第8章 相交线与平行线 解答题专项突破（六大板块） 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年 青岛版七年级下册（五大板块） 板块一：对顶角、邻补角、垂直的计算 1.如图，已知直线，相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数． 3.如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． (1)若∠BOD＝60°，求∠COE的度数； (2)试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由． 4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数． 5.如图，直线、相交于点，平分，垂足为点，且． (1)如图，求的度数． (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的角． 板块二：平行线的判定 1.如图，已知EC，FD与直线AB交于C，D两点，∠1＝∠2．求证：CEDF． 2.如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：． 3．如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE． 4．如图，已知∠A＝∠C，∠1与∠2互补，求证：AB∥CD． 5．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由． 板块三：平行线的判定与性质的运用（书写过程） 1.如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴　 　（ 　 　）． 又∵， ∴（ 　 　）． ∴　 　（ 　 　）． ∴　 　（ 　 　）． ∵， ∴　 　． 2.如图，已知：，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴____________（________________________）． ∴（_____________________________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴____________（__________________________）． ∴（______________________________）． 3.如图，在△ABC中点D、E分别在AB、BC上，且DEAC，∠1=∠2，若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数． 解：∵DEAC（已知） ∴∠1＝∠　　（ 　　） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠C＝∠2（ 　　） ∴AF　　（ 　　） ∴∠B+∠BAF＝180°（ 　　） ∵∠B＝50°（已知） ∴∠BAF＝180°﹣∠B＝130°（角的运算） ∵AC平分∠BAF（已知） ∴∠2＝∠BAF＝65° （ 　　） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝65°（ 　　） 4.如图，已知，，，试判定 与 的位置关系，并说明理由． 解：． 理由：∵（已知） ∴ ∵（已知） ∴______ （同位角相等，两直线平行） ∴______（______） ∵（已知） ∴______ （等量代换） ∴DEBF（______） ∴（______） ∴（垂直的定义） (1)请补全上面说理过程； (2)若，求出的度数，并说明理由； (3)直接写出和的关系______． 5.完成下面推理过程： 如图，ABCD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数． 解：，（已知） ，（等量代换） PN // CD，（           ） _________=180°，（   ） ，（已知） ，（已知） ____________，（两直线平行，内错角相等） ，（已知） __________，（等量代换） BCP=BCD－PCD=____________°－30°=_________°． 板块四：平行线的判定与性质的运用（计算与证明） 1.如图：已知，，试说明的理由． 2.如图，在中，于点，于点，． (1)请说明DE∥BC； (2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数． 3.已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 4.如图，已知，． （1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 5.如图，已知点，为四边形的边的延长线上的两点，连接，，作的平分线交的延长线于点．若，，． (1)判断与是否平行？并说明理由； (2)试说明：∠C＝2∠P． 板块五：平行线的判定与性质综合（拐点问题） 1.如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余． (1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由． (2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由． 2.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 3.阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 4.解答下列问题 (1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数； (2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由； (3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数． 【答案】 解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年 青岛版七年级下册（五大板块） 板块一：对顶角、邻补角、垂直的计算 1.如图，已知直线，相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数． 【答案】55° 【详解】解：∵∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝35°， 又∵∠DOF＝90°， ∴ ∴． 3.如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． (1)若∠BOD＝60°，求∠COE的度数； (2)试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)∠COE＝20°； (2)∠BOD＝3∠COE，理由见解析． 【详解】（1）解：∵∠BOD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵∠AOE＝2∠DOE， ∴∠DOE＝∠AOD＝40°， ∴∠COE＝∠COD−∠DOE＝60°−40°＝20°； （2）解：∠BOD＝3∠COE，理由如下： 设∠COE＝x，则∠DOE＝60−x， ∵∠AOE＝2∠DOE， ∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60−x）＝180−3x， ∴∠BOD＝180−∠AOD＝180−（180−3x）＝3x， ∴∠BOD＝3∠COE． 4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数． 【答案】， 【详解】解：∵OE平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5.如图，直线、相交于点，平分，垂足为点，且． (1)如图，求的度数． (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵∵平分， ∴， ∴， ∴的余角有． 板块二：平行线的判定 1.如图，已知EC，FD与直线AB交于C，D两点，∠1＝∠2．求证：CEDF． 【答案】证明：延长FD到G， ∵∠1＝∠2，∠2＝∠ADG， ∴∠1＝∠ADG， ∴CEDF． 2.如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：． 【答案】证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠CAE＝∠CEA， ∴∠BAE＝∠CEA， ∴AB∥CD． 3．如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE． 【答案】证明：∵CD平分∠ECF， ∴∠ECD＝∠DCF， ∵∠ACB＝∠DCF，∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ECD， ∴AB∥CE． 4．如图，已知∠A＝∠C，∠1与∠2互补，求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵∠1与∠2互补，即∠1+∠2＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD． 5．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由． 【答案】解：AB∥CD，PG∥QH， 理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP， ∴∠1＝∠GPQ＝APQ，∠2＝∠PQH＝∠EQD， ∵∠1＝∠2， ∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD， ∴AB∥CD，PG∥QH． 板块三：平行线的判定与性质的运用（书写过程） 1.如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴　 　（ 　 　）． 又∵， ∴（ 　 　）． ∴　 　（ 　 　）． ∴　 　（ 　 　）． ∵， ∴　 　． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 2.如图，已知：，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴____________（________________________）． ∴（_____________________________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴____________（__________________________）． ∴（______________________________）． 【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 3.如图，在△ABC中点D、E分别在AB、BC上，且DEAC，∠1=∠2，若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数． 解：∵DEAC（已知） ∴∠1＝∠　　（ 　　） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠C＝∠2（ 　　） ∴AF　　（ 　　） ∴∠B+∠BAF＝180°（ 　　） ∵∠B＝50°（已知） ∴∠BAF＝180°﹣∠B＝130°（角的运算） ∵AC平分∠BAF（已知） ∴∠2＝∠BAF＝65° （ 　　） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝65°（ 　　） 【答案】C，两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；角平分线的定义；等量代换． 4.如图，已知，，，试判定 与 的位置关系，并说明理由． 解：． 理由：∵（已知） ∴ ∵（已知） ∴______ （同位角相等，两直线平行） ∴______（______） ∵（已知） ∴______ （等量代换） ∴DEBF（______） ∴（______） ∴（垂直的定义） (1)请补全上面说理过程； (2)若，求出的度数，并说明理由； (3)直接写出和的关系______． 【答案】(1) ； ；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 (2) ，理由见解析 (3) 5.完成下面推理过程： 如图，ABCD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数． 解：，（已知） ，（等量代换） PN // CD，（           ） _________=180°，（   ） ，（已知） ，（已知） ____________，（两直线平行，内错角相等） ，（已知） __________，（等量代换） BCP=BCD－PCD=____________°－30°=_________°． 【答案】同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50；20． 板块四：平行线的判定与性质的运用（计算与证明） 1.如图：已知，，试说明的理由． 【答案】过程见详解 【详解】证明∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°， ∴∠2=∠4， ∴AB//EF， ∴∠3=∠5， ∵∠3=∠B， ∴∠5=∠B， ∴DE//BC， ∴∠7=∠C． 2.如图，在中，于点，于点，． (1)请说明DE∥BC； (2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数． 【答案】(1)说明见解析； (2) （1） 解：∵ CD⊥AB，EF⊥CD ，   ∴∠BDC=∠FGC=90° ，          ∴AB∥EF ，       ∴∠ADE=∠DEF ，              又∵∠ADE=∠EFC ，             ∴∠DEF=∠EFC ，        ∴DE∥BC； （2） ∵∠A+∠ACB+∠B=180°且∠A=60°，∠ACB=72°， ∴∠B=48°， ∵∠BDC=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠BCD=42°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠BCD=42°． 3.已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 【答案】(1)见解析 (2)36° （1） 证明：∵DF∥CA， ∴∠DFB=∠A， 又 ∵∠FDE=∠A， ∴∠DFB=∠FDE， ∴DE∥AB； （2） 解：设∠EDC=xº， ∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC， ∴∠BFD=∠BDF=2xº， 由（1）可知∠DFB=∠FDE=2xº， ∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2xº+2xº+xº=180º， ∴x=36， 又∵DE∥AB， ∴∠B=∠EDC=36 º． 4.如图，已知，． （1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【详解】解：， 理由如下： ，   ，   ，   ，   ，   ； ，，   ，   ，，   ，   ． 5.如图，已知点，为四边形的边的延长线上的两点，连接，，作的平分线交的延长线于点．若，，． (1)判断与是否平行？并说明理由； (2)试说明：∠C＝2∠P． 【答案】(1)DEBF，理由见解析 (2)说明见解析 （1） 解：（1）DEBF， 理由是：∵∠3＝∠4， ∴BDCE， ∴∠5＝∠FAB， ∵∠5＝∠C， ∴∠C＝∠FAB， ∴ABCD， ∴∠2＝∠BGD， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BGD， ∴DEBF； （2） ∵ABCD， ∴∠P＝∠PDH， ∵DP平分∠BDH， ∴∠BDP＝∠PDH， ∴∠BDP＝∠PDH＝∠P， ∵∠5＝∠P＋∠BDP， ∴∠5＝2∠P， ∵∠C＝∠5， ∴∠C＝2∠P． 板块五：平行线的判定与性质综合（拐点问题） 1.如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余． (1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由． (2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)ABCD，理由见解析； (2)∠E＝∠EAB +∠DCE，理由见解析． （1） 解：ABCD， 理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD， ∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE， ∵∠1和∠2互余， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°， ∴ABCD； （2） ∠E＝∠EAB +∠DCE， 理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD， ∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠BAE+∠DCE＝90°， ∵∠1+∠2+∠E＝180°， ∴∠E＝90°， ∴∠E＝∠EAB +∠DCE． 2.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) （1） 证明：如图，过点作于点， ， ， ， ， ． （2） 解：如图，过点作于点， ，， ， ， 解得， 平分，平分， ， ， 由（1）已得：， ． 3.阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②结论： 【详解】（1）证明：如图，过作， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； （2）解：①如图2中，由题意，， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ②结论：． 理由：如图3中，由题意，，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 4.解答下列问题 (1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数； (2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由； (3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数． 【答案】(1)90° (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ． ． 即． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， 又的平分线和的平分线交于点G， ， 由（2）可知，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $