点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 拓展应用： （2）如图（2），在矩形中，E、F、G、H分别是的中点，与相交于点与相交于点． ①判断四边形的形状，并证明： ②若，判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图（3），，，，分别是的中点，与相交于点M，与相交于点N，且，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $