专题04 期中选填压轴题（八大题型）-2025-2026学年 苏科版八年级数学下册期中期末专项练

专题04 期中选填压轴题（八大题型） 题型1：最值问题—单线段问题 1．如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点 的运动轨迹是线段 ，再根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 ，故 的最小值为 的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点 与点 重合时，点 在 处， ，此时 为 中点， 当点 与点 重合时，点 在 处， ，此时 为 中点， ∴ 是 中位线， 且 ， 当点 在 上除点 、 的位置时， 为 中点， ∴ 是 中位线， 是 中位线， ， ， ∴点 在线段 上， 点 的运动轨迹是线段 ， 当 时， 取得最小值， 矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 中点， ∴ ， ， EMBED Equation.DSMT4 、 、 为等腰直角三角形， ， ， ∵ ， ， ， ，即 ， 的最小值为 的长， 在等腰直角 中， ， 的最小值是 ． 故选：D． 2．如图，正方形 的边长为4，点 是 边上的动点，连结 ，作 的中垂线交 于点 ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、不等式的性质等知识点，掌握不等式的性质 是解题的关键． 正方形 的性质可得 ，如图：过Q作 于E，设 ， （ ），则 ， ， ，进而得到 ；再运用勾股定理可得 ；设 ，则 ，可得 ，然后根据不等式的性质可得 ，即 的最大值为 ，进一步求得 的最大值即可． 【详解】解：∵正方形 的边长为4， ∴ ， 如图：过Q作 于E，设 ， （ ），则 ， ， ∵ 的中垂线交 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，整理得： ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ 的最大值为 ， ∴ 的最大值为 ． 故选B． 3．如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一点，连接 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设 与 交于点O，作 于 ，首先利用勾股定理求出 ，当P与 重合时， 的值最小， 的最小值 ，从而求解． 【详解】解：设 与 交于点O，作 于 ．如图所示： 在 中， ， ∴ 为等腰直角三角形， ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与 重合时， 的值最小，则 的值最小， 的最小值 ． 故选：C． 4．如图，菱形 的对角线 长度为4，边长 ，M为菱形外一个动点，满足 ，N为 中点，连接 ．则当M运动的过程中， 长度的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】连接 ，交 于点 ，连接 ，易得 是 的中位线，得到 ，取 的中点 ，连接 ，得到 ，得到当 三点共线时， 最长，进行求解即可． 【详解】解：连接 ，交 于点 ，连接 ， ∵菱形 的对角线 长度为4，边长 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵N为 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 取 的中点 ，连接 ， 则： ， ∵ ， ∴当 三点共线时， 的长度最大为 ； 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键． 题型2：最值问题—双线段和问题 5．在正方形 中，E是 的中点，F、G分别是边 上的动点，且 交 于M，连接 和 ，当 时，则 的最小值为 ________________． 【答案】 【分析】如图，以 为邻边作平行四边形 ，连接 ，过点G作 于点H，由勾股定理得， ，证明四边形 是矩形，证明 ，则 ，由四边形 是平行四边形，证明 是等腰直角三角形，则 ，由 ，可知当A、G、N在一条直线上时 最小，为 ，然后作答即可． 【详解】解：如图，以 为邻边作平行四边形 ，连接 ，过点G作 于点H， ∵正方形 ， ∴ ， ， ∵E是 的中点， ∴ ， 由勾股定理得， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴当A、G、N在一条直线上时 最小，为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键． 6．如图，在矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 上的两个动点， ， 沿 折叠形成 ，连接 ， ，则 的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点 关于 的对称点 ，连接 ，由于四边形 是矩形，所以 ， ， ，则 ， ，在 中， ，从而得 ，故当 共线时， 的值最小，最小值 ，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴ ， ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是定值， ∴ 当 共线时， 的值最小，最小值 ， ∴ 的最小值为 ， 故答案为： ． 7．如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边 上一点（不与点A，D重合），连接 ， ．点M，N分别是 ， 的中点连接 ， ， ，点E在边 上， ，则 的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形 是平行四边形，求 的最小值等同于求 的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵点M，N分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值就是 的最小值， 作点C关于直线 对称点Q，连接 、 ， ， 当点B、P、Q三点共线时， 的最小值就是 的长度， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ 的最小值 ． 故答案为： ． 题型3：最值问题—多线段和问题 8．如图，在菱形 中， ，点 为对角线 上的一个动点．过点P分别作 于点M，作 于点N．连接 ，在点P运动过程中， 的最小值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接 ，由三角形面积关系求出 ，得当 最短时， 有最小值，则当 时， 最短，即可得出答案． 【详解】解：在菱形 中， ， ， ， ， 如图，连接 ，如图所示： ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， ， 当 最短时， 有最小值， 由垂线段最短可知：当 时， 最短， 当点 与点 重合时， 有最小值，最小值 ， 故答案为： ． 9．如图，在矩形 中， ， ，点E为 中点，P、Q为 边上两个动点，且 ，则四边形 周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，正确做出辅助线确定出P和Q点的位置是解答本题的关键． 要使四边形 的周长最小，由于 与 都是定值，只需 的值最小即可.为此，先在 边上确定点 的位置，可在 上截取线段 ，作 点关于 的对称点 ，连接 与 交于一点即为 点，过 点作 的平行线交 于一点，即为 点，则此时 最小，即四边形 的周长最小． 【详解】在 上截取线段 ，作 点关于 的对称点 ，连接 与 交于一点即为 点，过 点作 的平行线交 于一点，即为 点，过 点作 的平行线交 的延长线于 点. 则四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ 为 边的中点， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴四边形 的周长的最小值 ， 故选C． 题型4：取值范围问题 10．如图，四边形 是菱形， ，点E是边 上一点，且 ，点F是边 上一个动点，以 为边作等边 ，连接 ．若 的长度为d，则d的取值范围是_________． 【答案】 【分析】在 上截取 ，连接 ，连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，过点C作 于点 ，证明 为等边三角形，再证明 ，则 ，继而确定点G的轨迹是线段 ，然后解 求出 ，再由勾股定理求出 ，可得当点 与点 重合时， 最小，当点 与点 重合时， 最大，即可求解． 【详解】解：在 上截取 ，连接 ，连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，过点C作 于点 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵等边 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴在 中， ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， ∴ 中， ， ∵ ， ∴点 在线段 上运动， ∴当点 与点 重合时， 最小为 ，当点 与点 重合时， 最大为 ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 11．如图，在矩形纸片 中， ，折叠纸片，使点A落在 边上的点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点S，P为 的中点，连接 ，则线段 长度的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知 ，分以下两种情况当 时， 最长， 最长；当 时， 最短， 最短，分别讨论，设 ，则 ，结合勾股定理即可得出线段 长度的取值范围，线段 长度的取值范围即可求解． 【详解】由折叠的性质可知： ， 在 中，P为 的中点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 由题可得：当 时， 最长，最长值为6，如下图： 当 时， 最短，如下图： 设 ，则 ， 在 中， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ， ， ． 题型5：旋转问题 12．如图，在正方形 中， ，点 在对角线 上任意一点，将正方形绕点 逆时针旋转 后，点 的对应点为 ，则点 到线段 距离的最小值为（      ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】连接BE、 、 ，由正方形的性质和旋转性质得AE′=CE，BE=BE′，∠∠EBE′=90°，证得△BEE′是等腰直角三角形且∠A′AC=90°，过B作BM⊥ 于M，则有BM= EE′，只需求出EE′的最小值即可．设AE=x，AE′=CE= ，利用勾股定理得出 ， 从而求出EE′的最小值即可解答． 【详解】解：连接BE、 、 ， ∵∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC=∠DCA=45°， 由旋转性质得AE′=CE，BE=BE′，∠EBE′=90°，∠D′AA′=∠DCA=45°， ∴△BEE′是等腰直角三角形，∠A′AC=90°， 过B作BM⊥ 于M，则BM= EE′， ∴求BM的最小值，只需求出EE′的最小值． 设AE=x，AE′=CE= ， 在Rt△AEE′中，由勾股定理得： ， 当x= 时， 2有最小值，最小值为16， 此时，EE′=4，BM= EE′=2， 即点 到线段 距离的最小值为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系和运算，利用完全平方式的性质是解决问题是解答的关键． 13．如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，若 ，将线段 绕点 顺时针旋转 至线段 ，连接 ，则线段 的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，勾股定理，正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点 作 交 于点 ，连接 ，过 作 于 ，根据四边形 是正方形，将线段 绕点 顺时针旋转 至线段 ，可得 ， ，又 ，即可证明 ，得 ，四边形 是平行四边形，故 ，设 ，可得 ，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，过 作 于 ， 四边形 是正方形， ． ， 四边形 是矩形， ， ， ， ． 将线段 绕点 顺时针旋转 至线段 ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， 四边形 是平行四边形， ． 设 ，则 ， ， ， ， 当 时， 最小为 ， 最小为 ． 故答案为： ． 14．如图，已知正方形 的边长为3， 、 分别是 、 边上的点，且 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．若 ，则 的长为_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出 、 、 三点共线， ， ，进而得出 ，然后利用 判断出 ，根据全等三角形的对应边相等得出 ，设 ，然后根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案． 【详解】解： 四边形 是正方形 ， 逆时针旋转 得到 ， ， 又 、 、 三点共线 在 和 中 设 ， 在 中，由勾股定理得 ， 即 解得： 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想与方程思想是解题的关键． 15．如图，在正方形 中， ，点E在线段 上（不与点B、C重合），连接 ，将 绕点E按顺时针方向旋转 得到 ．连接 ，则 的度数是 ________．设 与 交于点G，连接 ， ，当 最小时，四边形 的面积是 ___________________． 【答案】 /45度 / 【分析】过F点作 交 的延长线于点H，可证明 ，则可得 ，可求 的度数；由 的度数得点F在射线 上运动，当 时 最短；利用面积关系求 的长，则可求得 的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，过F点作 交 的延长线于点H， 则 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∵将 绕点E顺时针旋转 得到 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴点F在射线 上运动， 当 时 最短，此时 ， ∴ ， 由勾股定理得： ， 由勾股定理得： ， ∴ ， 延长 交 的延长线于点N，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型6：折叠问题 16．在矩形 中， ， ，点E为 中点，将 沿 折叠，使点B落在矩形 内的点F处，连接 ，则 的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取 的中点M，连接 ，根据矩形的性质和折叠的性质可得： ， ， ，应用勾股定理可求出 ，用等面积法求出 ，利用三角形中位线定理可得 ，再用勾股定理求 ，进一步即可求出 ． 【详解】解：取 的中点M，连接 ， ∵矩形 中， ， ，点 为 中点，将 沿 折叠，使点 落在矩形 内的点 处， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 17．在菱形 中， ，边长 为8，点M是 边上一点，点N是 边上一点，将 沿 翻折，点A的对应点 恰好落在菱形 的一条边上，若 ，则 的长为________． 【答案】6或7 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 分 落在 上和 落在 上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当 落在 上时，如图， ∵菱形 中， ，边长 为8， ∴ ， ， ∴ ， ∵折叠， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 当 落在 上时，如图： 作 交 的延长线于点 ，作 于点 ， ∵菱形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵折叠， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理，得 ， 解得 ， ∴ ； 综上： 或 ； 故答案为：6或7． 18．如图，四边形 为菱形， ， 在边 上，将 沿 翻折得到 ， 在直线 上，作 于点 ，若 ，则 的长为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接 交 于点 ，交 于点 ，由菱形性质得 ，由翻折性质得 ， ， ，则 ，进而得 ，证明 ，继而依据“ ”判定 和 全等得 ，则 ，由此可得 的长． 【详解】解：连接 交 于点 ，交 于点 ，如图所示： 四边形 是菱形， ， ， ， ， 由翻折性质得： ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 19．如图，在矩形纸片 中， ， ， 为边 的中点，点 在边 上，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为 ，连接 ．若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，延长 交 的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明 ，进而得到 为直角三角形，设 ，则 ， ，证明 为等腰三角形，求出 ，即可解答． 【详解】解：如图，连接 ，延长 交 的延长线于H， ∵矩形 中， ， ，E为边 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵将 沿 翻折，点D的对应点为 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， 设 ，则 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 20．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则 GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解． 【详解】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM， 由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG， 在Rt△BCG中，P是CG的中点， ∴BP＝PG＝ GC， ∵Q是GH的中点， ∴QG＝ GH， ∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+ GH+PB＝PM+PB+ CD， ∵CD＝3， ∴△GPQ的周长＝PM+PB+ ， 当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小， 在Rt△BCM中，BM＝ ， ∴△GPQ的周长的最小值为 . 故选B． 【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 21．如图，在矩形纸片 中， ， ， 是 的中点， 是 边上的一个动点（点 不与点 重合）．将 沿 所在直线翻折，点 的对应点为 ，连接 ．当 是等腰三角形时， 的长为 ____ ． 【答案】 或1或 【分析】分三种情况：当 时，连接 ，勾股定理求得 的长，可判断点 三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当 时，证明四边形 是正方形，于是得到结论；当 时，连接 ，证明点 三点共线，再用勾股定理可得答案． 【详解】解：①当 时，连接 ，如图， 四边形 是矩形， ． EMBED Equation.DSMT4 是 的中点， ． 在 中， ， ， ． ， ． 将 沿 所在直线翻折， ． ， ， 点 三点共线． ， ． 设 ，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得 ， ； ②当 时，如图， ， 点 在线段 的垂直平分线上， 四边形 是矩形， ， 点 在线段 的垂直平分线上， EMBED Equation.DSMT4 是 的中点， 是 的垂直平分线， ， 将 沿 所在直线翻折，得到 ， ， ， 四边形 是正方形， ； ③当 时，连接 ，如图， 四边形 是矩形， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是 的中点， ， ． 在 中， ， 即 ， ． 将 沿 所在直线翻折，得到 ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 点 三点共线． 将 沿 所在直线翻折，得到 ，且 ， ， ． 设 ，则 ， ， 在 中， ， 在 中， ， ， 即 ， 解得 ， ． 综上所述， 的长为 或1或 ． 故答案为： 或1或 ． 【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 题型7：（特殊）平行四边形在坐标系的应用 22．如图， 中，已知 ，E是 的中点，点P在 的边上运动，G是 的中点，若点 ，则 的取值范围是__________． 【答案】 【分析】过点C作 轴于点T，连接 ，过点T作 于点H，连接 ．证明 是 的中位线，求出 的最小值与最大值即可解答． 【详解】解：过点C作 轴于点T，连接 ，过点T作 于点H，连接 ． ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∵E是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当点P与点H重合时， 的值最小，此时 的值最小，最小值为 ； 当点P与点B重合时， 的值最大，此时 的值最大，最大值为 ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，坐标与图形等，熟练掌握转化思想是解题的关键． 23．在平面直角坐标系 中，点 ，B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持 ，以 为边向右上方作正方形 ， ， 交于点 ，连接 ．下列结论正确的是________．（请填写序号）①直线 的函数表达式为 ；② 的取值范围是 ；③若 ，则B点的坐标为 ；④连接 ，则 的最大值为 ． 【答案】①②④ 【分析】作 轴， 轴，易证 ，可得 ，进而可求得直线 的函数解析式为 ；当 时， ，则 ，则 ，（当 时同理可得： ），当 时，B点的坐标为 或 ；取 的中点 ，连接 ， ， ， ，则 ， ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得， ，由三角形三边关系可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取等，由 ， ，可得 ，（当 时同理可得： ），即可得 ；由三角形三边关系可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取等，即可求得 的最大值． 【详解】解：作 轴， 轴，则四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵四边形 是正方形， ， ∴ 与 互相垂直且平分， ， 则 ， ， ， 则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，（当 时同理） 由题意可知，点 在第一象限，设 ，直线 的函数解析式为： ， 代入可得： ，可得 ，即直线 的函数表达式为 ，故①正确； ∵ ， 轴， 轴， ∴四边形 是正方形，则 ， 当 时， ， 则 ， 则 ，（当 时同理可得： ） ∴当 时，B点的坐标为 或 ，故③错误； 取 的中点 ，连接 ， ， ， ， 则 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， 由三角形三边关系可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取等， ∵ ， 又∵ ， ∴ ，（当 时同理可得： ） 则 ，故②正确； 由三角形三边关系可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取等， ∴ 的最大值为 ，故④正确； 综上：正确的有①②④，共3个； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 题型8：特殊平行四边形的综合应用/综合辨析 24．如图，矩形 中， ，对角线相交于O，过C点作 交 于E点，H为 中点，连接 交 于G点，交 的延长线于F点，下列4个结论：① ；② ；③ ；④ ．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直角三角形的斜边中线可判断①结论；根据等边对等角和等角的余角相等可判断②结论；利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定可判断③结论；根据等边对等角的性质，得出 ，结合三角形外角的性质，得出 ，再结合等角对等边，可判断④结论． 【详解】解：在 中，H为 中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ，②结论正确； 如图，连接 ， ， ， ， 同理可得， ， ，即 ， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形 ， ， ， ， ， ， 由②可知， ， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确． 25．如图，已知点 在四边形 的边 上，且 ， 平分 ，与 交于点 ， 分别与 、 交于点 、 ．（1） ；（2） ；（3） ；（4）四边形 的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边对等角得 ，再根据角平分线的定义得 ，然后根据三角形外角的性质得 ，即可得 ，进而解答（1）；根据“边角边”解答（2）即可；结合已知条件不能得出该结论，判断（3）；先说明 是 的垂直平分线，再设 则 ，根据勾股定理得 ，进而得出 ，然后根据中位线的性质得 ，接下来结合四边形 的周长为 ，最后结合完全平方公式的性质解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，则（1）正确； ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，则（2）正确； 只有 都是等边三角形，可得 ，由已知条件不能得出该结论，所以（3）不正确； ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 是 的垂直平分线，即 ． 设 则 ， ∵ ， 即 ， 解得 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴四边形 的周长为 ， 当 时，四边形 的周长最大值为10，则（4）正确． 所以正确的有3个，C符合题意． 26．如图，在正方形 中，对角线 交于点O，E为 上一点， ， ，垂足分别为F、G，连接 、 ， 与 交于点H，则下列结论中① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④ 平分 ；⑤ ．正确个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由正方形性质证明 ，从而可判断①；再证明 ，可证明 为等腰直角三角形，所以 ， ，即 平分 ，从而可判断②④；设 交 于点 ，连接 ，由 知 ， ，由 为等腰直角三角形知 ，证明 ，可得 ， ，从而 为等腰直角三角形，故得 ，在 中，由勾股定理可得 ，即 ，可判断⑤；结合全等三角形的性质以及勾股定理，进行列式化简，即可得出 ． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， 故①符合题意 ∵ ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 故 为等腰直角三角形， 故②符合题意； ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 平分 ， 故④符合题意； 设 交 于点 ，连接 ，如图 所示， ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， ． ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， 在 中，由勾股定理可得 ， 即 ，故⑤符合题意； ∵ ， ∴ ∵ 为等腰直角三角形， ∴ 则 即 ； 故③符合题意； 综上，正确的序号为①②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 27．如图，正方形 的边长为2，点 从点 出发沿着线段 向点 运动（不与点 、 重合），同时点 从点 出发沿着线段 向点 运动（不与点 、 重合），点 与点 的运动速度相同． 与 相交于点 ， 为 中点．则下列结论：① 是定值；② 平分 ；③当 运动到 中点时， ；④当 时，四边形 的面积是 ． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】首先证明 ，由全等三角形的性质可得 ，进而证明 ，即 ，易知 是定值，故可判断结论①；根据题意无法判断 与 的大小关系，即可判断结论②；③当 运动到 中点时，点 运动到 中点，利用勾股定理解得 的值，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得 的值，即可判断结论③；利用全等三角形的性质可得 ，即进而可得 ， 时，结合 可得 ，进而可得 ，易知 ，即可判断结论④． 【详解】解：①∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∵点 与点 的运动速度相同， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ，是定值， 故①正确； ②根据题意无法判断 与 的大小关系，所以 平分 不正确， 故②错误； ③当 运动到 中点时，点 运动到 中点， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 中点， ∴ ，故③正确； ④∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 当 时，可有 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 28．如图，在正方形 中， ，把边 沿对角线 平移，点 ， 分别对应点A，B，给出下列结论：①顺次连接点 ， ，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线 的对称点的距离为 ；③ 的最大值为2；④ 的最小值为 ．其中正确结论的个数是（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识点，学会利用轴对称解决最值问题是解题的关键． ①根据平行四边形的判定可得结论．②作点C关于直线 的对称点E，连接 交 于T，交 于点O，则 ．利用面积法求出 即可．③根据 ，推出 ，可得结论．④作点D关于 的对称点 ，连接 交 于J，过点 作 交 的延长线于E，连接 交 于 ，此时 的值最小，最小值为 ． 【详解】解：如图，当 与D不重合时，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 当点 与D重合时，四边形不存在，故①错误； 如图：作点C关于直线 的对称点E，连接 交 于T，交 于点O，作 于点 H，由平移的性质可得： ， ∴ ， 由矩形的对称性可得： ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ∴ ，解得： ， ∴ ，故②正确， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最大值为2，故③正确， 如图2中，∵ ， ∴ ， 作点D关于 的对称点 ，连接 交 于J，过点 作 交 的延长线于E，连接 交 于 ，连接 ，则 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小，且最小值为 ， ∴ 由平移的性质可得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得： ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得： ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ 的最小值为 ，即④错误． 综上，正确的有2个． 故选B． 29． 如图，正方形 边长为 ， 从 出发沿对角线 向 运动，连接 ，将线段 绕 点顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，设 ，下列说法：① 是直角三角形；②当 时， ；③有且只有一个实数 ，使得 ；④取 中点 ，连接 ， ， 的面积随着 的增大而增大，正确的有（ 　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得 ， ， 再根据旋转的性质可得 ， ，从而证得 ，得到 ，即可求得 ，可判断①正确；根据正方形的性质可得 的长，再根据 可得 的长，再利用勾股定理可得 ，可判断②正确；根据题意列出关于 面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数 ，使得 ，可判断③正确；连接 ，作 于点 ，可得 ，由 ，点 为 的中点，可得 ，则 ，从而求得 ，可判断④错误；即可解题． 【详解】解：四边形 是正方形， 为对角线， ∴ ， ， ， ∵线段 绕点 顺时针旋转 得到 ， ∴ ， ， 又∵ ， ， ∴ ， 在 和 中： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形，故①正确； ∵正方形边 长为 ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，故②正确； 由题可知： ， 要 ，则 ， 整理得： ， 解得： ， ∴有且只有一个实数 ，使得 ，故③正确； 如图，连接 ，作 于点 ， 则 ， ∴ ， ∴ 与 的边 上的高相等， ∵ ，点 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不随着 的变化而变化，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键． 30．如图，在一张矩形纸片 中 ， ，点E，F分别在 上，将纸片 沿直线 折叠，点C落在 上的点H处，点D落在点G处，连接 ， ．有以下四个结论：①四边形 是菱形；② 平分 ；③线段 的取值范围为 ；④当点H与点A重合时， ．以上结论中，其中正确结论的个数有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】先根据翻折的性质可得 可证 是等腰三角形，可得 ，判断出四边形 是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得 ，然后求出只有 时， 平分 ，判断出②错误；过点F作 于M，点H与点A重合时，设 ，表示出 ，利用勾股定理列出方程求解得到 的最小值，点G与点D重合时， ，求出 ，然后写出 的取值范围，判断出③正确；求出 ，再利用勾股定理列式求解得到 ，判断出④正确． 【详解】解：∵将纸片 沿直线 折叠， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∵ 与 都是矩形 的对边 的一部分， ∴ 且 ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形，故①正确； ∵ 为菱形的对角线， ∴ ， ∴只有 时， 平分 ，故②错误； 点H与点A重合时， 最小，如图所示，过点F作 于M，则 ， 设 ，则 ， 在 中， ， 即 ， 解得： ， 点G与点D重合时，点H与点M重合， 最大，如图所示， ∵四边形 是菱形， ∴当点G与点D重合时， ，即菱形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴线段 的取值范围为 ，故③正确； 当点H与点A重合时，由③中 ， ∴ ， 则 ， 由勾股定理得， ，故④错误； 综上所述，结论正确的有①③共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 31．如图，在菱形 中， ， ，对角线 相交于点O，点E、F分别在边 上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动， 与 交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是 ；② 始终为等边三角形；③线段 长的最小值为 ；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到 ， ，再证明 是等边三角形，得到 ，利用勾股定理可得 ，则 ，根据菱形面积等于其对角线乘积的一半可判断①；证明 ，得到 ，进而证明 ，则 是等边三角形，据此可判断②；当 时， 有最小值，即此时 有最小值，利用等面积法可求出 的最小值为 ，据此可判断③；由菱形的对称性可得，整个运动过程是点G的运动是一个往返过程，点G先从点A运动到最远（离点A）为止，再从最远位置运动回点A，且点G运动到最远位置时此时点E刚好是 的中点，点F为 的中点，当点E刚好是 的中点，点F为 的中点时， 为 的中位线，则可证明 ， ，由勾股定理可得 ，则 ，即点G离点A的最远距离为 。 【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， ∴ ，故①正确； 由题意得， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形，故②正确； ∴ ， ∴当 时， 有最小值，即此时 有最小值， 当 时，此时有 ，即 ， ∴ 的最小值为 ，故③正确； ∵ ， ∴ ，即 ， ∴由菱形的对称性可得，整个运动过程是点G的运动是一个往返过程，点G先从点A运动到最远（离点A）为止，再从最远位置运动回点A，且点G运动到最远位置时此时点E刚好是 的中点，点F为 的中点， 当点E刚好是 的中点，点F为 的中点时， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点G离点A的最远距离为 ， ∴整个过程中点G的路程为 ，故④正确； 故选；A. 32．如图，已知正方形 中， ，点E为 边上一动点（不与点B、C重合），连接 ，将 绕点E顺时针旋转 得到 ，连接 ，设 与 相交于点G，连接 ．以下说法：① ；② 最小值为 ；③ 平分 ；④当 最小时，四边形 的面积是3．其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据旋转得出： ， ，根据三角形内角和定理求出 ，判断①正确；延长 ，过点F作 于点M，连接 ，延长 ，过点D作 于点N，证明 ，得出 ， ，说明点F一定在过点C，与 垂直的直线上，根据垂线段最短，得出点F在点N处时， 最小，根据 为等腰直角三角形，得出 ，判断②正确；根据 求出四边形 的面积，判断④正确；根据 ，得出 ，说明 ，判断③错误． 【详解】解：根据旋转可知： ， ， ∴ ，故①正确； 延长 ，过点F作 于点M，连接 ，延长 ，过点D作 于点N，如图所示： 则 ， ∵四边形 为正方形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点F一定在过点C，与 垂直的直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点N处时， 最小， ∵ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， 即 的最小值为 ，故②正确； 当 最小时， ， ∵ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故④正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 一定不平分 ，故③错误； 综上分析可知：①②④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 33．如图，矩形纸片 ， ， ，点 、 分别在矩形的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点 落在矩形的边 上，记为点 ，点 落在 处，连接 ，交 于点 ，连接 ．下列结论：①四边形 是菱形；②点 与点 重合时， ；③ 的面积 的取值范围是 ．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 先判断出四边形 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； 点 与点 重合时，设 表示出 利用勾股定理列出方程求解得 的值，进而用勾股定理求得 ，判断出②错误； 当 过 点时，求得四边形 的最小面积，进而得 的最小值，当 与 重合时， 的值最大，求得 最大值，即可判断③正确． 【详解】∵ ， ， ， ， ， ， ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ， ∴四边形 是菱形，故①正确； ， ， 点 与点 重合时，如图1所示： 设 则 ， 在 中， 即 ， 解得 ， ， ， ，故②错误； 当 过点 时，如图 所示： 此时， 最短，四边形 的面积最小，则 最小为 当 点与 点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则 最大为 ， ∴ 故③正确． 故答案为： ①③． 34．如图，在正方形 中， ，若点 在对角线 上运动，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ．点 在 上，且 ． 给出以下四个结论：  ① ， ② ，③线段 的最小值是 ，④ 面积的最大是16．其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】①根据旋转的性质证明 为等腰直角三角形，即可得出结论； ①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“ ”证明 ，得出 ， ，证明 ，根据勾股定理即可证明结论； ③根据 ，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点H，此时 最小值即为 的长，求出 的长即可； ④根据 ，得出 ，表示出 ，即可求出最大值． 【详解】解：根据旋转可知， ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ，故①正确，符合题意； ∵四边形 为正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故②正确，符合题意； ③∵ ， ∴点F总是在过点C与 垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点H，如图所示：    ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， i∴ ， 即 的最小值为 ，故③正确，符合题意； ④∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴当 时， 的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意； 综上分析可知，其中正确的是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据“ ”证明 ，是解题的关键． 35．如图，正方形 的边长为 ，点 在边 上（不与 ， 重合），将 沿直线 折叠，点 落在点 处，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ， ．给出下列四个结论：① ；② ；③点 是直线 上动点，则 的最小值为 ；④当 时， 的面积为 ．其中正确的结论有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据 证明三角形全等即可 正确；过点 作 于点 ，证明 即可判断 正确；连接 因为 关于 对称，推出 ，推出 ，可得结论 正确；过点 作 于点 ，求出 ，可得结论 正确． 【详解】解： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ，故 正确； 过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， ， ，故 正确； 连接 ． 关于 对称， ， ， 的最小值为 ，故 正确； 过点 作 于点 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ，故 正确； 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中选填压轴题（八大题型） 题型1：最值问题—单线段问题 1．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 2．如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 3．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，菱形的对角线长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型2：最值问题—双线段和问题 5．在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ________________． 6．如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 7．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 题型3：最值问题—多线段和问题 8．如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于_____． 9．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型4：取值范围问题 10．如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 11．如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是____________． 题型5：旋转问题 12．如图，在正方形中，，点在对角线上任意一点，将正方形绕点逆时针旋转后，点的对应点为，则点到线段距离的最小值为（      ） A．1 B． C． D．2 13．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______． 14．如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为_______． 15．如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ________．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ___________________． 题型6：折叠问题 16．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 17．在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________． 18．如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________． 19．如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 20．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在矩形纸片中，，，是的中点，是边上的一个动点（点 不与点 重合）．将 沿所在直线翻折，点的对应点为，连接．当是等腰三角形时，的长为 ____ ． 题型7：（特殊）平行四边形在坐标系的应用 22．如图，中，已知，E是的中点，点P在的边上运动，G是的中点，若点，则的取值范围是__________． 23．在平面直角坐标系中，点，B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，，交于点，连接．下列结论正确的是________．（请填写序号）①直线的函数表达式为；②的取值范围是；③若，则B点的坐标为；④连接，则的最大值为． 题型8：特殊平行四边形的综合应用/综合辨析 24．如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，在正方形中，对角线交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F、G，连接、，与交于点H，则下列结论中①；②是等腰直角三角形；③；④平分；⑤．正确个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 27．如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．则下列结论：①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①④ 28．如图，在正方形中，，把边沿对角线平移，点，分别对应点A，B，给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为；③的最大值为2；④的最小值为．其中正确结论的个数是（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29． 如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大，正确的有（ 　） A．个 B．个 C．个 D．个 30．如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处，连接，．有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 31．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 32．如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设与相交于点G，连接．以下说法：①；②最小值为；③平分；④当最小时，四边形的面积是3．其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 33．如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是__________． 34．如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且． 给出以下四个结论：  ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 35．如图，正方形的边长为，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积为．其中正确的结论有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $